1.1 Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения
Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:
 . (1)
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
 .
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
 (2)
Корни характеристического уравнения (2):
Характеристическое уравнение (2) имеет два правых корня, следовательно, данная замкнутая система неустойчива.
1.2 Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию
Для характеристического уравнения (2) замкнутой системы коэффициенты ai
,
i
=0..3
,
а0
=0.00008,
a
1
=0.0078,
a
2
= – 0.03,
a
3
=48.
Необходимым условием устойчивости системы является:
ai
>0,
i
=0..3
Данное условие не выполняется (a
2
<0
), следовательно, замкнутая система неустойчива.
1.3 Анализ устойчивости системы по частотным критериям
а) Критерий Найквиста (на комплексной плоскости)
Используя передаточную функцию разомкнутой системы (1) запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы:
 . (3)
Найдем корни характеристического уравнения (3):
Характеристическое уравнение разомкнутой системы (3) имеет один правый корень, следовательно, разомкнутая система неустойчива.
Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.
 (4)
 (5)
 (6)
Используя выражения (5) и (6), заполним таблицу:
Таблица 1.3.1
| w
|
0
|
-
|
-
|
∞
|
| P
|
-48
|
0
|
-
|
0
|
| Q
|
0
|
-
|
0
|
0
|
Построим годограф Найквиста (Рис. 1.3.1):
Рис. 1.3.1
Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку ( ;  ) в положительном направлении на угол  , где l
–
число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы (3) равно единице (l
=
1), полученный годограф не охватывает особую точку (-1, j0) на угол l
π=π (годограф охватывает особую точку в направлении по часовой стрелке), следовательно, критерий Найквиста не выполняется и система неустойчива.
Построим ЛЧХ заданной системы, для этого определим расчетные выражения для L
(
w
)
и φ(
w
)
:
 (7)
 (8)
Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:
ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.
Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (7) и (8) изображены на рисунке (1.3.2):
Рис. 1.3.2
wср
(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;
wкр
(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;
Система устойчива, если выполняется условие:
wср
<
wкр
Данное условие не выполняется, следовательно, система неустойчива. Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему, изображенной на рисунке (1.3.3):
Используя характеристическое уравнение замкнутой системы (2) введем функцию Михайлова:
 , где
 ,
 .
Для заданной системы функция Михайлова примет вид:
 (9)
 (10)
Графическое изображение функции Михайлова на комплексной плоскости при  называется годографом Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты до ∞ проходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль.
Используя выражения (9) и (10), заполним таблицу:
Таблица 1.3.3
| w
|
0
|
77,625
|
-
|
∞
|
| X
(
w
)
|
47
|
0
|
-
|
-∞
|
| Y
(
w
)
|
0
|
-39,748
|
0
|
-∞
|
Построим годограф Михайлова (Рис. 1.3.4):
Рис. 1.3.4
Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит 2 квадранта в отрицательном направлении, таким образом, критерий Михайлова не выполняется, следовательно, система неустойчива.
2. Построение области устойчивости в плоскости параметра Кр
Построим область устойчивости, используя критерий Гурвица.
Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде:
 .
Для конкретного случая характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:
 (11)
Для устойчивости системы КР
должно удовлетворять необходимому условию
Рис. 2.1
Но заметим, что исходный КР
удовлетворяет этому условию, и его изменением устойчивости замкнутой системы добиться невозможно, т. к. в ХУ ЗС (2.3) а2
<0, и зависит этот коэффициент от постоянных времени.
Построим область устойчивости в плоскости параметра Т2
Необходимое условие устойчивости:
 
Достаточное условие устойчивости для системы третьего порядка по критерию Гурвица имеет вид:
 
Учитывая все условия:
Рис. 2.2
3. Коррекция системы
Для обеспечения устойчивости системы необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией вида:
Структурная схема скорректированной системы (Рис. 3.1):
Рис. 3.1
Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы имеет вид:
 (12)
Определим параметр Т
из условия обеспечения минимального запаса устойчивости (L
зап
=5 дБ
).
Запас по амплитуде определяется на критической частоте – частоте, на которой функция φ
(
w
)
принимает значение, равное -π
Расчетное выражение для φ
(
w
)
:
 , отсюда
 (13)
Расчетное выражение для L
(
w
)
:
 (14)
Подставим найденное выражение Т
(13) в функцию L
(
w
)
(14):
На критической частоте значение функции L
(
w
)
, исходя из условия обеспечения минимального запаса устойчивости, должно быть равно не менее 5 дБ.
Из данного выражения найдем w
кр
w
кр
=308,4185,
следовательно,
Т=0,001198
Анализируя данное значение и область устойчивости, найденную в п. 2, можно сделать вывод, что введение корректирующего звена с передаточной функцией  обеспечит не только устойчивость системы, но и более чем минимальный запас устойчивости по амплитуде.
Используя передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы (12), запишем характеристическое уравнение скорректированной разомкнутой системы:
 (15)
Найдем корни характеристического уравнения (15):
Уравнение (15) имеет один правый корень, следовательно, скорректированная разомкнутая система неустойчива.
Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.
 (16)
 (17)
Используя выражения (16) и (17), заполним таблицу:
Таблица 4.1
| w
|
0
|
-
|
328,8237
|
∞
|
| P
|
-48
|
0
|
-0,485
|
0
|
| Q
|
0
|
-
|
0
|
0
|
Построим годограф Найквиста (Рис. 4.1):
 
Рис. 4.1
Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку ( ;  ) в положительном направлении на угол  , где l
–
число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно единице (l
=
1), полученный годограф охватывает особую точку (-1, j0) на угол l
π=π, следовательно, критерий Найквиста выполняется и система устойчива.
Построим ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы:
Определим расчетные выражения для L
(
w
)
и φ(
w
)
:
 (18)
 (19)
Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:
ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.
Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (18) и (19), изображены на рисунке (4.2):
Рис. 4.2
wср
(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;
wкр
(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;
Система устойчива, если выполняется условие:
wср
<
wкр
Данное условие выполняется, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде: L
зап
= 5,8 дБ
Запас устойчивости по фазе: φзап
=0,2 рад
Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему.
5. Анализ качества системы в переходном режиме
Определим прямые показатели качества, для этого построим переходную характеристику:
 , где (20)
 (21)
Ф(
s
)
– передаточная функция скорректированной замкнутой системы.
Переходная характеристика, построенная по формуле (20), изображена на рисунке (5.1):
Рис. 5.1
По рисунку (5.1) определим: hmax
=0.3; h
уст
=0.17; h
(0)
=0, время регулирования на уровне 0.05 (hуст
-h(0)).
Коридор: [0.95 (hуст
-h(0)); 1.05 (hуст
-h(0))].
Коридор: [0.1615; 0.1785].
Время регулирования: t
рег
= 0,15 с.
Перерегулирование равно:
(5.3)
.
Определим показатель коллебательности. Используя передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (21), запишем частотную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы:
Выделим действительную и мнимую части:
Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы:
 (22)
Построим амплитудно-частотную характеристику, используя выражение (22) (Рис. 5.2):
Рис. 5.2
По рисунку (5.2) определим:  ;
 .
Показатель колебательности M
есть отношение максимальной ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к начальной ординате:
Определим запасы устойчивости системы.
Найдем критическую частоту – частоту, на которой значение φ(
w
)
равняется –π.
 (23)
w
кр
=328,824
Рассчитаем запас по амплитуде:
 (24)
Запас по амплитуде: L
зап
= 5,797 дБ
Найдем частоту среза – частоту, на которой значение L
(
w
)
равняется 0, используя выражение (24):
w
ср
=232,624
Рассчитаем запас по фазе, используя выражение (23):
Запас по фазе: φзап
=0,168 рад.
6. Анализ качества системы в установившемся режиме
Установившаяся ошибка системы равна:
 (25)
εустХо
=С0
Х0
(t)+ С1
Х'0
(t)+…
εуст
f
=С0
F0
(t)+ С1
F'0
(t)+…
Так как в заданном случае задающее и возмущающее воздействия – константы, необходимо найти лишь первые коэффициенты функций ошибок.
Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию:
Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:
Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возмущению:
 
Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:
Рассчитаем установившуюся ошибку системы, используя выражение (25):
Приведем размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала:
 ;
Система является статической как относительно возмущения, так и относительно задающего воздействия, установившаяся ошибка системы равна 7/282.
|
