Министерство высшего образования Украины
Национальный Технический Университет Украины
“Киевский политехнический институт”
Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления
К о н т р о л ь н а я р а б о т а
по дисциплине :
“ Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант № 24
Выполнил студент гр. ЗІС - 91
ІІI курса факультета ФИВТ
Луцько Виктор Степанович
2009г.
Задача 1
Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:
а) сумма числа очков не превосходит N;
б) произведение числа очков не превосходит N;
в) произведение числа очков делится на N.
Исходные данные: N=18.
Решение задачи:
Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;
m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.
а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:
n = 36;m = 36
б) при произведении числа очков, не превосходящих N:
n = 28;m = 36
| Р(А) = |
28 |
= |
7 |
» 0,778 ; |
| 36 |
9 |
в) при произведении числа очков, делящихся на N:
n = 3;m = 36
| Р(А) = |
3 |
= |
1 |
» 0,083 . |
| 36 |
12 |
Ответы:
а) Р(А) = 1 ;
б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;
в) Р(А) = 1/12 » 0,083.
Задача 2
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно  =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1
первосортных, т2
, т3
и т4
второго, третьего и четвертого сорта соответственно  .
Исходные данные: n1
= 3; n2
= 1; n3
= 6; n4
= 2;m1
= 2; m2
= 1; m3
= 3; m4
= 1.
Решение задачи.
1) Определяем количество способов нужной комбинации:
С¢ = Сn1
m1
x Сn2
m2
x Сn3
m3
x Сn4
m4
= С3
2
x С1
1
x С6
3
x С2
1
;
2) Определяем количество всех возможных способов:
С¢¢ = Сn1+n2+n3+n4
m1+m2+m3+m4
= С12
7
;
3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:
| Р = |
С3
2
x С1
1
x С6
3
x С2
1
|
= |
3 х 1 х |
4 х 5 х 6 |
х 2 |
= |
| 2 х 3 |
| С12
7
|
8 х 9 х 10 х 11 х 12 |
| 2 х 3 х 4 х 5 |
| = |
3 х 5 |
= |
5 |
» 0,15 |
| 9 х 11 |
33 |
Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .
Задача 3
Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них  выигрышных.
Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.
Решение задачи.
Общее число случаев, очевидно, равно Сn
m
, число благоприятных случаев Сk
l
x Сn-k
m-l
, откуда:
| Р(А) = |
С
k
l
x С
n-k
m-l
|
= |
С4
3
x С8-4
5-3
|
= |
3 |
» 0, 4286 . |
| С
n
m
|
С8
5
|
7 |
Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 .
Задача 7
В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1
и S2
. Исходные данные:R =14; S1
= 2,6; S2
= 5,6.
Решение задачи
| P(A1
) = |
S1
|
= |
2,6 |
» 0,0042246 ; |
| pR2
|
3,14 x 142
|
| P(A2
) = |
S2
|
= |
5,6 |
» 0,0090991 ; |
| pR2
|
3,14 x 142
|
| P(A) = |
S1
+ S2
|
= |
2,6 + 5,6 |
= |
8,2 |
» 0,013324 . |
| pR2
|
3,14 x 142
|
615,44 |
Ответ: Р(А) » 0,013324 .
Задача 8
В двух партиях k1
и k2
% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественное и одно бракованное?
Исходные данные: k1
= 81; k2
= 37.
Решение задачи
События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:
Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .
Для любых событий А и В имеет место формула:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .
Обозначения:
Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k1
) ;
Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k2
) .
События А и В – независимые.
а)Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1
) + (1 – k2
) – (1 – k1
)(1 – k2
) =
= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .
б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АÇВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1
)(1 – k2
) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .
  в)Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1
)k2
+ (1 – k2
)k1
=
= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .
Ответы:
а) » 0,70;
б)» 0,12;
в)» 0,58.
Задача 9
Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1
вторым —р2
. Первый сделал n1
, второй — n2
выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Исходные данные: p1
= 0,33; p2
= 0,52; n1
= 3; n2
= 2.
Решение задачи.
Обозначения:
А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1
) ;
В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2
) ;
Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.
Р = (1 – р1
)n1
x (1 – р2
)n2
= (1 – 0,33)3
x (1 – 0,52)2
= 0,673
x 0,482
» 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .
Ответ:» 0,07 .
Задача 12
Из 1000 ламп ni
принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3,  . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.
Исходные данные: n1
= 350; n2
= 440.
Решение задачи
Рассмотрим три гипотезы:
Н1
– выбор лампы из первой партии;
Н2
– выбор лампы из второй партии;
Н3
– выбор лампы из третьей партии;
а также событие А – выбор бракованной лампы.
Учитывая то, что Н1
, Н2
, Н3
– полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
| 3 |
| Р(А) = |
å P(Hi
) x P(A/Hi
) . |
| i=1 |
Тогда:
P(H1
) = 350/1000 = 7/20 ;
P(H2
) = 440/1000 = 11/25 ;
P(H3
) = 210/1000 = 21/100 .
Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .
Ответ: Р(А) = 0,0514 .
Задача 18
На каждый лотерейный билет с вероятностью p1
может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2
. — мелкий выигрыш и с вероятностью р3
билет может оказаться без выигрыша,  . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1
крупных выигрышей и n2
мелких.
Исходные данные: n = 14; n1
= 5; n2
= 4;p1
= 0,25; p2
= 0,35.
Решение задачи
Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):
| Pn
(m1
,m2
,…,mk
) = |
n! |
p1
m
1
p2
m
2
… pk
m
k
. |
| m1
! m2
!…mk
! |
В задаче: А1
– билет оказался с крупным выигрышем;
А2
– билет оказался с мелким выигрышем;
А3
– билет оказался без выигрыша.
| Р14
(5,4,5) = |
14! |
х (0,25)5
х (0,35)4
х (0,4)5
= |
6х7х8х9х10х11х12х13х14 |
х |
| 5! 4! 5! |
2х3х4х2х3х4х5 |
х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х
х 0,01024 » 0,0378.
Ответ: Р » 0,0378 .
Задача 19
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».
Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.
Решение задачи
q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .
Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:
| Рn
(m) » |
a
m
|
e-a
, a
= np . |
| m! |
Подсчет вручную дает следующие результаты:
| Рn
(m) » |
59
|
х |
1 |
» |
58
|
х |
1 |
» |
| 2х3х4х5х6х7х8х9 |
е5
|
2х3х4х6х7х8х9 |
2,75
|
| » |
390625 |
» |
390625 |
» 0,03751 . |
| 72576 х 143,5 |
10 413 862 |
Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где
Рn
(m) » 0,03627 .
Ответ: Рn
(m) » 0,03627 .
Задача 20
Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.
Варианты 22—31: 
Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1
= - ; k2
= 40.
Решение задачи
Вероятность Рn
(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:
Pn
(m) = Cn
m
pm
qn-m
, m = 0,1,2,…,n(1)
где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.
Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.
При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:
 (2)
где: 
 (3)
где:
 (4)
 (5)
 (6)
Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].
З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.
З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).
В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.
npq = 21, следовательно npq > 9.
При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .
Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).
Тогда:
| k2
– np |
» |
40 – 30 |
» |
10 |
» 2,18 . |
| Ö npq |
4,58 |
4,58 |
| k1
– np |
» |
0 – 30 |
» |
-30 |
» - 6,55 . |
| Ö npq |
4,58 |
4,58 |
Pn
(m£k2
) » Ф(х2
) – Ф(х1
) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »
» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .
Ответ: Pn
(m£ 40) » 0,98537 .
Задача 21
Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1
< x < х2
Варианты 17-24:  
Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1
= -1; x2
= 1.
Решение.
| Р(х) = |
í |
g
, х
Î
[-1,5, 1],
|
| 0, x
Ï
[-1,5, 1].
|
Найдем
g. Должно выполняться соотношение:Fx
(+¥) = 1;
| òp(x)dx = 1; |
òg
dx = 1; |
g
x
|
1 |
= 1; |
g
*(1+1,5) = 1; |
g
=
|
1 |
=2/5 .
|
| -1,5 |
2,5 |
| -¥ |
-1,5 |
| 1 |
| Найдем
: М
x
=
|
òх2/5 dx = |
2 х2
|
1 |
= |
1/5 (1-2,25) = |
-1,25 |
= -0,25 .
|
| 5 2 |
-1,5 |
5 |
| -1,5 |
| 1 |
| Найдем
: Dx
= М
x
2
– (
М
x
)2
=
|
ò2/5 x2
dx – 0,0625 = 2/5 |
x3
|
1 |
- 0,0625 = |
| 3 |
-1,5 |
| -1,5 |
= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .
| í |
0 , |
x < -1,5; |
| x |
x |
| Найдем
: Fx
(x)
=
|
òp(х) dx = |
òg
dt , |
-1,5 £ x < 1; |
| -¥ |
-1,5 |
| 1 , |
x ³ 1 . |
| x |
x |
| òg
dt = |
g
t |
= |
g
x + 1,5g
=
|
2/5x + 0,6 .
|
| -1,5 |
-1,5 |
Найдем
:P{-1<x<1} = Fx
(1) - Fx
(-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 .
Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx
(x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5.
Список использованной литературы
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.
3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с.
4. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.
|
