ЛІНІЙНА МОДЕЛЬ ВИРОБНИЦТВА
1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування
Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.
Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.
Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількість всіх видів ресурсів  позначимо їх  . Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися  типів товарів  .
Технологією виробництва товарів  назвемо набір чисел   , що показують, яка кількість ресурсів  необхідні для випуску однієї одиниці товару  . Так виробництво товарів  можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості  а в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту .
Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через 
 .
Нехай задані кількості  ресурсів ,, які можуть бути використані у виробництві, тоді  – вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор  , що показує, яка кількість товарів буде вироблена.
Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску  одиниць продукту описуються вектором  , причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.
Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва , описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:
або в матричній формі вектором  . Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді  . Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів  , який задовольняє обмеженням  ,  . Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.
Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни  на продукти виробництва  . Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:
 , , .(1)
Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор  , що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай  означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу
 , ,  , .(2)
Тут нерівність означає, що вектор містить не менше повних комплектів продукції, що випускається.
Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси , доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.
Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.
2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.
Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році  , за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі  |
1 |
2 |
… |
|
Продукти  |
| 1 |
 |
 |
… |
 |
 |
| 2 |
 |
 |
… |
 |
 |
| … |
… |
… |
… |
… |
… |
|
 |
 |
… |
 |
 |
| Валовий випуск |
 |
 |
… |
 |
| Кінцеве споживання |
 |
 |
… |
 |
Величини  вказують обсяг продукту з номером , витрачений галуззю в процесі виробництва за звітний період. Числа  ,
 дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску)  -ї галузі за той самий період, а значення  –
обсягу продукції -ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа , показують розподіл -го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення
 ,  .(3)
Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі елементи -го стовпця таблиці 1 розділити на , то число  розумітимемо як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа , характеризують технологію -ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під  розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця  , яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.
Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва одиниць продукції галузі необхідно затратити  одиниць галузі , тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).
Під час виробництва набору продукції витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку величину
  .(4)
Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює . Якщо  – вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція -ї галузі дорівнює
 , (5)
або в матричній формі
 . (6)
Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків , то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень  . Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто
 (7)
при заданій матриці .
3. Розв’язок моделі Леонтьєва
За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці невід’ємні:  ,  . У цьому випадку говорять, що матриця невід’ємна й записують  . Невід’ємні компоненти заданого вектора  або  .
Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей  або . Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці .
Матриця називається продуктивною, якщо існують два вектори  і , такі, що  .
Продуктивність матриці означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.
Розглянемо умови продуктивності матриці :
1) послідовні головні мінори матриці  позитивні, тобто для кожного  виконана нерівність
 ;
2) матриця невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця  й всі її елементи невід’ємні: 
3) матричний ряд  збігається, причому
 .
4) максимальне власне число  .
Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором потрібно знайти вектор  , для якого  . Перепишемо систему (7) у вигляді  , де  – одинична матриця. Якщо матриця продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця  існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд  . Через те, що  й , .
Особливістю матриці в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.
4. Властивості невід
’
ємних матриць
Нехай – квадратна матриця розміром  з невід’ємними елементами  ,  ;  підмножина множини  натуральних чисел . Говорять, що  ізольовано (щодо даної матриці ), якщо в матриці  при  ,  .
Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини означає, що галузі з номерами  під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин  . Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини , може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб  ,  , що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця матиме вигляд
 ,(8)
де  й  – квадратні підматриці розмірів  і  відповідно,  –  .
Матриця називається нерозкладною, якщо в множині  немає ізольованих підмножин, крім самої і порожньої множини.
Інакше кажучи, матриця нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).
Нерозкладність матриці в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.
Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:
1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо -й рядок матриці нульовий, то множина  ізольована.
2. Якщо – нерозкладна й  то  .
Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця має таке власне число  , що й модулі всіх інших власних чисел матриці не перевищують  ; числу відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор  , всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати  .
4. Лема: нехай – нерозкладна матриця,  , ,  , крім того, у вектора є нульові координати та  , тоді у вектора  знайдеться додатна координата  , причому  .
5. Лема: якщо матриця нерозкладна, , , то з нерівності  випливає, що  ,  .
5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат
Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі  .
Для виробництва одиниці продукції -ї галузі необхідно затратити набір продуктів  , що описується -м стовпцем матриці . Але для виробництва цього набору  необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через  .
Елементи вектора витрат називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць -го продукту  .
Матриця  , складена зі стовпців , , називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули
 .
Непрямими витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих витрат першого порядку, тобто  , або в матричній формі
де  – матриця коефіцієнтів непрямих витрат другого порядку.
Продовжуючи за аналогією, назвемо непрямими витратами порядку  прямі витрати на забезпечення непрямих витрат порядку  . Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат -го порядку одержимо, помноживши  на 
 . (9)
Визначимо тепер повні витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього матриця  , складена з коефіцієнтів повних витрат, утвориться як сума
 (10)
або з огляду на те, що  , маємо
 (11)
Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних зв'язків між галузями.
З'ясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?
Розглянемо матрицю 
 .
Очевидно, що елементи матриці скінченні разом з елементами матриці  тільки в тому випадку, якщо скінченна сума ряду  . Крім того, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці , причому  . Отже, у випадку продуктивності матриці й тільки в цьому випадку матриця повних витрат скінченна, її визначають відповідно до формули
 .
Для великих значень  важко обчислити зворотну матрицю. В цьому випадку матрицю , як і матрицю , можна обчислити приблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації  , на другій ітерації  , на третій  , на  -й ітерації  . Часткова сума  відрізняється від часткової суми  на величину  . Через те що ряд збігається,  при  . Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.
Коефіцієнти  матриці  мають таку економічну інтерпретацію: якщо випуск кінцевого -го продукту потрібно збільшити на одиницю, то валовий випуск -го продукту має бути збільшений на .
6. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів
Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них з'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості. Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.
Розглянемо проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі Леонтьєва.
Зіставимо кожній -ї галузі число  , що виражає необхідні витрати трудових ресурсів при одиничній інтенсивності даного технологічного процесу.
Нехай  – вектор прямих витрат праці й – матриця прямих матеріальних витрат. На виробництво одиниці продукту виду необхідно безпосередньо затратити набір продуктів  і працю в кількості  . Однак на виробництво даного набору продуктів у свою чергу необхідно затратити  одиниць праці. Ця величина називається непрямими витратами праці першого порядку на одиницю -го продукту й позначається через  .
Вектор непрямих витрат праці першого порядку визначається таким виразом:  .
Міркуючи аналогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор  непрямих витрат праці порядку  визначається таким співвідношенням:
 або  .
Повні витрати праці є сумою прямих і непрямих витрат праці
 .
У матричному записі, вважаючи, що  і, з огляду на те, що  , маємо
 або  .
Якщо матриця продуктивна, то суму в дужках можна замінити на й, отже,  – матриця повних витрат праці.
Зменшення повних витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивної основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці використовують ітераційну процедуру
 ,
що дозволяє з заданою точністю визначити дані коефіцієнти.
|
