Контрольная работа: Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

© Н.М. Козий, 2008, [UA]

Свидетельство Украины № 25256

о регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

N = A + B ,

где: А и В – простые числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

- количество членов прогрессии равно N;

- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую V и убывающуюU арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U :

U₁ = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V₁ =[ 0,5N +1… N-3, N-1],

а часть прогрессии U :

U₂ = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V₂ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:

V₀ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U₀ = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V_0i + U_0i = N,

где V _{0 i} и U _{0 i} - i – тые члены прогрессий V ₀ иU ₀ .

Приn – четном количество членов прогрессии V ₀ равно количеству членовпрогрессииU ₀ и равно:

K = 0,5∙n = 0,25· N . /1/

Напишем возрастающую V и убывающуюU арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U :

U₃ = [N-1, N-3 … 0,5N]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V₃ = [0,5 … N-3, N-1],

а часть прогрессии U :

U₄ = [0,5N … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V₄ = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:

V₀ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U₀ = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].

Приэтом:

V_0i + U_0i = N,

где V _{0 i} и U _{0 i} - i – тые члены прогрессий V ₀ иU ₀ .

Приn –нечетном количество членов прогрессии V ₀ равно количеству членовпрогрессииU ₀ и равно:

К =0,5·( n +1) = 0,25·( N + 2). /2/

Количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} прогрессий V ₀ иU ₀ равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Z_pv – количество простых чисел в прогрессии V ₀ ;

Z_sv -- количество составных чисел в прогрессииV ₀ ;

Z_pu -- количество простых чисел в прогрессии U ₀ ;

Z_su -- количество составных чисел в прогрессии U ₀ ;

П _{s / v} – количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} , состоящих из составных чисел прогрессии U ₀ и простыхчисел прогрессииV ₀ ;

П _{s / u} – количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} , состоящих из составных чисел прогрессии V ₀ и простыхчисел прогрессии U ₀ ;

П_р -- количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} , состоящих из простыхчисел прогрессий V ₀ иU ₀ .

Очевидно, что:

П = К = Z_pv + Z_sv = Z_pu + Z_su ; /3/

Z_sv = K - Z_pv ; Z_su = K - Z_pu .

Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N ≤ 116 : Z_pv > Z_su ; Z_pu > Z_sv ;

- для чисел N = 118…136: Z_pv = Z_su ; Z_pu = Z_sv ;

- для чисел N ≥138: Z_pv < Z_su ; Z_pu < Z_sv .

Составим прогрессии V ₀ иU ₀ для произвольно взятых чисел N , разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Z_pv , Z_sv , Z_pu , Z_{su ,} П _{s / v} , П _{s / u} , П_р и соотношения между ними как для прогрессий V ₀ иU ₀ в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

ПРИМЕР 1. N =120; n =0,5 N =0,5·120 = 60 – четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} равно:

П = К = 0,25· N =0,25∙120 =30.

V ₀ ={ V ₀₁ =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V ₀₂ =[ 15 17 19 21 23 ] V ₀₃ =[ 25 27]

U ₀ ={ U ₀₁ = [119 117 115 113 111 109 107 ] U ₀₂ =[105 103 101 99 97 ] U ₀₃ =[ 95 93]

П_р * * * * * *

V₀₄ = [ 29 31 ] V₀₅ = [ 33 35 ] V₀₆ = [ 37 39 41 43 45 47 ] V₀₇ = [ 49 51 53 ]

U₀₄ = [ 91 89 ] U₀₅ = [ 87 85 ] U₀₆ = [ 83 81 79 77 75 73 ] U₀₇ = [ 71 69 67 ]

П_р * * * * *

V ₀₈ = [ 55 57 59 ] }.

U ₀₈ = [ 65 63 61 ] }.

П_р *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V ₀ и U ₀ в целом имеем:

Z_pv =17, Z_sv =13, Z_pv = Z_su , П_{s / v} =5, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =13, Z_su =17, Z_pu = Z_sv , П_{s / u} =1, П_р = 12.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 17 – 5 = 12;

R_u = Z_pu - П_{s / u} = 13 – 1 = 12.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует:

R_v =R_u =П_р = 12.

Для подпрогрессий V ₀₁ иU ₀₁ имеем:

Z_pv =6, Z_sv =1, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =3, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =3, Z_su =4, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =0, П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 6 – 3 = 3; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 3.

Для подпрогрессий V ₀₂ иU ₀₂ имеем:

Z_pv =3, Z_sv =2, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =0, П_{s / v} =П_{s / u} = 0,

Z_pu =3, Z_su =2, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =0, П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 3 – 0 = 3; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 3.

Для подпрогрессий V ₀₄ иU ₀₄ имеем:

Z_pv =2, Z_sv =0, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =1, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =1, Z_su =1, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =0, П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 2 – 1 = 1; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 1.

Для подпрогрессий V ₀₆ иU ₀₆ имеем:

Z_pv =4, Z_sv =2, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =1, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =3, Z_su =3, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =0, П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 4 – 1 = 3; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 3.

Для подпрогрессий V ₀₇ иU ₀₇ имеем:

Z_pv =1, Z_sv =2, Z_pv = Z_su , П_{s / v} =0, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =2, Z_su =1, Z_pu = Z_sv , П_{s / u} =1, П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 1 – 0 = 1; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 2 – 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 1.

Для подпрогрессий V ₀₈ иU ₀₈ имеем:

Z_pv =1, Z_sv =2, Z_pv < Z_su , П_{s / v} =0, П_{s / v} =П_{s / u} = 0,

Z_pu =1, Z_su =2, Z_pu < Z_sv , П_{s / u} =0, П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 1 – 0 = 1; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 1.

ПРИМЕР 2. N =154; n =0,5 N =0,5·154= 77 – нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V _{0 i} + U _{0 i} равно:

П = К =0,5( n +1) = 0,25( N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V ₀ = {V ₀₁ = [ 1 3 5 7 9 ] V ₀₂ = [ 11 13 15 17 19 21 23 ] »

U ₀ ={ U ₀₁ = [153 151 149 147 145] U ₀₂ = [143 141 139 137 135 133 131 ] »

П_р * * * *

V ₀₃ =[ 25 27 29 31 33 35 37 39] V ₀₄ = [ 41 43 45 47 49 51 53 ]

U ₀₃ = [129 127 125 123 121 119 117 115] U ₀₄ =[113 111 109 107 105103 101 ]

П_р * * *

» V ₀₅ = [55 57 59 61 63 65 67 69] V ₀₆ = [ 71 73 ] V ₀₇ = [ 75 77 ] }.

» U ₀₅ = [99 97 95 93 91 89 87 85] U ₀₆ = [ 83 81 ] U ₀₇ = [ 79 77 ] }.

П_р *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V ₀ и U ₀ в целом имеем:

Z_pv =21, Z_sv =18, Z_pv < Z_su , П_{s / v} =13, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =15, Z_su =24, Z_pu < Z_sv , П_{s / u} =7, П_р = 8.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 21 – 13 = 8; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 15 – 7 = 8.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 8.

Для подпрогрессий V ₀₁ иU ₀₁ имеем:

Z_pv =4, Z_sv =1, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =2, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =2, Z_su =3, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =0, П_р = 2.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 4 – 2 = 2; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 2 – 0 = 2.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 2.

Для подпрогрессий V ₀₂ иU ₀₂ имеем:

Z_pv =5, Z_sv =2, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =3, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =3, Z_su =1, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =1, П_р = 2.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 5 – 3 = 2; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 3 – 1= 2.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 2.

Для подпрогрессий V ₀₄ иU ₀₄ имеем:

Z_pv =4, Z_sv =3, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =1, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =5, Z_su =2, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =2, П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 4 – 1 = 3;

R_u = Z_pu - П_{s / u} = 5 – 2 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 3.

Для подпрогрессий V ₀₆ иU ₀₆ имеем:

Z_pv =2, Z_sv =0, Z_pv > Z_su , П_{s / v} =1, П_{s / v} ≠П_{s / u} ,

Z_pu =1, Z_su =1, Z_pu > Z_sv , П_{s / u} =0, П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_{s / v} = 2 – 1 = 1; R_u = Z_pu - П_{s / u} = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и П_р следует: R_v = R_u = П_р = 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Z_pv , Z_sv , Z_pu , Z_{su ,} П _{s / v} , П _{s / u} , при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V _{0 i} + U _{0 i} , удовлетворяющие условию:

V _{0 i} + U _{0 i} = N :

Вариант 1: Z_pv =Z_pu , Z_sv =Z_su , Z_pv >Z_su , Z_pu >Z_sv , П_{s / v} =П_{s / u} = 0 (подпрогрессия V₀₂ -U₀₂ для числа N =120);

Вариант 2: Z_pv =Z_pu , Z_sv =Z_su , Z_pv <Z_su , Z_pu <Z_sv , П_{s / v} = П_{s / u} = 0 ( подпрогрессияV₀₈ -U₀₈ для числа N =120);

Вариант 3: Z_pv >Z_pu , Z_sv <Z_su , Z_pv >Z_su , Z_pu >Z_sv , П_{s / v} >П_{s / u} ( подпрогрессии V₀₁ -U₀₁ , V₀₄ -U₀₄ , V₀₆ -U₀₆ для числа N =120 и подпрогрессии V₀₁ -U₀₁ , V₀₆ -U₀₆ для числа 154);

Вариант 4: Z_pv >Z_pu , Z_sv <Z_su , Z_pv =Z_su , Z_pu =Z_sv , П_{s / v} >П_{s / u} (прогрессия V₀ -U₀ для числа N =120);

Вариант 5: Z_pv >Z_pu , Z_sv >Z_su , Z_pv >Z_su , Z_pu >Z_sv , П_{s / v} >П_{s / u} (подпрогрессия V₀₂ -U₀₂ для числа N =154);

Вариант 6: Z_pv <Z_pu , Z_sv >Z_su , Z_pv =Z_su , Z_pu =Z_sv , П_{s / v} <П_{s / u} (подпрогрессия V₀₇ -U₀₇ для числа N =120);

Вариант 7: Z_pv <Z_pu , Z_sv >Z_su , Z_pv >Z_su , Z_pu >Z_sv , П_{s / v} <П_{s / u} (подпрогрессия V₀₄ -U₀₄ для числа N =154);

Вариант 8: Z_pv >Z_pu , Z_sv <Z_su , Z_pv <Z_su , Z_pu <Z_sv , П_{s / v} >П_{s / u} (прогрессия V₀ -U₀ для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Z_pv , Z_sv , Z_pu , Z_{su ,} П _{s / v} , П _{s / u} .

Значения количества пар П _p простых чисел для некоторых четных чисел N (количества П _p приведены в скобках рядом с числами N ):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар П _p простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар П _p для них.

Из изложенного следует, что любое четное число N >4 равно сумме двух и более пар П _p простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:

6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М , большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:

М = A + B + C ,

где: A, Bи C – простые числа.

При этом:

A ≠ B ≠ С

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N – четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M – C.

Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:

M = N + C = A + B + С,

где: A , B и C – простые числа.

При этом:

A ≠ B ≠ С

Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: [email protected]

[email protected]