Контрольная работа: Математические методы и модели

Задача 1

Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации. Выбор варианта осуществляется по последней цифре порядкового номера студента

Решение:

Построим расчетную таблицу

N	Расходы по эксплуатации машин и механизмов (тыс. ден. ед), X	Основная заработная плата (тыс. ден. ед), Y	XY	X2	Y2
1	3,2	6,3	20,16	10,24	39,69	6,35	0,003	10,27
2	0,5	1,1	0,55	0,25	1,21	2,04	0,886	3,98
3	1,2	2,9	3,48	1,44	8,41	3,16	0,067	0,04
4	0,1	2,5	0,25	0,01	6,25	1,40	1,203	0,35
5	0,5	2,3	1,15	0,25	5,29	2,04	0,067	0,63
6	0,6	4,7	2,82	0,36	22,09	2,20	6,244	2,58
7	0,8	2,5	2	0,64	6,25	2,52	0,000	0,35
8	1,3	3,6	4,68	1,69	12,96	3,32	0,079	0,26
9	2,1	5	10,5	4,41	25	4,60	0,164	3,63
10	0,3	0,7	0,21	0,09	0,49	1,72	1,045	5,74
11	3,2	7	22,4	10,24	49	6,35	0,421	15,25
12	0,5	1	0,5	0,25	1	2,04	1,085	4,39
13	1,4	3,1	4,34	1,96	9,61	3,48	0,143	0,00
14	1,8	2,8	5,04	3,24	7,84	4,12	1,733	0,09
15	0,3	1,4	0,42	0,09	1,96	1,72	0,104	2,87
16	0,4	1	0,4	0,16	1	1,88	0,778	4,39
17	2,3	5,1	11,73	5,29	26,01	4,91	0,034	4,02
18	0,1	2,6	0,26	0,01	6,76	1,40	1,433	0,25
18	1,3	3,8	4,94	1,69	14,44	3,32	0,232	0,50
20	1,3	2,5	3,25	1,69	6,25	3,32	0,670	0,35
сумма	23,2	61,9	99,08	44	251,51	61,9	16,391	59,93
среднее	3,095

Вычислим коэффициент корреляции по формуле:

r

где X и Y- текущие значения наблюдаемых величин;

N- число наблюдений.

Получим:

Коэффициент корреляции лежит в пределах 0£ / r /£ 1 . При положительном коэффициенте корреляции наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая.

В нашем примере r = 0,852 связь тесная

Вычислим уравнение регрессии:

- уравнение регрессии

Построим корреляционное поле

Теснота связи для аппроксимации криволинейных зависимостей определяется при помощи корреляционного отношения

r =

Дополнительной оценкой точности аппроксимации является средняя относительная ошибка аппроксимации. Линия регрессии - аппроксимирующая функция. Чем меньше E, тем точнее выбранная зависимость аппроксимирует существующую зависимость

Вычислим точность аппроксимации:

где Yi- наблюденное значение зависимой переменной ;

- рассчитанное по формуле значение;

- среднее значение;

Вывод:

1. Между факторами имеется тесная связь.

2. Связь прямая

3. Прямолинейная зависимость лучше отображает связь.

Задача 2

2.1 По приведенным ниже данным – матрицы прибыли в зависимости от выбранной стратегии и состоянии факторов внешней среды, выбрать наиболее предпочтительную стратегию по критериям Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа.

Критерий Лапласа.

Критерием выбора стратегии выступает максимизации математического ожидания.

Вывод: В соответствии с критерием Лапласа стратегии СЕ и СИ характеризуются максимальным математическим ожиданием прибыли.

Критерий Вальда

В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как

W = 100

Вывод: В соответствии с критерием рекомендуемые стратегии СА, СГ, СД, СЖ, СИ гарантируют максимальный результат (100) в самой неблагоприятной ситуации.

Критерий Гурвица

Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции.В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей

,

где a- показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0£ a£1,

Вывод: Согласно критерию Гурвица стратегия СЕ обеспечивает максимальное значение линейной комбинации

Критерий Сэвиджа

Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (Rj) и выигрышем при выбранной стратегии (Si)

; при ,

где rij - показатель риска;

bj - максимально возможный выигрыш;

x ij - выигрыш при выбранной стратегии

На этой основе строят матрицу рисков, которая показывает "сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы". Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации

S = 50

Вывод: В соответствие с критерием рекомендуемая стратегия СИ, выбирая её в самом худшем случаи наше сожаление не превысит 50.д.ед.

2.2При заданном распределении состояний факторов внешней среды определить стандартные статистические показатели (среднюю ожидаемую прибыль, дисперсию, коэффициент вариации прибыли) и обосновать выбор стратегии по индивидуальному отношению к риску.

Вычислим среднюю ожидаемую прибыль по формуле:

МА=100*0,2+120*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+110*0,05=118,5

МБ=110*0,2+90*0,4+150*0,1+120*0,2+120*0,05+100*0,05=108

МВ=150*0,2+150*0,4+100*01+90*0,2+100*0,05+90*0,05=127,5

МГ=130*0,2+100*0,4+110*0,1+120*0,2+120*0,05+110*0,05=112,5

МД=150*0,2+110*0,4+110*0,1+100*0,2+100*0,05+150*0,05=119

МЕ=190*0,2+90*0,4+100*0,1+170*0,2+120*0,05+90*0,05=128,5

МЖ=100*0,2+140*0,4+140*0,1+140*0,2+130*0,05+100*0,05=129,5

МЗ=120*0,2+150*0,4+130*0,1+130*0,2+120*0,05+90*0,05=133,5

МИ=140*0,2+120*0,4+130*0,1+120*0,2+150*0,05+100*0,05=125,5

Вычислим среднее квадратичное (стандартное) отклонение:

где s - стандартное отклонение;

Ax - результат для вероятности Px;

a - среднее ожидаемое значение результата;

Px - вероятность появления этого результата

Коэффициент вариации используют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:

,

где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина.

Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Построим таблицу

1	2	3	4	5	6	м		[М-];[М+]	V%
А	100	120	130	130	120	110	118,5	10,61838	[107,88 ;129,12]	8,95
Б	110	90	150	120	120	100	108	18,60108	[89,40 ;126,60]	17,22
В	150	150	100	90	100	90	127,5	27,72634	[99,77 ;155,23]	21,74
Г	130	100	110	120	120	110	112,5	11,77922	[100,72; 124,28]	10,46
Д	150	110	110	100	130	150	119	18,9473	[100,05 ;137,95]	15,92
Е	190	90	100	170	120	90	128,5	43,04358	[85,46 ;171,54]	33,49
Ж	100	140	140	140	130	100	129,5	17,16828	[112,33 ;146,67]	13,25
З	120	150	130	130	120	90	133,5	15,89811	[117,60 ;149,40]	11,9
И	140	120	130	120	150	100	125,5	11,16915	[114,33 ;136,67]	8,9

Вывод: на мой взгляд самая оптимальная стратегия СЕ, т.к во время кризиса мы потеряем много прибыли, но в тоже время в благоприятных условиях мы приобретем много прибыли.