МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия
Кафедра «Статистика и анализ хозяйственной деятельности»
Контрольная работа
по Эконометрики
Выполнил: студент 2 курса
заочного отделения «Экономического факультета»
по специальности «Финансы и кредит»
с сокращенным сроком обучения
Антонов Леонид Владимирович
Ульяновск, 2009
Задача 1
По территориям Волго-Вятского, Центрально–Черноземного и Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете на душу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера (табл. 1).
Таблица 1
| Район |
Потребительские расходы в расчете на душу населения, руб., y |
Средняя заработная плата и выплаты социального характера, руб., x |
| 1 |
408 |
524 |
| 2 |
249 |
371 |
| 3 |
253 |
453 |
| 4 |
580 |
1006 |
| 5 |
651 |
997 |
| 6 |
322 |
486 |
| 7 |
899 |
1989 |
| 8 |
330 |
595 |
| 9 |
446 |
1550 |
| 10 |
642 |
937 |
Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Решение:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.
| y
|
x
|
yx
|
x2
|
y2
|
ŷx
|
y-ŷx
|
Ai
|
| 1
|
408 |
524 |
213792 |
274576 |
166464 |
356,96 |
51,04 |
12,5 |
| 2
|
249 |
371 |
92379 |
137641 |
62001 |
306,47 |
-57,47 |
23,1 |
| 3
|
253 |
453 |
114609 |
205209 |
64009 |
333,53 |
-80,53 |
31,8 |
| 4
|
580 |
1006 |
583480 |
1012036 |
336400 |
516,02 |
63,98 |
11,0 |
| 5
|
651 |
997 |
649047 |
994009 |
423801 |
513,05 |
137,95 |
21,2 |
| 6
|
322 |
486 |
156492 |
236196 |
103684 |
344,42 |
-22,42 |
7,0 |
| 7
|
899 |
1989 |
1788111 |
3956121 |
808201 |
840,41 |
58,59 |
6,5 |
| 8
|
330 |
595 |
196350 |
354025 |
108900 |
380,39 |
-50,39 |
15,3 |
| 9
|
446 |
1550 |
691300 |
2402500 |
198916 |
695,54 |
-249,54 |
56,0 |
| 10
|
642 |
937 |
601554 |
877969 |
412164 |
493,25 |
148,75 |
23,2 |
| итого
|
4780 |
8908 |
5087114 |
10450282 |
2684540 |
4780,04 |
-0,04 |
207,5 |
| среднее значение
|
478 |
890,8 |
508711,4 |
1045028,20 |
268454 |
x
|
x
|
20,7 |
| σ
|
199,92 |
501,50 |
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
| σ2
|
39970,00 |
251503,56 |
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
 ;
 .
Получено уравнение регрессии:  .
С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Тесноту связи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:
 .
Коэффициент детерминации
Это означает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:
 .
Таким образом, изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации:
 = 20,7%
Качество построенной модели оценивается как плохое, так как превышает 8 – 10 %.
6. Оцените с помощью
F
- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью  -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение - критерия:
 .
Табличное значение (k1
=1, k2
=8  ) Fтабл.
=5,32. Так как  , то признается статистическая значимость уравнения в целом.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем  - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции
 :
 ,
 ,
 .
Фактические значения - статистик:
 .
Табличное значение - критерия Стьюдента при и tтабл.
=2,306. Так как  , ta
< t
табл.
и  .
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии  и  :  и  . Получим, что и  .
7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.
Найдем прогнозное значение результативного фактора  при значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня  , т.е. найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб.
 (тыс. руб.)
Значит, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58 тыс. руб.
Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
 ,
а доверительный интервал ( ):
 .
Т.е. прогноз является статистически не точным.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Из полученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи с помощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициент эластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 %заработной платы и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете на душу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз является статистически не точным.
Задача 8
По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.):
у = 20 +  . Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19
Задание:
Определите:
а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.
б) индекс корреляции;
в) F- критерий Фишера. Сделайте выводы.
Решение:
а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.
х
= 200 тыс. руб.
.
Таким образом, изменение технической оснащенности на 1% приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %.
б) индекс корреляции:
Уравнение регрессии:
 = 23,5/10 = 2,35 
Это означает, что 99,6 % вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровня технической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.
в)
F
- критерий Фишера. Сделайте выводы.
Fтабл.
= 4,46
Fтабл.
< Fфакт
; Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
Задача 13
По заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У
(тыс. кВт. Ч) от производства продукции - Х1
(тыс.ед.) и уровня механизации труда – Х2
(%). Данные приведены в табл.4.2.
Задание
1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.
2. Определите показатели частной и множественной корреляции.
3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.
4. Рассчитайте общие и частные F – критерии Фишера.
| Признак |
Среднее значение |
Среднее квадратическое отклонение |
Парный коэффициент корреляции |
| Y |
1050 |
28 |
ryx1
|
0.78 |
| X1
|
425 |
44 |
ryx2
|
0.44 |
| X2
|
42.0 |
19 |
rx1x2
|
0.39 |
Решение:
1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.
Линейное уравнение множественной регрессии у
от х1
и х2
имеет вид:
 .
Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:
Расчет - коэффициентов выполним по формулам:
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
 .
Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b
1
и b
2
,используя формулы для перехода от к b
.
Значение a
определим из соотношения:
2. Определите показатели частной и множественной корреляции.
Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:
Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (rx
1
x
2
=0,39) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются значительно.
Растет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и  :
Зависимость у
от х1
и х2
характеризуется как тесная, в которой 63 % вариации потребления электроэнергии определяется вариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизации труда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 37 % от общей вариации y
.
3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.
Для характеристики относительной силы влияния х1
и х2
на y
рассчитаем средние коэффициенты эластичности:
С увеличением производства продукции на 1 % от его среднего потребления электроэнергии возрастает на 0,29 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровня механизации труда на 1 % среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,006% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции на среднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднего уровня механизации труда.
4. Рассчитайте общие и частные
F
– критерии Фишера.
Общий F
-критерий проверяет гипотезу H
0
о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R2
= 0):
F
табл.
= 9,55
Сравнивая F
табл.
и F
факт.
, приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H
0
и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Частные F
-критерий – F
х1.
и F
х2
оценивают статистическую значимость присутствия факторов х
1
и х
2
в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F
х1
оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х
1
после того, как в него был включен фактор х
2
. Соответственно F
х2
указывает на целесообразность включения в модель фактора х
2
после фактора х
1.
Низкое значение F
х2
(меньше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r
2
yx
1
за счет включения в модель фактора х
2
после фактора х
1. следовательно,
подтверждается нулевая гипотеза H
0
о нецелесообразности включения в модель фактора х
2.
Задача 21
Модель денежного и товарного рынков:
Rt
= a1
+ b12
Yt
+ b14
Mt
+ e1
, (функция денежного рынка);
Yt
= a2
+ b21
Rt
+ b23
It
+ b25
Gt
+ e2
( функция товарного рынка);
It
= a3
+ b31
Rt
+ e3
(функция инвестиций),
где R- процентные ставки;
Y- реальный ВВП;
M- денежная масса;
I- внутренние инвестиции;
G- реальные государственные расходы.
Решение:
 Rt
= a1
+ b12
Yt
+ b14
Mt
+ e1
,
Yt
= a2
+ b21
Rt
+ b23
It
+ b25
Gt
+ e2
It
= a3
+ b31
Rt
+ e3
Сt
= Yt
+ It
+ Gt
Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает четыре эндогенные переменные (Rt
, Yt
, It
, Сt
) и две предопределенные переменные ( и  ).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.
Первое уравнение:
Rt
= a1
+ b12
Yt
+ b14
Mt
+ e1
.
Это уравнение содержит две эндогенные переменные  и  и одну предопределенную переменную . Таким образом,
 ,
т.е. выполняется условие  . Уравнение сверхидентифицируемо.
Второе уравнение:
Yt
= a2
+ b21
Rt
+ b23
It
+ b25
Gt
+ e2
.
Оно включает три эндогенные переменные Yt
, It
и Rt
и одну предопределенную переменную Gt
. Выполняется условие
 .
Уравнение идентифицируемо.
Третье уравнение:
It
= a3
+ b31
Rt
+ e3
.
Оно включает две эндогенные переменные It
и Rt
. Выполняется условие
 .
Уравнение идентифицируемо.
Четвертое уравнение:
Сt
= Yt
+ It
+ Gt
.
Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.
Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.
|
 |
Rt
|
|
|
|
| I уравнение |
0 |
0 |
–1 |
b12
|
b14
|
0 |
| II уравнение |
0 |
b23
|
 |
–1 |
0 |
b25
|
| III уравнение |
0 |
–1 |
b31
|
0 |
0 |
0 |
| Тождество |
–1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.
Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
|
Rt
|
|
|
| II уравнение |
b23
|
 |
–1 |
b25
|
| III уравнение |
–1 |
b31
|
0 |
0 |
| Тождество |
1 |
0 |
1 |
1 |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы  не равен нулю:
 .
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
 |
 |
Rt
|
 |
 |
 |
| I уравнение |
0 |
0 |
–1 |
b12
|
b14
|
0 |
| III уравнение |
0 |
-1 |
b31
|
0 |
0 |
0 |
| Тождество |
–1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:
 .
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
|
|
Rt
|
|
|
|
| I уравнение |
0 |
0 |
–1 |
b12
|
b14
|
0 |
| II уравнение |
0 |
b23
|
|
–1 |
0 |
b25
|
| Тождество |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы  не равен нулю:
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:
Rt
= a1
+ b11
Yt
+ b13
Mt
+ b15
Gt
+ b16
Gt
+ u1
Yt
= a2
+ b21
Rt
+ b23
It
+ b25
Gt
+ b26
Gt
+ u 2
It
= a3
+ b31
Rt
+ b33
It
+ b35
Gt
+ b36
Gt
+ u 3
Сt
= a4
+ b41
Rt
+ b43
It
+ b45
Gt
+ b46
Gt
+ u 4
Задача 26
Имеются данные об урожайности культур в хозяйствах области:
| Варианты |
Показатели |
Год |
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| 4 |
Урожайность картофеля, ц/га |
63 |
64 |
69 |
81 |
84 |
96 |
106 |
109 |
Задание:
1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.
2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.
3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.
Решение:
1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.
Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравнивание временного ряда
. Для этого применяют следующие функции:
- линейная 
- гипербола 
- экспонента 
- степенная функция 
- парабола второго и более высоких порядков 
Параметры трендов определяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt
. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации  .
Сравним значения R
2
по разным уровням трендов:
Полиномиальный 6-й степени - R
2
= 0,994
Экспоненциальный - R
2
= 0,975
Линейный - R
2
= 0,970
Степенной - R
2
= 0,864
Логарифмический - R
2
= 0,829
Исходный данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.
2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.
y
= - 0,012*531441 + 0,292*59049 – 2,573*6561 +10,34*729 – 17,17*81 + 9,936*9 + 62,25 =
= - 6377,292 + 17242,308 – 16881,453 + 7537,86 - 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327
3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.
Урожайность картофеля, ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.
|
