Лабораторная работа: Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью системы массового обслуживания

Лабораторная работа №4

Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью системы массового обслуживания

1. Цель работы

Целью работы является:

1. Изучение методов планирования машинного эксперимента с моделью системы.

2. Приобретение практических навыков по оценке коэффициентов модели заданной функциональной зависимости

3. Проведение имитационного эксперимента в соответствии с построенным планом

2.Теоретические сведения

2.1 Планирование эксперимента

Эффективность машинных экспериментов с имитационными моделями систем массового обслуживания существенно зависят от выбора плана эксперимента, так как план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы и в целом влияет на эффективность использования ЭВМ при моделировании.

Планирование эксперимента – это средство построения математических моделей различных процессов, способ сокращения времени и средств, повышение производительности труда исследователя.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей хорошими статистическими свойствами.

Такой моделью является абстрактная схема типа «черного ящика» вида:

Y=F(x), (1)

Где Y={y1,y2…ym} - множество выходных переменных, называемых реакциями или откликами ( эндогенные переменные)

X={x1,x2,…xn}- множество переменных называемых факторами(экзогенные переменные)

F- функция, связывающая реакцию с факторами, называемая функцией реакции или отклика.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки характеристик процесса функционирования исследуемой системы необходимо создать также условия, которые способствовали бы выявлению факторов, влияющих на реакцию системы. Для этого необходимо, в первую очередь, установить область экспериментирования.

Локальная область эксперимента задается выбором комбинации основных уровней факторов xi( i= 1,n), их интервалами варьирования xi( i= 1,n) и центром эксперимента хi⁰ ( i= 1,n). Затем следует описать функциональную зависимость, оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

При классическом методе планирования опыта варьируется один фактор, а при математическом планировании эксперимента одновременно изменяются все факторы.

Одной из задач математического планирования эксперимента является получение модели описывающей реакции получаемой системы на много факторные экзогенные переменные. Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам статистического моделирования являются полиномиальные модели вида:

y= a₀ +a_i x_i +a_ij x_i x_j +a_ij kx_i x_j x_k +…… ( 2)

Для оценки коэффициентов данного уравнения используется метод множественной регрессии, оснований на методе наименьших квадратов.

После выбора модели планирования следующей задачей является планирование и проведение эксперимента.

Для планирования эксперимента составляется матрица планирования, в которой отражаются условия изменения уровней факторов xi( i= 1,n).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Количество всех возможных испытаний определяется по формуле:

N=qⁿ (3 )

где q – число уровней изменения факторов.

n- число факторов

При q = 2 получается двухуровневый план эксперимента. Такой план называется планом N=2^{n .} . Для получения данного плана необходимо все факторы варьировать на двух уровнях: нижнем x_i ⁰ -∆x_i и верхнем x_i ⁰ +∆ x_i , расположенных симметрично, относительно центра эксперимента. Для упрощения и унификации записи условий опытов и облегчения обработки данных используются кодированные значения: на нижнем уровне -1 и на верхнем уровне +1. Тогда условия эксперимента удобно представить в виде таблицы- матрицы планирования, в которой строки соответствуют различным опытам, а столбцы значениям факторов. Так, для трех факторов (n=3 ) матрица планирования примет вид (Таблица 1). При этом в таблице добавлены “фиктивные переменные” единичного столбца х₀ и столбцов произведений х₁ *х₂ , х₁ *х₃ , х₂ *х₃ и х₁ *х₂ *х₃ , которые используются для оценки свободного члена а₀ и эффектов взаимодействия а₁₂ ,а₁₃ ,а₂₃ , а₁₂₃ .

Таблица 1

Матрица планирования

Как видно из таблицы, количество опытов равно N=2³ =8.

Рассматриваемый полный факторный эксперимент 2ⁿ обладает тремя основными свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента. Это значит, что алгебраическая сумма элементов вектор – столбца для каждого фактора равна 0, т.е.

_ij =0 (4 )

где i – номер фактора (i=1,n);

j – номер опыта (j=1,N ).

2. Условием нормировки, т.е. сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

_ij ² = N(i=1,n) (5 )

3.Ортогональностью, это означает, что сумма почленных произведений любых двух вектор- столбцов матрицы равна 0, т.е.

_{ij *} х_kj =0 (ik; i, k=1,n) (6 )

Данные свойства, особенно условие ортогональности, позволяют значительно упростить определение коэффициентов уравнения множественной регрессии. В этом случае оценки коэффициентов регрессионной модели можно вычислить по формуле:

a_i =_ij *y_j /N(i=0,n) (7 )

А коэффициенты парных взаимодействий соответственно по формуле:

a_ik =_ij *x_kj *y_j /N (ik; i, k=1,n) (8)

Количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возникает проблема сокращения числа опытов. В связи с этим используется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который представляет часть полного факторного эксперимента. Матрица планирования для дробного факторного эксперимента называется дробной репликой. Различают регулярные и нерегулярные дробные реплики.

Регулярные реплики образуются из ПФЭ 2ⁿ делением пополам, на четыре части, восемь частей ит.д., т.е. на число кратное 2. Они называются соответственно: полурепликой, четверть- репликой, - реплики и т.д.. ДФЭ обозначается как 2^{n - k} , где

k – кратность деления ПФЭ 2ⁿ на части 2^k . Например, ДФЭ типа 4-2 означает, что ПФЭ из N=2⁴ =16 делится на 2² =4 и получается план эксперимента, состоящий из N=2^4-2 =4 опытов.

Если регулярные реплики умножить на нечетные числа, больше единицы, то получаются нерегулярные реплики. Как например, реплики, реплики, реплики и т.д. являются нерегулярными.

Использование ДФЭ позволяет значительно сократить количество экспериментов и тем самым сэкономить ресурсы ЭВМ.

2.2 Пример планирования машинного эксперимента для модели СМО

Пусть необходимо провести машинный эксперимент по определению функциональной зависимости среднего времени ожидания заявки в очереди (_ож ) от факторов: интенсивность поступления заявок λ, интенсивности обслуживания μ и емкости буфера L для однофазной одноканальной системы массового обслуживания со следующими параметрами: интенсивность поступления заявок λ=155; интенсивность обслуживания μ=105; количество мест в очереди L=102.

Для определения заданной зависимости представим математическую модель системы в виде:

y= a₀ +a₁ x₁ +a₂ x₂ +a₃ x₃ , (9)

x₁ = λ ; x₂ = μ; x₃ = L ; y=_ож

Так как порядок модели n=3, то матрица планирования для полного факторного эксперимента примет вид (Таблица 2).

Таблица 2. Матрица планирования для модели СМО

При этом следует помнить, что кодированные значения факторов соответствуют -1 нижнему уровню фактора, а +1 верхнему уровню фактора:

· для интенсивности поступления заявок λ нижний уровень равен λ_k =10 , а верхний λ_b =20;

· для интенсивности обслуживания μ нижний уровень равен μ_k =5, а верхний 15 μ_b ;

· для количества мест в очереди L нижний уровень L_k =8и верхний L_b =12

Поэтому при моделировании этих уровней факторов в блоке управления необходимо организовать их изменения. Это можно сделать путем введения нуля циклов. Тогда блок- схема управления вариантами моделирования примет вид (Рис1)

Рис1. Блок- схема управления вариантами моделирования

Для определения среднего времени ожидания _ож можно воспользоваться блок- схемой Рис лабораторной работы 3. Результаты моделирования заносятся в Таблицу 2 в колонку для y.

По Таблице 2 и формуле 7 определяются коэффициенты выбранной модели планирования эксперимента а_i (i=0.3). Таким образом, зависимость среднего времени ожидания от интенсивности поступления заявок, интенсивности обслуживания и количества мест в очереди примет вид:

_ож =…..λ+….μ+…L (10)

2. Содержание исследования

В состав исследования, проводимого в данной лабораторной работе, входит:

1. Анализ зависимости влияния экзогенных переменных модели однофазной одноканальной СМО на эндогенные переменные.

2. Построение плана машинного эксперимента на основе множественного регрессионного анализа и метода наименьших квадратов.

3.Моделирование системы массового обслуживания

В качестве объекта моделирования рассматривается однофазная одноканальная система, структура, которой показана на Рис 2:

μ

очередь

λ

L

Рис2Структура исследуемой системы

Параметры системы:

· интенсивность поступления заявок λ=155;

· интенсивность обслуживания μ=105;

· длина очереди L=102;

Варианты лабораторной работы приведены в таблице 3, в которой ПФЭ полный факторный эксперимент; ДФЭ – дробный факторный эксперимент; _{ож -} среднее время ожидания заявок в очереди; _сист - среднее время пребывания заявок в системе; - средняя длина очереди; Р_отк – вероятность отказа; А – абсолютная пропускная способность системы; q- относительная пропускная способность системы; К_пр – коэффициент простоя системы.

4. Порядок выполнения работы

1. Ознакомится с методическими указаниями по выполнению данной лабораторной работы.

2. Получить у преподавателя вариант задания на составление плана машинного эксперимента для СМО

3. Составить матрицу планирования для проведения машинного эксперимента

4. Разработать блок- схему моделирующего алгоритма в соответствии с содержанием проводимого исследования

5. Составить программу на одном из языков программирования

6. Произвести отладку программы и решение поставленной задачи на ПЭВМ

7. Оформить отчет

Интерфейс программы

Листингпрограммы

Private Sub Command1_Click()

Dim L As Integer

Dim Tobs As Currency

Dim Tosv As Currency

Dim Toch() As Currency

Dim Potk As Currency

Dim q As Currency

Dim a(8) As Currency

Dim Kpr As Currency

List1.Clear

List2.Clear

List2.AddItem ("Коэффициенты:")

For lyamda = 10 To 20 Step 10

For nyu = 5 To 15 Step 10

For L = 8 To 12 Step 4

ReDim Toch(L) As Currency

x = 0.5

k = 0

Kotk = 0

Noch = 0

Toj = 0

Tsis = 0

Kobs = 0

Tnezan = 0

Tpost = 0

Tosv = 0

10: x = Rnd(x)

T = -1 / lyamda * Log(x)

Tpost = Tpost + T

k = k + 1

If k > 50 Then

GoTo 100

End If

30: If Tpost < Tosv Then

GoTo 20

Else

GoTo 40

End If

20: If Noch = L Then

Kotk = Kotk + 1

GoTo 10

Else

Noch = Noch + 1

Toch(Noch) = Tpost

GoTo 10

End If

40: If Noch = 0 Then

Kobs = Kobs + 1

Tnezan = Tpost - Tosv

x = Rnd(x)

Tobs = -1 / nyu * Log(x)

Tosv = Tpost + Tobs

Tsis = Tsis + Tobs

GoTo 10

Else

Voj = Tosv - Toch(1)

For i = 1 To Noch - 1

Toch(i) = Toch(i + 1)

Next i

Noch = Noch - 1

Toj = Toj + Voj

x = Rnd(x)

Tobs = -1 / nyu * Log(x)

Tsis = Tsis + Tobs + Voj

Tosv = Tosv + Tobs

Kobs = Kobs + 1

GoTo 30

End If

100: Kpr = Tnezan / Tsis

Potk = Kotk / k

q = 1 - Potk

Ab = q * L

j = j + 1

List1.AddItem (Str(j) + "-е испытание при:")

List1.AddItem ("Лямбда=" + Str(lyamda) + " Нью=" + Str(nyu) + " L=" + Str(L))

List1.AddItem ("Количество заявок в" + Str(j) + " испытании = " + Str(k) + " и потраченное время =" + Str(Tsis))

List1.AddItem ("Вероятность отказа=" + Str(Potk))

List1.AddItem ("Коэффициент простоя=" + Str(Kpr))

List1.AddItem ("Относительная пропускная способность" + Str(q))

List1.AddItem ("Обсолютная пропускная способность" + Str(Ab))

List1.AddItem ("")

List1.AddItem ("")

a(j) = (lyamda + nyu + L) * Toj

List2.AddItem ("a(" + Str(j - 1) + ")=" + Str(a(j)))

Next L

Next nyu

Next lyamda

Label1.Caption = "Tож = " + Str(a(1)) + " + " + Str(a(2)) + "lymda" + " + " + Str(a(3)) + "nyu" + " + " + Str(a(4)) + "L"

End Sub