| Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"
Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування"
Реферат з курсу “Численные методы"
Тема: “Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
”
Виконав:
студент групи
Перевірив:
Харків
Содержание
Введение
1. Вычисление определенных интегралов
2. Построение квадратурных формул с плавающими узлами
Список использованных источников
Задача вычисления определенного интеграла в случаях, когда невозможно аналитически получить первообразные, может быть решена с помощью квадратурных формул.
Основная идея построения квадратурных формул заключается в том, что вычисление интеграла (площади) заменяется выражением, в котором используются некоторые значения подынтегральной функции. В качестве квадратурного выражения обычно выбирают взвешенную сумму значений подынтегральной функции.
Количество параметров квадратурного выражения тесно связано со степенью подынтегральной функции, если последняя может быть описана степенным полиномом ограниченной степени. В общем случае это невозможно, например, когда подынтегральная функция терпит разрыв.
Для устранения особенности интегрируемой функции, последнюю представляют произведением весового сомножителя, включающего в себя характерную особенность, и части подынтегральной функции, которая после исключения особенности может представляться степенным многочленом.
Возможность представления подынтегральной функции полиномом позволяет оценить минимально необходимое число параметров в квадратурной формуле, исходя из критерия получения по ней абсолютно точного значения интеграла. Так, для подынтегральной функции, представленной полиномом нулевой степени, вычисление площади в интервале [a, b] достаточно одного значения функции (площадь прямоугольника). Для полинома первой степени - два значения (площадь трапеции). Для второй степени - три, и т.д. Последнее следует из того, что через (n
+1) точку можно провести единственную кривую n
-й степени.
Параметрами квадратурных формул являются коэффициенты при значениях полиномиальной подынтегральной функции и значения независимой переменной, при которых вычисляется подынтегральная функция.
где - параметры квадратурной формулы,
 - функция с выделенной особенностью,
 - весовая функция, включающая особенность.
Для подынтегральных функций без особенностей p
(x
) =1.
Квадратурные формулы строятся для пределов интегрирования  и  .
Замена пределов интегрирования  на или осуществляется линейным преобразованием, которое выше было уже рассмотрено.
Построение любой квадратурной формулы начинается с решения вопроса о классе подынтегральных функций, для которых формула будет абсолютно точна. Если выбраны функции степенного базиса, то число параметров, которое необходимо ввести в квадратурную формулу, равно наивысшей степени n
базисной функции, увеличенной на единицу.
Если точки, в которых вычисляются значения подынтегральной функции, определены условиями удобного положения или простотой вычисления в них, то в квадратурной формуле число слагаемых будет равно числу параметров. Если положения точек тоже взяты в качестве параметров, то число слагаемых может оказаться и вдвое меньше. В квадратурную формулу можно ввести также значения производных подынтегральной функции в заданных точках, если вычисление производных проще, чем вычисление функции.
Когда все условия построения квадратурной формулы оговорены, то, используя метод неопределенных коэффициентов (параметров), составляют систему алгебраических уравнений путем подстановки в интеграл и квадратурную формулу базисных функций. Так как число их равно числу параметров, то система будет определена.
В качестве примера найдем квадратурную формулу с тремя плавающими узлами для функций  , принадлежащих множеству  , где n
=5.
Формула должна иметь 3 слагаемых с шестью параметрами. Интервал интегрирования возьмем .
где - неизвестные весовые коэффициенты,
 - неизвестные узловые точки, в которых должна
вычисляться подынтегральная функция.
Вычисляются определенные интегралы для множества базисных функций:
Подстановка базисных функций в выражение с параметрами и их приравнивание соответствующим значениям интегралов от базисных функций приводит к следующей системе нелинейных уравнений:
Решение таких уравнений основано на существовании двух канонических форм записи нулей степенных уравнений:
где - коэффициенты, выражаемые через корни  .
И первая и вторая формы обращаются в нуль, если  .
Чтобы выделить из системы уравнений узловые многочлены, умножим первые 4 уравнения системы на коэффициенты из левой колонки и найдем их сумму, затем умножим соответствующие уравнения на среднюю колонку и найдем их сумму и, наконец, - на правую колонку и тоже просуммируем:
Все взятые в круглые скобки узловые многочлены обязаны быть равными нулю, так как в них подставлены значения узлов  , в которых многочлен  обязан обращаться в нуль. Поэтому правые части уравнений равны нулю и после подстановки в левые части числовых значений для  получается система линейных алгебраических уравнений относительно пока неизвестных констант  :
 .
Последнее вытекает из неравенства нулю определителя однородного уравнения. Таким образом, узловые точки, в которых будут вычисляться значения подынтегральной функции, находятся из кубического уравнения:
Корни легко находятся и равны следующим значениям:
 .
Теперь остается найти весовые коэффициенты, для чего в первые 3 уравнения подставим найденные значения узловых точек:
 . Отсюда:  .
В результате квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности приняла следующий окончательный вид:
Оценить погрешность квадратурной формулы можно, если в этих же пределах проинтегрировать отбрасываемую часть разложения в ряд Тейлора подынтегральной функции. Первые n
членов ряда определяют максимальную степень базисных функций, а значит, и алгебраическую степень точности полученной на их основе формулы.
1. Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., Ляшко И.И. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Т.1, 2004. - 360 с.
2. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 2001. - 383с.
3. Волков, Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. - 248с.
4. Гаврилов А.В., “Об оптимальных квадратурных формулах", Сиб. журн. индустр. матем., 8: 1 (2005), 50-52
5. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.
|
