Содержание
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
Задание №3. Вопрос №1.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №13. Вопрос №2.
Задание №18. Вопрос №9
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №14. Вопрос №2.
Задание №15. Вопрос №6.
Задание №18. Вопрос №9.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
 |
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. |
 |
машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |
 |
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
 |
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
 |
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь  свободных дней.
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD
(P) и предложения Q=QS
(P) и найдите координаты точки равновесия, если  ,  .
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD
(P) и предложения Q=QS
(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
| С осью OP (Q=0): |
С осью OQ (P=0): |
| Для Q=QS
(P): |
Для Q=QD
(P): |
|
|
|
 Т.к. функции QS
(P) и QD
(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
 , из этой системы получаем: 
 , тогда  , значит координаты т.M .
Ответ:Координаты точки равновесия равны , 
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Ответ:Производная заданной функции равна 
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа: 
Решение:
Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Задание №18. Вопрос №9
Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
1. Область определения данной функции:  .
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение:  , где:
  т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид:  , т.е.  - уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е.  :
  , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.  , отсюда  , следовательно  , значит точка  - точка экстремума функции.
На участке производная  > 0, значит, при , заданная функция возрастает.
На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно - точка максимума заданной функции .
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е.  :
 , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.  , значит  , тогда  , отсюда 
Отсюда  ,  .
 На участке производная  >0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке  производная >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная <0,значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки  ,  - точки перегиба графика заданной функции .
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах и . Задана функция полных издержек  . Цены этих товаров на рынке равны  и  . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
 ,  , 
Решение:
Пусть  - функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции :
 ,  . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:
Следовательно  - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения:  ,  ,  ,
тогда  ,  ,  ,  . Т.к.  > 0, то экстремум есть, а т.к.  < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска  и  , достигается максимальная прибыль равная:
Ответ: и достигается при объемах выпуска и .
Задание №12. Вопрос №9.
Вычислить неопределенный интеграл: 
Решение:
Ответ:
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)  .
Решение:
Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение 
Решение:
 . Разделив обе части на  , получим  . Проинтегрируем полученное уравнение  . Представим  , как  , тогда
Ответ:Решением данного уравнения является  .
Задание №18. Вопрос №9.
Найти общее решение уравнения: 
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения:  , тогда  , следовательно  ,  , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
 , 
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений  и  , возьмем  ,  , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: 
Представим правую часть уравнения, как  и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
 . Имеем  ,  , тогда т.к.  - многочлен второй степени, то общий вид правой части:  . Найдем частные решения:
 ,  , 
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем  , решив систему:
 , отсюда  .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:  .
Ответ:
.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел:  .
Решение:
 .
Ответ:Заданный предел равен  .
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
 .
Решение:
1. Область определения данной функции:  .
2. Т.к. точка  не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к.  и  , следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты.
3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где:
 т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид:  .
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
С осью OX: точка ,
с осью OY: точка
Ответ: и – уравнения асимптот заданной функции.
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите:  .
Решение:
Т.к. по определению производная функции  в точке вычисляется по формуле  , тогда приращение  в точке :  .
Следовательно  .
Ответ:
.
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя:  .
Решение:
 .
Ответ:Заданный предел равен  .
Дополнительно Часть I
I
.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке  уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением:  .
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции  в точке  имеет вид:  . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности:  . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
 .
Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид  .
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в области:  .
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
 , точка  не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями  и  . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1.  , тогда  ,  , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система имеет четыре решения:
 ,  ,  |
Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |
 ,  ,  |
Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |
 ,  ,  |
Точка  – точка условного минимума, при этом функция  . |
 ,  ,  |
Точка  – точка условного минимума, при этом функция  . |
2.  , тогда , ,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
 ,  , |
Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |
 ,  , |
Точка  – точка условного максимума, при этом функция  . |
 ,  , |
Точка  – точка условного минимума, при этом функция  . |
 ,  , |
В точке  – точка условного минимума, при этом функция  . |
Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках и и наименьшего в точках и при этом графики функций  и  касаются окружности  в точках ,  и  , соответственно (см. рис.6).
Ответ:Заданная функция при условии имеет  и  .
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл:  .
Решение:
Ответ:
Заданный неопределенный интеграл равен  .
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение:  .
Решение:
 . Разделив обе части на  , получим  . Проинтегрируем полученное уравнение:
 .
Ответ:
Решением данного уравнения является  .
|
:
:
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
, 
