Для решения дифференциального уравнения:

(I.1)

где функции а_i(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t₀ с радиусами сходимости r_i :

i=0,1,2

необходимо найти два линейно-независимых решения ₁(t), ₂(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:

Решения _i будем искать в виде степенного ряда:

(I.2)

методом неопределенных коэффициентов.

Для решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1: (об аналитическом решении)

Если p₀(x), p₁(x), p₂(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x₀ и p₀(x)≠0, то решения уравнения p₀(x)y^’’ + p₁(x)y^’ + p₂(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l₀ + l₁(x-x₀) + l₂(x-x₀)² + … + l_n(x-x₀)ⁿ + …

Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x₀ является нулем конечного порядка S функции a₀(x), нулем порядка S-1 или выше функции a₁(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a₂(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

y= l₀(x - x₀)^k + l₁(x – x₀)^k+1 + … + l_n(x-x₀)^k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим уравнение:

(I.3)

a₀(t) = t + 2 ; a₁(t) = -1; a₂(t) = -4t³; a₀(t) ≠ 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = c_n(t-t₀)ⁿ

возьмем t₀ = 0, будем искать решение в виде (t) = c_ntⁿ (I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

(t) = nc_nt^n-1, (t) = n(n-1)c_nt^n-2

(2+t)( n(n-1)c_nt^n-2) – (nc_nt^n-1) – 4t³( c_ntⁿ)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t⁰ : 4c₂ – c₁=0 4c₂-c₁-4c_-3=0

t¹ :

рекуррентное соотношение имеет вид

n N, c_-3=0, c_-2=0, c_-1=0 (I.5)

при n=0,

n=1,

n=2, c₄=0

n=3,

n=m-2,

Итак,

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.

Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а)

б)

Итак, область сходимости

2. Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.

Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:

Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х₁,х₂) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не более одного переключения.

положение равновесия

Д=-7 фокус, т.к. <0, то фазовая кривая закручивается.

III. Малые возмущения системы линейных уравнений

В этой задаче рассматривается система:

с действительными коэффициентами а_ij.

Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:

(1)

Сведем систему (1) к системе вида:

(2)

с помощью замены

(3)

Запишем систему (1) в виде

, где (4)

Подставим в систему (4), а в систему (3), тогда получим:

(5)

Найдем собственные значения матрицы А:

,

Систему (2) можно записать в виде:

, где (6)

Из системы (5) и (6) следует, что

Подберем матрицу С такую, что пусть и AC = CB

=

Решив эту систему, получим: a=-2, b=-1, c=1, d=0, т.е. и

Поставим матрицу С в замену:

Подставим полученные значения в систему (2):

, где

При получаем систему

Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых  решение (на конечном интервале времени) отличается поправкой порядка  от гармонических колебаний:

Следовательно, при достаточно малом  = (Т) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса А в течении интервала времени Т.

При фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка ). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него, рассмотрим приращение энергии за один оборот вокруг начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу:

Подставляя значения и , получим:

Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O() по окружности радиуса А.

Пусть , тогда

для (при малых положительных значениях ), поэтому фазовые точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.

Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)

Так как detC>0, то при замене на ориентация системы координат не изменилась.

Литература

1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.

2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.

3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.

6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.

program coefficients;

type mas=array[1..100] of real;beg=array[1..6] of real;

var rez1,rez2:text;

r1,r2:mas;i:integer;r:beg;

procedure calculate(t:beg;var a:mas);

begin

for i:=1 to 6 do a[i]:=t[i];

for i:=7 to 100 do

a[i]:=2*a[i-5]/(i*(i-1))+a[i-1]*(1-i)/(2*i)

end;

begin

assign(rez1,'rez1.txt');

rewrite(rez1);

assign(rez2,'rez2.txt');

rewrite(rez2);

r[1]:=1;r[6]:=1/10;

calculate(r,r2);

r[1]:=0;r[2]:=1;r[3]:=1/4;r[6]:=0;

calculate(r,r1);

for i:=1 to 25 do begin

writeln(rez1,' ',r1[i],' ',r1[i+25],' ',r1[i+50],' ',r1[i+75]);

writeln(rez2,' ',r2[i],' ',r2[i+25],' ',r2[i+50],' ',r2[i+75]);

end;

close(rez1);close(rez2);

end.

0.0000000000E+00 -8.1624958212E-09 2.6771846582E-17 -3.2491066259E-25

1.0000000000E+00 4.0882043248E-09 -1.2724159976E-17 1.5836707627E-25

2.5000000000E-01 -1.9312581703E-09 6.0587809612E-18 -7.7230912899E-26

0.0000000000E+00 8.7931901201E-10 -2.8899594137E-18 3.7682040069E-26

0.0000000000E+00 -3.9113365760E-10 1.3806999533E-18 -1.8394445248E-26

0.0000000000E+00 1.7170446696E-10 -6.6063798253E-19 8.9833955968E-27

4.7619047619E-02 -7.4927003757E-11 3.1655138993E-19 -4.3892344328E-27

-1.1904761905E-02 3.2670558317E-11 -1.5188147944E-19 2.1454810957E-27

5.2910052910E-03 -1.4287416203E-11 7.2964561538E-20 -1.0491602917E-27

-2.3809523810E-03 6.2822346640E-12 -3.5094186285E-20 5.1325610907E-28

1.0822510823E-03 -2.7813172998E-12 1.6898431516E-20 -2.5118617002E-28

2.2546897547E-04 1.2405702723E-12 -8.1455391475E-21 1.2297620795E-28

-2.5668775669E-04 -5.5748878718E-13 3.9303541430E-21 -6.0228905014E-29

1.7731937375E-04 2.5231583802E-13 -1.8982784409E-21 2.9508171556E-29

-1.0542477804E-04 -1.1494982403E-13 9.1766487366E-22 -1.4461997657E-29

5.8436623727E-05 5.2681234526E-14 -4.4400237356E-22 7.0901975787E-30

-2.5841727522E-05 -2.4272611542E-14 2.1500363892E-22 -3.4771871308E-30

1.0525340241E-05 1.1236692030E-14 -1.0419555735E-22 1.7058202580E-30

-3.9487320804E-06 -5.2239376878E-15 5.0533583057E-23 -8.3708571981E-31

1.3207804853E-06 2.4378141584E-15 -2.4525851909E-23 4.1089817635E-31

-3.5067345145E-07 -1.1415093557E-15 1.1911535700E-23 -2.0175412562E-31

5.5497924241E-08 5.3615711160E-16 -5.7889316226E-24 9.9090274547E-32

1.5059649832E-08 -2.5253197948E-16 2.8151673613E-24 -4.8680681263E-32

-2.1523082502E-08 1.1924700892E-16 -1.3698530670E-24 2.3921919191E-32

1.4733681219E-08 -5.6440981997E-17 6.6695603490E-25 -1.1758340267E-32

1.0000000000E+00 1.7987642729E-08 -4.5312164317E-17 5.4992078518E-25

0.0000000000E+00 -8.3840108994E-09 2.1536019548E-17 -2.6804090156E-25

0.0000000000E+00 3.7670469949E-09 -1.0254665309E-17 1.3071557555E-25

0.0000000000E+00 -1.6526367936E-09 4.8913410547E-18 -6.3777953290E-26

0.0000000000E+00 7.1493015948E-10 -2.3368750685E-18 3.1133135776E-26

1.0000000000E-01 -3.0725084549E-10 1.1181490949E-18 -1.5204659400E-26

-4.2857142857E-02 1.3192138050E-10 -5.3577247549E-19 7.4289074616E-27

1.8750000000E-02 -5.6827322754E-11 2.5706384024E-19 -3.6312894115E-27

-8.3333333333E-03 2.4632088817E-11 -1.2349465142E-19 1.7757344336E-27

3.7500000000E-03 -1.0762594132E-11 5.9397935216E-20 -8.6870095383E-28

1.1363636364E-04 4.7441168372E-12 -2.8601088852E-20 4.2513992844E-28

-7.0143398268E-04 -2.1098685807E-12 1.3786562892E-20 -2.0814082337E-28

5.6412337662E-04 9.4633740966E-13 -6.6522391701E-21 1.0193918067E-28

-3.5348951644E-04 -4.2779448863E-13 3.2128916989E-21 -4.9943442121E-29

2.0067606005E-04 1.9475161560E-13 -1.5531745983E-21 2.4477353385E-29

-9.3119933452E-05 -8.9215279760E-14 7.5148698397E-22 -1.2000366465E-29

3.8663542340E-05 4.1095067060E-14 -3.6389993788E-22 5.8852407672E-30

-1.4570702990E-05 -1.9021691211E-14 1.7635402376E-22 -2.8871506037E-30

4.8347217880E-06 8.8424759764E-15 -8.5529565117E-23 1.4167920272E-30

-1.2403030595E-06 -4.1262694515E-15 4.1510720614E-23 -6.9545716342E-31

1.4719225001E-07 1.9320856329E-15 -2.0160622039E-23 3.4147474967E-31

9.7123795568E-08 -9.0747292577E-16 9.7979358322E-24 -1.6771318352E-31

-1.0404222235E-07 4.2742041848E-16 -4.7647529737E-24 8.2393474718E-32

6.7370672802E-08 -2.0182966417E-16 2.3185163214E-24 -4.0488546850E-32

-3.6472266477E-08 9.5528152219E-17 -1.1288425670E-24 1.9901334294E-32