Курсовая работа: Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Министерство Образования Украины

Кафедра электротехники

Курсовая работа

по курсу “Теория электрических и электронных цепей”

на тему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами”

Вариант № 12

Содержание курсовой работы

1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R₄ =R₃ ), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Е_m .

2.Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса t_nn .

Это время определить по следующим формулам:

t_nn = или t_nn =

где λ_min – наименьший из двух вещественных корней;

δ - вещественна часть комплексного корня.

3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.

4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону

e(t)=E_m sin(ωt +φ).

Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.

Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.

5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построитьсовместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U_0, U_1, U_2, U_3. Принимая значение времени: t₁ =τ , t₂ =1,5τ , t₃ =2τ , t₄ = 2,5τ .

Здесь τ – постоянная времени рассматриваемой цепи.

Таблица 1:

	C

Рисунок 2:

	C

	t3

1 этап курсовой работы

Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом

1 этап

Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

i_2(-0) =i_1(-0) === 1.52 (A)

U_c(-0) = i₂ ^. R₂ =U_c(+0)

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁ -i₂ -i_c =0 (1)

i₁ ^. R₁ + i₂ ^. R₂ +L=U (2)

i₁ ^. R₁ + U_c =U (3)

Из (2) уравнения выразим i₁

i₁ =(2.1)

i₁ из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим i_c

i_c =(1.1)

i₁ подставим в (3) и выразим U_c

U=(3)

U_c =U-U- i₂ ^. R₂ -(3)

U_c =i₂ ^. R₂ +(3.1)

U_c =(3.2)

Подставим в место U_c и i_c вуревнение (3.2), получим:

(3.3)

Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:

(3.4)

В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:

2 этап

Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i₂ , для этого мы представим i₂ как сумму двух составляющих i_2св – свободная составляющая и i_2вын – вынужденная составляющая

i₂ =i_2св +i_2вын

i_2вын найдём по схеме

i_2вын =

i_2св найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через l, а через l² получим:

Ll² +R₂ l+l+=0 (3.5)

Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни l₁ и l₂

0.1l² +10l+l+

15384,6+153,85l+40000+10l+0,1l² =0

Д=b² -4ac=(163,85)² -4^. 0,1^. 55384,6=26846,82-22153,84=4692,98

l_1,2 =; ; l₁ l₂ – вещественные

l₁ =

l₂ =

i_2св =А₁ е^-477t +А₂ е^-1162t (3.6)

i₂ =1.94+ А₁ е^-477t +А₂ е^-1162t (3.7)

3 этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.

Найдём ток i₂ для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.

i₂₍₊₀₎ =i_2вын(+0) + А₁ +А₂

-477 А₁ -1162 А₂

Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0

(3.8)

Из уравнения (3) выразим i₁ для момента времени t+0 при U_c =i₂ R₂

i₁ = (3.9)

Найдём подставив значение i₁ из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)

(4.0)

Подставим значение , i₂₍₊₀₎ , i_2вын в систему и найдём коэффициенты А₁ и А₂

1,52=1,94+ А₁ + А₂ (4.1)

2=-477 А₁ -1162 А₂ (4.2)

Из уравнения (4.1) выразим A₁ и подставим в (4.2)

А₁ =-0,42-А₂

2=-477(-0,42-А₂ )-1162А₂ (4.3)

Из уравнения (4.3) найдём А₂

2=200,34+477А₂ -1162А₂

2=200,34-685А₂

А₂ =

А₁ =-0,42-0,29=-0,71

Подставим найденные коэффициенты А₁ и А₂ в уравнение (3.7)

i₂ =1,94-0,71е^-477t +0,29е^-1162t (А)

4 этап

Определяем остальные переменные цепи U_L , U_c , i_c , i₁

U_L = (В)

U_c = +i₂ R₂ =

= (В)

i_c =(А)

i₁ =i_c +i₂ =(0,044е^-477t +0,014е^-1162t )+( 1,94-0,71е^-477t +0,29е^-1162t ) =

=1,94-0,666е^-477t +0,304е^-1162t (А)

Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса t_nn .

Это время определим по формуле:

t_nn =

Найдём t_пп время переходного процесса

t_пп = (с)

Таблица переменных

Рисунок 3 - График токов

где

i₁ i₂ i_c

Рисунок 4 – График напряжений

где

U_L U_C

2 этап курсовой работы

2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:

R₁

где E_m =100 (B)

w=2pf =2 3,14 50=314 (Гц)

j=30⁰

R₁ =R₂ =10 (Ом) L=100 (мГн)

R₃ =9 (Ом) С=100 (мкФ)

w=314 (Гц)

X_L =wL=314^. 0,1=31,4 (Ом)

X_C = (Ом)

Найдём начальные условие:

U(t)=U_m sin(wt+j)=100sin(314+30);

U_m =100e^j30 =86,603+j50 (В)

U_C(-0) =0 (B)

Найдём полное сопротивление цепи

Z_п =R₁ +R₃ +jX_L =10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)

Зная сопротивление и напряжение найдём I_3m

I_3m =I_1m =(А)

Найдём мгновенное значение тока

i₃ (t)=I_3m sin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)

Для времени t=0 ток будет равен

i_3(-0) =2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)

Таким образом

U_C(-0) =U_C(+0) =0 (B)

i_3(-0) = i₃₍₊₀₎ =-1.314 (A)

1 этап

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁ -i₂ -i₃ =0 (1^/ )

i₁ ^. R₁ + i₃ ^. R₃ +L=U(t) (2^/ )

i₁ ^. R₁ +i₂ ^. R₂ +U_c =U(t) (3^/ )

Из (2^/ ) уравнения выразим i₁

i₁ =(2^/ .1)

i₁ из уравнения (2^/ .1) подставим в (1^/ ) и выразим i₂

i₂ =(1^/ .1)

U(t)=U(t)-i₃ ^. R₃ -L+R₂

- (3.1)

Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

(3.2)

2 этап

Вид решения для i_3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i_3св не зависит от входного напряжения.

Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:

i_3св =А₁ е^-406t +А₂ е^-234t

Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i_3вын

i_3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);

Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I₁ , а для этого найдём Z_{п вын} сопротивление цепи:

Z_{п вын} = (Ом)

I_1m = (A)

Найдём U_{ab вын}

U_{ab m} = I_1m (В)

I_{3 m} =(A)

Найдём i_{3 вын}

I_{3 вын} = I_{3 m} sin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60) (A)

Таким образом

i₃ =2.607sin(314t-43.60)+А₁ е^-406t +А₂ е^-234t

3^/ этап

Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1^/ этапе.

i₃ =2.607sin(314t-43.60)+А₁ е^-406t +А₂ е^-234t

i₃₍₊₀₎ =i_3(-0) =-1.314 (A)

i₃₍₊₀₎ =2.607sin(-43.60)+A₁ +A₂ =-1.798+A₁ +A₂

R₁ i₁ =U(t)-R₂ i₂ -U_C

=

=

Подставим значение , i₃₍₊₀₎ , и найдём коэффициенты А₁ и А₂ для времени t+0

-1.314=-1.798+A₁ +A₂

433.96=592/806-406A₁ -234A₂

A₁ =-1.314+1.798-A₂ =0.484- A₂

433.96=592.806-406(-0.484- A₂ )-234 A₂

433.96-592.806+406 ^. 0.484= A₂ (406-234)

37.658=172A₂ A₂ =0.219

A₁ =0.265

Ток i₃ будет равняться

I₃ =2.607sin(314t-43.60⁰ )+0.265е^-406t +0.219е^-234t (A)

Таблица переменных

3 этап курсовой работы

Найдём выражение для тока катушки операторным методом:

R₁ R₂

Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

I_3(-0) === 5.263 (A)

U_c(-0) =0 (В)

Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.

В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.

Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.

I_1(p) -I_2(p) -I_C(p) =0 (1.3)

(2.3)

(3.3)

Из уравнения (2.3) выразим ток I₁ (p) и подставим в уравнение (3.3):

Из уравнения (3.3)

(2.3.1)

(2.3.2)

Подставим численные значения элементов

По полученному изображению найдём оригинал тока .

Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.

Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.

p₁ =0

0,000065p² +0,1065p+36=0

Д=(0б1065)² -4^. 0,000065^. 36=0,0019

I₂ (p)=

Найдём A₁ A₂ A₃

Коэффициент A_n будем искать в виде, где N(p) – числитель, а M(p) – знаменатель

A₁ =

A₂ =

A₃ =

Таким образом, i₂ (t) будет равняться

i₂ (t)=A₁ ^. exp(p₁ t)+ A₂ ^. exp(p₂ t)+ A₃ ^. exp(p₃ t)=1,944-0,71e^-477t +0,3e^-1162t

Искомый ток катушки i₂ равняется :

i₂ =1,944-0,71e^-477t +0,3e^-1162t (A)

Токи сходятся.

4 этап курсовой работы

Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её

	C

Определим переходную характеристику h¹ (t) цепи по напряжению U_R2 . Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия U_C(-0) =U_C(+0) =0, это значит дополнительных ЕДС не будет.

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁ -i₂ -i_c =0

i₁ ^. R₁ + i₂ ^. R₂ =U i_с =

i_с ^. R₃ -i₂ ^. R₁ +U_c =0 i₁ =i₂ +i_с

i₁ =i₂ +i_с

i₂ (R₁ +R₂ )+i_с R₁ =U i₂ =

i_с ^. R₃ -i₂ ^. R₁ +U_c =0

i_с ^. R₃ +U_c -+

ic +

+

+

0,00043l+1=0 l=-2322,58 ()

U_{C св} =Ae^-2322,58t

U_{C вын} = (B)

U_C =U_{C св} +U_{C вын} =0,278+Ae^-2322,58t A=-0,278

U_C =0,278-0,278e^-2322,58t (B)

i_с ==25^. 10^-6. 0,278^. 2322,58e^-2322,58t =0,016e^-2322,58t (A)

U_ab =i_c R₃ +U_C =0,278-0,12e^-2322,58t (B)

Таким образом переходная характеристика h¹ (t) будет равна

h¹ (t)=U_R2 (t)=0,28-0,12^. e^-2322,58t (В)

t= (c)

5 этап курсовой работы

	t3

Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.

Переходную характеристику h¹ (t) возьмем из предыдущего этапа

h¹ (t)=0,28-0,12^. e^-2322,58t (В)

t_пп =(c)

Найдёмt, t₁ , t₂ , U₁ ^/ (t), U₂ ^/ (t):

t= (с)

t₁ =t=0.00043 (c) t₂ =1,5t=0.00065 (c) t₃ =2t=0.00086 (c)

U₀ =20 (В); U₁ =-5 (B); U₂ =-10 (B);

U₁ ^/ (t)=0 () U₂ ^/ (t)= ()

U₃ ^/ (t)= ()

Запишем уравнение U_R2 (t) для интервала :

U_R2 =U₀ ^. h¹ (t)+ (B)

Запишем уравнение U_R2 (t) для интервала :

U_R2 =U₀ ^. h¹ (t)+

+

-

(B)

Запишем уравнение U_R2 (t) для интервала :

U_R2 =U₀ ^. h¹ (t)+

+=

- )+

+ (B)

Запишем уравнение U_R2 (t) для интервала :

U_R2 =U₀ ^. h¹ (t)+

+

-

+ (B)

Строим графики U(t) и U_R2 (t) по данным таблиц.