МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………………..4

Глава I . Основные понятия и определения …………………………………….6

§ 1. * - алгебры ……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения ……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II . Задача о двух ортопроекторах ………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве …………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P ₂ ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P ₂ ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P ₂ …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве ……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P ₂ …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III . Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве ……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р₁ +Р₂ …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = а Р₁ + b Р₂ (0<а< b ) ……………………..53

Заключение ………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н – гильбертово пространство, L (Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н . Рассмотрим подмножество А в L (Н) , сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А , то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L (Н) ) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С *-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P ₂

P ₂ = С < p ₁ , p ₂ | p ₁ ² = p ₁ * = p ₁ , p ₂ ² = p ₂ * = p ₂ > ,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P ₂ , с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н . Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P ₂ . Неприводимые *-представления P ₂ одномерны и двумерны:

4 одномерных: π_0,0 ( p ₁ ) = 0, π_0,0 ( p ₂ ) = 0; π_0,1 ( p ₁ ) = 0, π_0,1 ( p ₂ ) = 1;

π_1,0 ( p ₁ ) = 1, π_1,0 ( p ₂ ) = 0; π_1,1 ( p ₁ ) = 1, π_1,1 ( p ₂ ) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н , а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р_1, Р₂ , применяется к изучению сумм Р₁ +Р₂ , аР₁ + b Р₂ (0 < a < b ). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р₁ +Р₂ или А = аР₁ + b Р₂ , 0 < a < b , (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I . Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

1.1. Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x , y , … называется алгеб-
рой, если:

1) А есть линейное пространство;

2) в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:

α (x y) = ( α x) y,

x ( α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x ( y + z ) = xy + xz для любых x , y , z А и любых чисел α.

Два элемента x , y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx . Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x * алгебры А в А , что

(i) (x*)* = x;

(ii) (x + y)* = x* + y*;

(iii) ( α x)* = x*;

(iv) ( x y )* = y * x * для любых x , y С .

Алгебра над С , снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х . Подмножество А , сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства ( i ) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А .

1.2. Примеры

1) На А = С отображение z → (комплексное число, сопряженное к z ) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

2) Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т , стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT : |f ( t ) | ε} компактно, f ( t ) А . Снабжая А отображением f → получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

3) Пусть Н – гильбертово пространство. А = L ( H ) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н . Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н ; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А →А* (АК(Н)) . Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н) , то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3 . Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е , удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех х А (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А .

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А , то

е΄х = хе΄ = х , для всех х А (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄ , а в (1.2.) х = е , получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е , следовательно е΄ = е .

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х , х А ; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄ , в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α₁ е + х₁ ) + (α₂ е + х₂ ) = (α₁ + α₂ )е + (х₁ + х₂ ),

(α₁ е + х₁ )(α₂ е+ х₂ )=α₁ α₂ е +α₁ х₂ +α₂ х₁ + х₁ х₂ (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, х А , так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х А , в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0 .

Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х А , в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α₁ ,х₁ ) + (α₂ , х₂ ) = (α₁ + α₂ , х₁ + х₂ ),

(α₁ ,х₁ )(α₂ , х₂ ) = (α₁ α₂ , α₁ х₂ + α₂ х₁ + х₁ х₂ ), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х А и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х) , мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х , если xy = e . Элемент z называется правым обратным элемента х , если xz = e .

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z , получим

z = (yx)z = y(xz) = ye ,

В этом случае говорят, что существует обратный х^-1 элемента х .

1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х , нормальным, если хх* = х*х . Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А . Если х и y эрмитовы, то ( xy )*= y * x * = yx ; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого х А элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z C , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х₁ + i х₂ , где х₁ , х₂ – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х₁ + i х₂ , следовательно:

, (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х₁ , х₂ , определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х₁ + i х₂ .

Эти элементы х₁ , х₂ называются эрмитовыми компонентами элемента х .

Заметим, что хх* = х₁ ² + х₂ ² + i (х₂ х₁ – х₁ х₂ ) ,

хх* = х₁ ² + х22 - i (х₂ х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х₁ и х₂ перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при х А , мы определим инволюцию в А΄ , удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х^-1 существует, то (х*)^-1 также существует и

(х*)^-1 = (х^-1 )*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х^-1 х = хх^-1 = е,

получим х* (х^-1 )*= (х*)^-1 х*=е.

Но это означает, что (х^-1 )* есть обратный к х* .

Подалгебра А₁ алгебры А называется *-подалгеброй, если из х А₁ следует, что х* А₁ .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А , есть минимальная *-подалгебра, содержащая S .

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х^-1 существует, то х^-1 В .

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В , то этим же свойством обладают х^-1 и (х*)^-1 = (х^-1 )*. В силу максимальности В отсюда следует, что х^-1 В .

Определение 1.6. Элемент х А - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е , иначе говоря, если х обратим и х = (х*)^-1 .

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А . Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А , то

((х y )*)^-1 = (у*х*)^-1 =(х*)^-1 (y *)^-1 = xy ,

поэтому xy унитарен, и так как ((х^-1 )*)^-1 = ((х*)^-1 )^-1 = х^-1 , то х^-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В , что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х, y А , α С . Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

(i) I ≠ A ;

(ii) Из х, y I следует x + y I ;

(iii) Из х I , аα А следует αх I .

Если I = А , то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А . Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I , если х- y I . Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А₁ операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А₁ становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A / I .

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х I следует х* I .

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I , то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A / I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х- y I , то х*- y * I . Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I . Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A / I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄ , то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А . Фактор-алгебра A / I *-изоморфна *-алгебре А΄ .

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х А в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A / I .

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L ( H ) .

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L ( H ) , что

π ( x + y ) = π( x ) + π( y ) , π (α x ) = απ( x ) ,

π ( xy ) = π( x ) π( y ) , π ( x *) = π ( x )*

для любых х, y А и α С .

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π₁ и π₂ инволютивной алгебры А в Н₁ и Н₂ соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U , действующий из гильбертова пространства Н₁ в гильбертово пространство Н₂ , переводящий π₁ (х) в π₂ (х) для любого х А , то есть

U π₁ (х) = π₂ (х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π(х) f (для всех х А ) плотно в Н . Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н₁ Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А )Н₁ Н₁ .

Если Н₁ инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х А ) можно рассматривать как операторы Н₁ . Сужения π(х) на Н₁ определяют подпредставления π₁ *-алгебры А в Н₁ .

Теорема 2.1. Если Н₁ инвариантное подпространство Н , то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н₁ , то есть ( f , g ) = 0 для всех g Н₁ . Тогда для любого х А (π(х) f , g ) = (f , π(х) *g ) = (f , π(х*) g ) = 0 , так как π(х*) g Н₁ . Следовательно, вектор π(х) f также ортогонален к Н₁ .

Обозначим через Р₁ оператор проектирования в Н на подпространство Н₁ Н₁ .

Теорема 2.2. Н₁ – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р₁ на Н₁ .

Доказательство. Пусть Н₁ – инвариантное подпространство и f Н₁ , но также π(х) f Н₁ . Отсюда для любого вектора f Н

π(х) Р₁ f Н₁

следовательно, Р₁ π(х) Р₁ f = π(х) Р₁ f ,

то есть Р₁ π(х) Р₁ = π(х) Р₁ .

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х , получаем, что также

Р₁ π(х) Р₁ = Р₁ π(х) .

Следовательно, Р₁ π(х) = π(х) Р₁ ; операторы Р₁ и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f Н₁

Р₁ π(х) f = π(х) Р₁ f = π(х) f ;

Следовательно, также π(х) f Н₁ . Это означает, что Н₁ – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f ₁ + … + f_n , где f ₁ , … ,f_n – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х) h = π(х) f ₁ +…+ π(х) f_n есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х) g .

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (π_i ) _{i I} - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н _i (i I ). Пусть

|| π_i ( х) || ≤ с_х

где с_х – положительная константа, не зависящая от i .

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н _i , то есть Н = Н _i . В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н , который индуцирует π_i (х) в каждом Н _i . Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н , называемое прямой суммой представлений π_i и обозначаемое π_i или π₁ …..π_n в случае конечного семейства представлений (π₁ …..π_n ). Если (π_i ) _{i I} – семейство представлений *-алгебры А , совпадающих с представлением π, и если CardI = c , то представления π_i обозначается через с π. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f ₀ ≠ 0 – какой-либо вектор из Н . Рассмотрим совокупность всех векторов π(х) f ₀ , где х пробегает всю *-алгебру А . Замыкание этой совокупности обозначим через Н₁ . Тогда Н₁ – инвариантное подпространство, в котором f ₀ есть циклический вектор. Другими словами, Н₁ есть циклическое подпространство представления π.

Если Н₁ = H , то предложение доказано; в противном случае H -Н₁ есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н₂ ортогональное Н₁ .

Обозначим через М совокупность всех систем {Н _α }, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н₁ , Н₂ }. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н _α } М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н _α }. Но тогда Н= Н _α ; в противном случае в инвариантном подпространстве Н -(Н _α ) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н₀ и мы получили бы систему {Н _α }Н₀ М , содержащую максимальную систему {Н _α }, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н .

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. Приf Н , f ≠ 0 , подпространство, натянутое на векторы π(х) f , х А , есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н . Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{αf | α C } инвариантно и потому совпадает с Н , то есть π(х)=0 в Н . Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н , то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н .

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А ) в L ( H ) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х) . Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f ) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ₀ такое, что E(λ) =0 при λ<λ₀ и E(λ) =1 при λ>λ₀ . Отсюда

В=λ dE(λ) = λ₀ 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х) . Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х) . Действительно,

В*π(х) = (π(х*) В)* = (Вπ(х*))* = π(х) В*

Поэтому эрмитовы операторы В₁ =, В₂ = также перестановочны со всеми операторами π (х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В₁ +i В₂ кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х) , кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Т π(х)= π΄ (х) Т для любого х А , называется оператором сплетающим π и π΄ .

Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄ . Тогда Т * : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ иπ, так как

Т *π΄ (х) = (π΄ (х) Т )* = (Т π (х*) )* = π(х) Т *

Отсюда получаем, что

Т * Т π(х)= Т *π΄ (х) Т = π(х) Т *Т (2.1.)

Поэтому | T | = (T *T )^1/2 перестановочен с π( А ) . Пусть Т = U | T | - полярное разложение Т . Тогда для любого х А

U π(х) | T | = U | T | π(х) = Т π(х) = π΄ (х) Т= π΄ (х) U | T | (2.2.)

Если KerT ={0}, то | T | (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

U π(х) = π΄ (х) U (2.3.)

Если, кроме того, = Н΄ , то есть если KerT *={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄ . Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т *Т и ТТ * - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А . Тогда π = π₁ …..π_n , где π_i неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ< q . Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ π΄΄ , причем dimπ΄<q , dimπ΄΄ <q , и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π₁ …..π_n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ₁ , ρ₂ – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н₁ и Н₂ . Пусть Р₁ и Р₂ – проекторы Н на Н₁ и Н₂ . Они коммутируют с π(А ). Поэтому ограничение Р₂ на Н₁ есть оператор, сплетающий ρ₁ и ρ₂ . Следовательно, если Н₁ и Н₂ не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ₁ и ρ₂ эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из π_i . Итак, перегруп-
пировав π_i , получаем, что π = ν ₁ …..ν _m , где каждоеν _i есть кратное ρ _i ν _i ΄ неприводимого представления ν _i ΄ , и ν _i ΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н _i , отвечающих ν _i , кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Н _i . Это доказывает, что каждое пространство Н _i определяется однозначно: Н _i – это подпространство Н , порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν _i ΄ . Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ₁ ν ₁ ΄ …..ρ_m ν _m ΄ представления π, (где ν ₁ ΄ ,…, ν _m ΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ _i и классы представлений ν _i ΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т , снабженное множеством В подмножеств Т , обладающим следующими свойствами: Т В , Ø В , В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т₁ , Т₂ – борелевские пространства. Отображение f : Т₁ → Т₂ называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т₂ есть борелевское множество в Т₁ .

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т .

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε= ((H (t ))_{t T} , Г ), где (H (t ))_{t T} – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т , а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i ) Г – векторное подпространство Н (t );

(ii) существует последовательность (х₁ , х₂ ,…) элементов Г таких, что для любого t T элементы х _n ( t ) образуют последовательность H (t );

(iii) для любого х Г функция t → ||x ( t ) || μ – измерима;

(iv) пусть х – векторное поле; если для любого y Г функция t → (x ( t ) , y ( t ) ) μ – измерима, то х Г .

Пусть ε= ((H (t ))_{t T} , Г ) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т . Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х Г и ||x( t) ||² dμ( t) < + ∞.

Если х , y – с интегрируемым квадратом, то х+ y и λх (λ С ) – тоже и функция t →( x ( t ), y ( t )) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t) ) d μ (t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н , называемое прямым интегралом Н ( t ) и обозначаемое x ( t ) d μ( t ) .

Определение 2.10. Пусть ε= ((H (t ))_{t T} , Г )– измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т . Пусть для любого t T определен оператор S ( t ) L (H ( t ) ). Если для любого х T поле t → S ( t ) x ( t ) измеримо, то t → S ( t ) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т , t → Н ( t ) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т . Пусть для каждого t T задано представление π( t ) *-алгебры А в Н ( t ) : говорят, что t → π( t ) есть поле представлений А .

Определение 2.11. Поле представлений t → π( t ) называется измеримым, если для каждого х А поле операторов t → π( t )х измеримо.

Если поле представлений t → π( t ) измеримо, то для каждого х А можно образовать непрерывный оператор π(х) =π( t ) ( x ) d μ( t ) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н ( t ) dμ( t ) .

Теорема 2.9. Отображение х→ π(х) есть представление А в Н .

Доказательство. Для любых х, y А имеем

π(х+ y ) = π(t) (x+y) dμ( t ) = (π(t) (x) + π(t) (y) ) dμ( t ) = π(t) (x )dμ( t ) +

+ π( t ) ( y ) d μ( t ) = π(х) + π( y )

Аналогично π( λх) = λπ(х), π(х y ) = π(х) π( y ) , π(х*)= π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π( t ) и обозначается π= π(t) dμ( t ) .

Определение 2.13. Операторное поле t →φ( t ) I ( t ) L ( H ( t ) ) где I ( t ) -единичный оператор в H ( t ) , называется диагональным оператором в Н =Н ( t )dμ( t ) .

Пусть ε= ((H (t ))_{t T} , Г ) – μ -измеримое поле гильбертовых пространств на Т , μ ₁ – мера на Т , эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ ₁ , μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ( t)= . Тогда отображение, которое каждому х Н ==Н ( t)dμ( t) составляет поле t→ρ( t^{) -1/2} х( t) Н₁ =Н ( t) dμ₁ ( t) ,

есть изометрический изоморфизм Н на Н₁ , называемый каноническим.

Действительно,

||ρ( t ^{) -1/2} х( t )dμ₁ ( t ) ||² = ||х( t ) ||² ρ( t ^{) -1} dμ₁ ( t ) = ||х( t ) ||² dμ₁ ( t ) = ||х( t ) ||²

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т , t → Н ( t ) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т , t → π( t ) – измеримое поле представлений А в Н ( t ) ,

Н =Н ( t ) dμ( t ) , π₁ == π(t )dμ( t ) ,

Д – алгебра диагональных операторов в Н . Пусть μ ₁ – мера на Т , эквивалентная μ ,

Н₁ =Н ( t ) dμ₁ ( t ) , π₁ =π(t) dμ ₁ ( t ) ,

Д₁ – алгебра диагональных операторов в Н₁ . Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π₁ и Д в Д₁ .

Доказательство. Пусть ρ( t )= . Канонический изоморфизм из Н в Н₁ есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x ( t ) d μ( t ) Н в

Ux = ρ ^-1/2 х( t ) d μ₁ ( t ) .

Пусть α А . Имеем

π₁ ( α)Ux = π(t)( α) ρ ^-1/2 х( t ) d μ₁ ( t ) = U π(t)( α) х( t ) d μ( t ) = U π( α)x ,

поэтому и преобразуем π в π₁ . Тогда если S Д , то аналогично SUx = USx , для любого х Н .

Определение 2.14. Пусть Т , Т₁ – борелевские пространства; μ , μ ₁ – меры на Т и Т₁ соответственно; ε= ((H (t ))_{t T} , Г ), Z ₁ = ((H ₁ (t ₁ ))_{t 1 T 1} , Г ), - μ -измеримое и μ ₁ -измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η : Т → Т₁ – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ ₁ ; η -изоморфизм ε на ε₁ называется семейство (V (t ))_{t T} , обладающееследующими свойствами:

(i) для любого t T отображение V ( t ) является изоморфизмом Н ( t ) на Н₁ (η( t )) ;

(ii) для того, чтобы поле векторов t → x ( t ) H ( t ) на Т было μ -измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η( t )→ V (t )х( t ) Н₁ (η( t )) на Т₁ было μ ₁ -измеримо.

Отображение, переводящее поле х Н =Н ( t) dμ( t) в поле η( t))→ V (t )х( t) Н₁ = Н₁ ( t) dμ ₁ ( t) , есть изоморфизм Н на Н₁ , обозначаемый V ( t) dμ( t) .

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т , t → H ( t ) – μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т , t → π( t ) - μ - измеримое поле представлений А в H ( t ) ,

Н =Н ( t ) dμ( t ) , π == π(t) dμ( t ) ,

Д – алгебра диагональных операторов в Н . Определим аналогичным образом Т₁ , μ ₁ , t ₁ → H ₁ ( t ₁ ), t ₁ → π₁ ( t ₁ ) , Н₁ , π₁ , Д₁ .

Предположим, что существует:

1. N , N ₁ – борелевские подмножества Т и Т₁ , такие что μ (N ) = μ (N ₁ ) = 0;

2. борелевский изоморфизм η : T \ N → T \ N ₁ , преобразует μ в μ ₁ ;

3. η -изоморфизм t → V (t ) поля t → Н (t ) (t Z \ N ) на поле t ₁ → Н₁ (t ₁ ) (t ₁ Т₁ \ N ₁ ) такой, что V (t ) преобразует π( t ) в π₁ (η( t )) для каждого t .

Тогда V =V ( t)dμ( t) преобразует Д в Д₁ и π в π₁ .

Доказательство. Обозначим через I _t , I _{t 1} единичные операторы в Н (t ) и Н₁ (t ₁ ). Если f L ^∞ (T , μ ) и если f ₁ – функция на Т₁ \ N ₁ , получаемая из f |(T \ N ) при помощи η , то V преобразует f ( t ) I _t dμ( t ) в f ₁ ( t ₁ ) I _{t 1} dμ ₁ ( t ₁ ) , поэтому V преоб-
разует Д в Д₁ . С другой стороны, пусть α А и х = х( t ) dμ( t ) Н .

Тогда

V π( α)х = V π(t)( α) х( t ) d μ( t ) = V (η ^-1 (t ₁ )) π(η ^-1 (t ₁ ))( α) х(η ^-1 (t ₁ )) d μ ₁ ( t ₁ ) = π₁ (t ₁ )( α) V (η ^-1 (t ₁ )) х(η ^-1 (t ₁ )) d μ ₁ ( t ₁ ) = π₁ ( α) V х

Поэтому V преобразует π в π₁ .

Приведем примеры прямых интегралов.

1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ на N , то есть μ( n ) =1 для любого n N . Тогда

Н ( n ) d μ( n ) = Н ( n ) , то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2. Пусть Т =[0, 1] и в каждой точке t Т соответствует поле комплексных чисел С , и на Т задана линейная мера Лебега dt . Тогда С dt = L ₂ (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х( t) dt →х( t) L₂ (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Н_к .

Образуем формальное произведение

(3.1.)

α = (α₁ ,…, α_n ) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н₁ ,…, Н _n и обозначается Н₁ ,…, Н _n = . Его векторы имеют вид:

f = (f _α C ), || f ||² =< ∞ (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

( f, g) = (3.3.)

Пусть f^{( k)} = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f⁽¹⁾ _… f⁽ⁿ⁾ = (3.4.)

Коэффициенты f _α = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || = (3.5.)

Функция Н₁ ,…, Н _n <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н₁ ,…, Н _n и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н₁ и Н₂ – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f₁ f₂ , причем считается, что

(f₁ + g₁ )f₂ = f₁ f₂ + g₁ f₂ (3.6.)

f₁ (f₂ + g₂ ) = f₁ f₂ + f₁ g₂ (3.7.)

(λ f₁ )f₂ = λ (f₁ f₂ ) (3.8.)

f₁ λ (f₂ ) = λ (f₁ f₂ ) (3.9.)

f₁ ,g₁ Н₁ ; f₂ ,g₂ Н₂ ; λ С .

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L .

(f₁ f₂ , g₁ g₂ ) = (f₁ g₁ )(f₂ g₂ ) (3.10.)

f₁ ,g₁ Н₁ ; f₂ ,g₂ Н₂ ,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов А_к L (Н_к , G_к ). Определим тензорное произведение А₁ …А _n = А_к формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н₁ ,…, Н _n = (Н₁ ,…, Н _n-1 )Н _n общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в G_к (к = 1, 2) и пусть g = G₁ G₂ . В качестве f возьмем вектор из Н₁ Н₂ с конечным числом отличных от нуля координат f _α .

Зафиксируем α₂ , β₁ Z₊ и обозначим через f (α₂ ) Н₁ вектор f (α₂ ) = и через g (β₁ )G₂ – вектор g (β₁ ) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G₁ G₂ ряда уже при произвольном c Н₁ Н₂ и оценка его нормы в G₁ G₂ сверху через ||A₁ || ||A₂ || ||f ||. Таким образом, оператор A₁ A₂ : Н₁ Н₂ → G₁ G₂ определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A₁ || ||A₂ ||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A₁ A₂ ) (f₁ f₂ )|| = ||A₁ f₁ ||||A₂ f₂ || (f_к Н_к , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f₁ , f₂ последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A₁ || ||A₂ ||, поэтому неравенство ||(A₁ A₂ )|| ≤ ||A₁ || ||A₂ || не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для А_к L (H_к , G_к ), В_к L (H_к , G_к ) (к = 1,…, n) соотношения

(В_к ) (А_к ) = (В_к А_к ) (3.13.)

(А_к )* = А_к *(3.14)

(А_к ) (f₁ … f _n ) = A₁ f₁ … A_n f_n (3.15.)

(f_к H_к ; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор А_к .

Приведем пример. Пусть H_к = L² ((0,1), d (m_к )) = L²

Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L² . Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L² , поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L² .

Глава II . Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P ₂

P ₂ = С < р₁ , р₂ | р₁ ² = р₁ * = р₁ , р₂ ² =р₂ * = р₂ >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2 p ₁ – 1, v = 2 p ₂ – 1, тогда u , v самосопряженные элементы.

u² = (2p₁ – 1)² = 4p₁ – 4p₁ + 1 = 1, v² = 1. Таким образом u , v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P ₂ можно задать иначе:

P ₂ = С < p₁ * = p₁ , p₂ * =p₂ | p₁ ² = p₁ , p₂ ² = p₂ > = C <u * = u , v * = v | u² = 1, v² =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P ₂ , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P ₂ . Пусть π: P ₂ → L( H) - *-представление *-алгебры P ₂ . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P ₂ = С < р₁ , р₂ | р₁ ² = р₁ * = р₁ , р₂ ² =р₂ * = р₂ >

Обозначим через Р_к = π(р_к ) , к = 1,2. Поскольку р_к ² = р_к * = р_к (к = 1, 2) и π - *-представление, то Р_к ² = Р_к * = Р_к (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Н_к = {y H | Р_к y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1. Н₁ = Н₂ = {0}; тогда Р₁ = 0, Р₂ = 0.

2. Н₁ = Н (то есть dim H ₁ =1), Н₂ = {0}, тогда Р₁ = 1, Р₂ = 0.

3. Н₁ = {0}, Н₂ = Н (то есть dim H₂ =1), тогда Р₁ = 0, Р₂ = 1.

4. Н₁ = Н₂ = Н (dim H₁ = dim H₂ =1), тогда Р₁ = 1, Р₂ = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P ₂ , причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P _{2 .} Обозначим через Н_к область значений оператора Р_к при к = 1,2. Пусть Н_к ^┴ - ортогональное дополнение подпространства Н_к (к = 1,2) в Н . Тогда Н =H₁ Н₁ ^┴ , Н =H₂ Н₂ ^┴

Введем дополнительные обозначения :

Н_0,0 = Н₁ ^┴ ∩Н₂ ^┴ , Н_0,1 = Н₁ ^┴ ∩Н₂ , Н_1,0 = Н₁ ∩Н₂ ^┴ , Н_1,1 = Н₁ ∩Н₂ . (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H_ij нетривиально, то есть dim H_ij =1. Пусть, например, dim Н_1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н_1,0 = л.о. {h }, но тогда P₁ h = h , P₂ h = 0; следовательно Н_1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что H_ij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть H_ij линейно независимы) и dim H₁ = dim H₂ =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e₁ , e₂ } и {g₁ , g₂ }, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид . Найдем матрицу оператора Р₂ в базисе {e₁ , e₂ }.

Пустьg₁ = a₁₁ e₁ + a₁₂ e₂

g₂ = a₂₁ e₁ + a₂₂ e₂

e₁ = b₁₁ g₁ + b₁₂ g₂

e₂ = b₂₁ g₁ + b₂₂ g₂

Рассмотрим векторы h₁ = e^it e₁ и h₂ = e^il e₂ , тогда

|| h₁ || = || e^it e₁ || = || e₁ || = 1, || h₂ || = || e^il e₂ || = || e₂ || = 1

(h₁ , h₂ ) = (e^it e₁ , e^il e₂ ) = e^{i ( t- l)} ( e₁ , e₂ ) = 0, то есть {h₁ , h₂ } – ортонормированный базис.

Р₁ h₁ =e^{i t} Р₁ e₁ = h₁ , Р₁ h₂ =e^il Р₁ e₂ = 0.

Значит в базисе {h₁ , h₂ } матрица оператора Р₁ также имеет вид . Тогда можно считать, что a₁₁ ,a₁₂ > 0 (так как, например, a₁₁ e₁ =|a₁₁ | e^it e₁ =|a₁₁ | h₁ )

(e₁ , e₂ )= 0, значит a₁₁ a₂₁ = a₁₂ a₂₂ = 0 или , тогда существует такое комплексное число r , что

a₂₂ = - r a₁₁

a₂₁ = r a₁₂

Базис (e₁ , e₂ ) ортонормированный; следовательно

a₁₁ ² + a₁₂ ² = 1

|a₂₂ |² + |a₂₁ |² = 0

тогда | r | = 1.

Р₂ e₁ = Р₂ ( b₁₁ g₁ + b₁₂ g₂ ) = b₁₁ g₁ = b₁₁ a₁₁ e₁ + b₁₁ a₁₂ e₂ ,

Р₂ e₂ = Р₂ ( b₂₁ g₁ + b₂₂ g₂ ) = b₂₁ g₁ = b₂₁ a₁₁ e₁ + b₂₁ a₁₂ e₂ .

Найдем b₁₁ и b₂₁ :

e₁ = b₁₁ g₁ + b₁₂ g₂ = b₁₁ (a₁₁ e₁ + a₁₂ e₂ ) + b₁₂ (a₂₁ e₁ + a₂₂ e₂ ) = (b₁₁ a₁₁ + b₁₂ a₁₂ )e₁ + (b₁₁ a₁₂ + b₁₂ a₂₂ )e₂ ,

b₁₁ a₁₁ + b₁₂ a₁₂ = 1

b₁₁ a₁₂ + b₁₂ a₂₂ = 0 или

b₁₁ a₁₁ + b₁₂ a₁₂ r = 1

b₁₁ a₁₂ - b₁₂ a₁₁ r = 0,

Тогдаb₁₁ = a₁₁ .

Аналогично

E₂ = b₂₁ g₁ + b₂₂ g₂ = (b₂₁ a₁₁ + b₂₂ a₂₁ )e₁ + (b₂₁ a₁₂ + b₂₂ a₂₂ )e₂ ,

b₂₁ a₁₁ + b₂₂ a₂₁ = 0

b₂₁ a₁₂ + b₂₂ a₂₂ = 1,

отсюда находим, что b₂₁ = a₁₂ .

Тогда матрица оператора Р₂ в базисе {e₁ , e₂ } будет иметь вид (обозначим ее также через Р₂ )

Р₂ = , где a₁₁ >0, a₁₂ >0 и a₁₁ ² + a₁₂ ² =1

А) Пусть a₁₁ ² = τ , тогда a₁₂ ² =1 – τ , a₁₁ a₁₂ = . Так как a₁₁ a₁₂ >0, то τ (0, 1).

Тогда Р₂ = .

В) Положим a₁₁ = cosφ, тогда a₁₂ = sinφ и Р₂ запишется следующим образом

Р₂ = .

Найдем коммутант π( P ₂ ) . Пусть Т = оператор перестановочный с Р₁ и Р₂ , тогда

ТР₁ = =

Р₁ Т = =

Следовательно b = c = 0.

ТР₂ = =

Р₂ Т= =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ , ν (0, 1), τ ≠ ν . Предположим, что существует унитарный оператор в Н , устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР₁ = Р₁ U, следовательно U= , a, b C

UР₂ (τ ) = =

Р₂ (ν ) U = = .

Тогда τ = ν , следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P ₂ → L( H) - *-представление *-алгебры P ₂ .

Тогда:

( i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π_0,0 ( p₁ ) = 0; π_0,0 ( p₂ ) = 0; π_1,0 ( p₁ ) = 1; π_1,0 ( p₂ ) = 0; π_0,1 ( p₁ ) = 0; π_0,1 ( p₂ ) = 1; π_1,1 ( p₁ ) = 1; π_1,1 ( p₂ ) = 1;

( ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π( p₁ ) , π( p₂ ) τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii ) можно положить π( p₂ ) = φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P ₂ . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н . Если dimН =2n +1, где n >1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН₁ , dimН₁ ^┴ ) + max (dimН₂ , dimН₂ ^┴ ) > 2n +1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 иj = 0,1, что Н _{i, j} ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН =2n , n >1 натуральное. Будем считать, что dimН₁ = n , dimН₂ = n и Н _{i, j} = {0} для любых i = 0,1 иj = 0,1, то есть Н _{i, j} линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х Н₁ такой, что Р₁ Р₂ х = λх , где λ С .

Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н , в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид , где I – единичная матрица порядка n . Пусть базисы (е ) и (g ) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х Н₁ , то , g_k C , к = 1,…, n . Тогда

Р₁ Р₂ х = Р₁ Р₂ = Р₁ Р₂ = Р₁ =

= Р₁ = = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁ ,…, q_n :

=

j = 1,…, n

Подбирая λ C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁ ,…, q_n . Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L =л.о. {х , Р₂ х } – инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂ .

Доказательство. Проверим инвариантность L . Для любых a, b С имеем

Р₁ (aх + b Р₂ х ) = aх + λbх = (a + λb ) х L ,

Р₂ (aх + b Р₂ х ) = a Р₂ х + b Р₂ х = (a + b ) Р₂ х L

dimL = 2, так как Н _{i, j} = {0} (для всех i, j = 0,1).

Действительно, если aх + b Р₂ х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р₂ х , значит = 0 или 1 и х Н_1,1 ; тогда Н_1,1 ≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n , n >2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P ₂ . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n . В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P ₂ , а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ((С² Н_к )), (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно φ_к (0, ), φ_к ≠ φ _i при к ≠i , dimН_к = n_к (к = 1,…, m ). Пусть Р_{i, j} : Н → Н _{i, j} , Рφ_к : Н → С² Н_к – ортопроекторы к = 1,…, m . Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1 (Рφ_к ), (1.2.)

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I_к )) (1.3)

Р ₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к )) (1.4)

где I_к – единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m ).

Доказательство. Пусть dimН _{i, j} = n_{i , j} . Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄ , где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φ_к (0, ):

Н΄ = Н φ_к , (l = n - )

Собирая вместе все Н φ_к , у которых одно φ_к , получим изоморфизм

Н φ_к … Н φ_к ≈ С² Н_к , где Н φ_к n_к экземпляров, dim(Н φ_к … Н φ_к )=2n_к dim(С² Н_к ) = dimС² dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ((С² Н_к ))

Пусть π_{i, j} – сужение π на Н _{i, j} ( i, j = 0,1), π_к – сужение π на Н φ_к (к = 1,…, m ), то есть π_{i, j} и π_к - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n_0,0 π_0,0 n_0,1 π_0,1 n_1,0 π_1,0 n_1,1 π_1,1 (n_к π_к ) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1 (Р φ_к )

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I _к ))

Р ₂ = P_0,1 P_1,1 (I _к ))

Причемn_1,0 π_1,0 (р ₁ ) = P_1,0 , n_0,1 π_0,1 (p₂ ) = P_0,1 , n_1,1 π_1,1 (р ₁ ) = P_1,1 , n_0,0 π_0,0 (p₂ ) = P_0,0 . В силу теоремы 2.8. главы I разложения I , Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P ₂ . Пусть А = Р₁ - Р₁ ^┴ = 2Р₁ – I и В = Р₂ – Р₂ ^┴ = 2Р₂ – I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1 =ВА и А^-1 UА = АUА = А² ВА = ВА = U^-1 , следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1 А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р₁ LL, Р₂ LL. Рассмотрим АL = (2Р₁ – I)LL, ВL = (2Р₂ – I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁ L = LL, Р₂ L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если e^{i φ} (U), то e^{- iφ} (U).

Доказательство.

1) Если e^{i φ} принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f Н: ||f || = 1 и Uf = e^{i φ} f . Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1 f = e^{i φ} Аf , следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^{- iφ} принадлежит спектру U.

2) Если e^{i φ} (U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - e^{i φ} f_n || = || UАf_n - e^{i φ} Af_n || = || U^-1 Аf_n - e^{i φ} Af_n || → 0 при n → ∞ (|| Аf_n || =1)

Тогда e^{i φ} (U^-1 ), следовательно e^{- iφ} (U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1 ) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1 ) = А (U² – 2I + U^-2 ) = (U² – 2I + U^-2 )А = (U - U^-1 )² А

Таким образом А (U + U^-1 ) = (U^-1 +U)А (2.2.)

А (U - U^-1 ) = (U - U^-1 )² А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = c I

(U - U^-1 )² = d² I

где c, d С. По теореме преобразования спектров e^{i φ} + e^{- iφ} = c, e^{i φ} - e^{- iφ} = ±d.

1) Если d = 0, то (U) состоит из одной точки e^{i φ} , где φ =0 или φ =π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x }, х H.

2) Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек e^{i φ} = и e^{- iφ} =φ (0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению e^{i φ} (или e^{- iφ} ), Н_eiφ = {f H | Uf = e^{i φ} f } одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = e^{i φ} f , U(Аf ) = e^{i φ} Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_eiφ = dimН_{- eiφ} =1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {e^{i φ} , e^{- iφ} } φ (0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U= , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁ , Р₂ ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ((С² L₂ ((0, ), dρ_к ))) (2.4.)

где ρ ₁ > ρ ₂ >… ρ _к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I _к )) (2.5.)

Р ₂ = P_0,1 P_1,1 (I _к )) (2.6.)

I_к – единичный оператор в L₂ ((0, ), dρ_к )

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 Н΄ , то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P ₂ отвечает циклическое представление π_F *-алгебры P ₂ в некотором гильбертовом пространстве Н _F . При этом Н _F можно реализовать как L₂ (F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μ_F на Т.

Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство Н _ξ Н , которое получается замыканием множества векторов вида π(х) ξ, где х А . Ограничения операторов из π( А ) на Н _ξ является циклическим представлением. Обозначим его через π_ξ , а соответствующую меру на Т через μ_ξ . Введем упорядочение в Н , полагая ξ>η, если μ_ξ > μ_η (то есть μ_η абсолютно непрерывна по мере μ_ξ ).

Если ηН _ξ , то Н _η Н _ξ , тогда π_η – циклическое подпредставление π_ξ . Пусть Е Т и μ_ξ (Е) = 0, тогда μ_η (Е) = 0, следовательно μ_ξ > μ_η , а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н . Пусть существует счетное разложение Н = Н η_к . Пусть {ζ_i } – последовательность, в которой каждый из векторов η_i встречается бесконечное число раз. Определим ξ_к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

1) ξ_к+1 – максимальный вектор в (Н ξ_i )^┴ ,

2) d (ζ_к , Н ξ_i ) ≤ .

Тогда разложение Н = Н ξ_к такое что ξ_к >ξ_к+1 и μ_к >μ_к+1 .

Пусть представления π_μ в L₂ (Т, μ) и π_ν в L₂ (Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L₂ (Т, μ) →L₂ (Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а =v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπ_μ (g)f = π_ν (g)vf = π_ν (g)a = ga . Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a |² dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С² L₂ (Т,μ_к )), где μ₁ >μ₂ >… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P₁ = P_1,0 P_1,1 ((I _к ))

Р ₂ = P_0,1 P_1,1 (I _к ))

I_к – единичный оператор в L₂ ((0, ), dρ_к ).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 С² Н (φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р₁ , Р₂ подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I₊ =E(0, ) в Н₊ =С² Н (φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P₁ = P_1,0 P_1,1 I₊ (2.8.)

Р ₂ = P_0,1 P_1,1 dЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L₂ (R , dρ_к ), где ρ_к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III . Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = _р (Р) = {0, 1}, где _р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y , х, y Н , λ С . Тогда (1 - λ) Р_х = Р_y . Если λ ≠ 1, то Р_х = Р_y . Если х ≠ 1, то х = (Р_y - y ), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Р_х ≠ 0. Тогда Р(Р_х ) = Р_х , то есть 1 _р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y , то есть 0 _р (Р). Итак, (Р) = _р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р₁ и Р₂ в унитарном пространстве Н . Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р₁ + Р₂ в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н_к – область значений оператора Р_к к = 1,2. Обозначим через А = Р₁ + Р₂ и найдем (А).

1) Р₁ = Р₂ = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х , то есть 0 (А).

2) Р₁ = 0, Р₂ = I, то для любого х Н₂ = Н Ах = х , то есть 1 (А).

3) Р₁ = I, Р₂ = 0, то для любого х Н₁ = Н Ах = х .

4) Р₁ = Р₂ = I, то для любого х Н₁ = Н₂ = Н Ах = Р₁ х + Р₂ х = 2х , то есть 2 (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н_0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н_0,1 или х Н_1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н_1,1 , тогда Ах = 2х , то есть 2 (А).

Если существуют i, j = 0,1 такие, что Н _{i, j} ≠ {0}, то существуют k, l = 0,1 такие, что Н _{i, j} Н _{k, l} = H . В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н _{k, l} = {0} для любых k, l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р₁ и Р₂ , тогда АLL . Пусть х L , тогда Р_k х = λ_к х (k = 1, 2 ). Так как Р_k ортопроектор, то возможны случаи:

(i) λ₁ = 0, λ₂ = 0;

(ii) λ₁ = 0, λ₂ = 1;

(iii) λ₁ = 1, λ₂ = 0;

(iv) λ₁ = 1, λ₂ = 1;

Но это означает, что k, l = 0,1 такие, что Н _{k, l} ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р₁ , Р₂ неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р₁ и Р₂ в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р₁ = , Р₂ τ (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов a Р₁ +b Р₂ , a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(a Р₁ +b Р₂ – λI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ₁ = 1+ε , λ₂ = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ <1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n -мерном пространстве. Пусть dimH =n . Если Н =К L , где К , L инвариантные подпространства относительно оператора А , то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l , k K , l L . Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl ;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н₀ = Н_0,0 , Н₁ =Н_0,1 Н_1,0 , Н₂ =Н_1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Н φ_к φ_к (0, ), (к = 1,…, s ). При этом операторы Р₁ и Р₂ неприводимы в Н φ_к (к = 1,…, s ), и собственные значения 1+ε_к , 1-ε_к входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Н φ_к = Н _{1+ ε к} Н _{1- ε к} , причем dimН _{1+ ε к} =dimН _{1- ε к} = 1 (1.3)

Если φ_к ≠ φ _i , то ε_к ≠ ε_i (так как ε_к = =cosφ_к и φ_к (0, )). Объединим все Н φ_к , у которых одинаковые φ_к , в одно слагаемое, и обозначим его через Н φ_к . При этом, если dimН φ_к = 2q_k , то есть Н φ_к состоит из q_k экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φ_к , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Н φ_к = Н _{1+ ε к} Н _{1- ε к} , dimН _{1+ ε к} =dimН _{1- ε к} = q_k .

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ и Р₂ тогда и только тогда, когда

(А ) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), 0<ε_к <1,

причем dimН _{1+ ε к} =dimН _{1- ε к} к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р₁ и Р₂ , тогда его спектр был найден выше:

(А ) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), где 0<ε_к <1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН _{1+ ε к} =dimН _{1- ε к} . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С² Н_к )) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С² (Н _{1+ ε к} Н _{1- ε к} ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P _{Н 2} ((I _к )) (1.6.)

Р ₂ = P_{Н 1} P_{Н 2} (I _к )) (1.7.)

где P_{Н к} – ортопроектор в Н на Н_(к) (к = 1, 2), I_s – единичный оператор в H_s s =1,…, m . Но тогда

Р₁ + Р₂ = P_{Н 1} P_{Н 2} ( I_к )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с . Из (1.2.) следует λ₁ + λ₂ = a + b . Пусть λ₂ = ε, тогда λ₁ = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b )² – 4a b (1-τ ) = (a - b )² + 4a bτ > 0.

Тогда ε = > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a )² +4ab τ ≤ (b – a )²

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ₁ = ε

λ₂ = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n . Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = a Р₁ +b Р₂ , 0<a <b тогда и только тогда, когда

(А ) {0, a , b , a + b }({ε_к , a + b - ε_к }), 0<ε_к <1, и

dimН _{ε к} =dimН _{a+ b - ε к} (Н _{ε к} , Н _{a+ b - ε к} - собственные подпространства оператора А, отвечающие ε_к ) к =1,…m .

Доказательство. Пусть А = a Р₁ +b Р₂ , 0<a <b . Найдем (А).

1) х Н_0,0 , то Ах = 0 и 0 (А);

2) х Н_0,1 , то Ах = bx и b (А);

3) х Н_1,0 , то Ах = ax и a (А);

4) х Н_1,1 , то Ах = ( a+ b) x и a+ b (А).

Тогда (А) {0, a , b , a + b }({ε_к , a + b - ε_к }), где 0<ε_к <1, к =1,…m . Причем числа ε_к , a + b - ε_к входят одновременно в спектр А , и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ε_к также инвариантна относительно А и dimН _{ε к} =dimН _{a+ b - ε к} = q_k . (с учетом кратности ε_к )

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н₍₀₎ Н_{( a)} Н_{( b)} Н_{( a+ b)} ((С² Н_к )) (1.9.)

Где Н₍₀₎ =Н_0,0 , Н_{( a)} =Н_1,0 , Н_{( b)} =Н_0,1 , Н_{( a+ b)} =Н_1,1 или

Н = Н₍₀₎ Н_{( a)} Н_{( b)} Н_{( a+ b)} ((Н _{ε к} Н _{a+ b - ε к} ) (1.10.)

Положим

P₁ = P_a P_a+b ((I _к )) (1.11.)

Р ₂ = P_b P_a+b (I _к )) (1.12.)

Но тогда

a Р ₁ + b Р ₂ = a P_a b P_b (а +b) P_a+b (a (I _к ))

(b I _к )) = A .

Спектр оператора А совпадает с {0, a , b , a + b }({ε_к , a + b - ε_к }), (0<ε_к <1, к =1,…m ) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р₁ + Р₂ . Изучим оператор Р₁ + Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ + Р₂ тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С² L₂ ((0, ), dρ_к ))) (2.1.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р₁ +Р₂ . Н₀ =Н_0,0 , Н₁ =Н_1,0 Н_0,1 , Н₂ =Н_1,1

Поставим в соответствие φ→ ε cosφ , где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С² L₂ ((0,2), dρ_к )))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρ_к (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х .

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р₁ ΄ Р₂ ΄ равенствами

Р₁ ΄ = P₁ P₂ (( I_к ))

Р₂ ΄ = P₂ ( I_к ))

где P_i : Н → Н _i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I_k – единичный оператор в L₂ ((0,2), dρ_к )). Тогда А =Р₁ ΄ + Р₂ ΄- самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р_к ΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = a Р₁ +b Р₂ (0<a <b ). Рассмотрим теперь случай, когда А = a Р₁ +b Р₂ (0<a <b ).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = a Р₁ +b Р₂ , 0<a <b тогда и только тогда, когда (А) [0, a ] [b, a+ b ] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н _a Н _b Н _{a+ b} ((С² L₂ ([0, a ] [b, a+ b ], dρ_к )))) (2.2.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования х→ a+ b .

Доказательство. Пусть А = a Р₁ +b Р₂ (0<a <b ). Пусть Н₀ =Н_0,0 , Н_а =Н_0,1 , Н _b =Н_1,0 , Н _{a+ b} =Н_1,1 . Так как (А) [0, a ] [b, a+ b ] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н₀ Н _a Н _b Н _{a+ b} ((С² L₂ ([0, a ] [b, a+ b ], dρ_к ))))

где меры ρ_к (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+ b-х .

Обратно, пусть (А) [0, a ] [b, a+ b ] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_a P_a+b ((I _к ))

Р ₂ = P_b P_a+b (I _к ))

где Р_α : Н→ Н _α , α = a, b, a+ b – ортопроекторы, I_к – единичный оператор в L₂ ([0,a ] [b, a+ b ]). Тогда

А = a Р ₁ + b Р ₂ = a Р ₁ b Р ₂ (a+b )P_a+b ((I _к ))

( I_к ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н , приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P ₂ .

P ₂ = С <p₁ , p₂ | p_к ² = p_к * =p_к >.

А именно: 4 одномерных π_0,0 (p₁ ) = 0, π_0,0 (p₂ ) = 0; π_0,1 (p₁ ) = 0, π_0,1 (p₂ ) = 1; π_1,0 (p₁ ) = 1, π_1,0 (p₂ ) = 0; π_1,1 (p₁ ) = 1, π_1,1 (p₂ ) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р₁ + Р₂ , a Р₁ +b Р₂ (0<a <b ), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р₁ + Р₂ и А = a Р₁ +b Р₂ (0<a <b ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.