Файл
: FERMA-2mPF-for
©
Н
.
М
.
Козий
, 2007
Авторские права защищены свидетельствами Украины
№ 27312 и № 28607
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
А
n
+ В
n
= С
n
/1/
где n
- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А
n
= С
n
-В
n
/2/
Пусть показатель степени n
=2
m
. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:
А2
m
= С2
m
–В2
m
/3/
Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)
Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С2
=А2
+ В2
,
/4/
где: С
– гипотенуза; А
и В
– катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А
, В
и С
выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом:
А2
= С2
–В2
/5/
Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A
и переменными B
и С
. Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2
=(
C
-
B
)∙(
C
+
B
)
/6/
Используя метод замены переменных, обозначим:
C
-
B
=
M
/7/
Из уравнения /7/ имеем:
C
=
B
+
M
/8/
Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем:
А2
=
M
∙ (
B
+
M
+
B
)=
M
∙(2
B
+
M
) = 2
BM
+
M
2
/9/
Из уравнения /9/ имеем:
А2
-
M
2
=2
BM
/10/
Отсюда: B =
/11/
Из уравнений /8/ и /11/ имеем:
C=  /12/
Таким образом: B = /
13/
C
 /14/
Из уравнений /11/ и /12/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В
и С
были целыми, является делимость числа A
2
на число M
, т. е. число M
должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А
или A
2
.
Числа А и
M
должны иметь одинаковую четность
.
По формулам /13/ и /14/ определяются числа B
иC
как переменные, зависящие от значения числа А
как параметра и значения числа M
.
Из изложенного следует:
1. Квадрат простого числа A
равен разности квадратов одной пары чисел B
иC
(
приM
=1).
2. Квадрат составного числа A
равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B
иC
.
3. Квадрат числа Am
равен разности квадратов нескольких пар чисел.
4. Все числа A
> 2
являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А
, В
и С
и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А
, В
и С
выражаются целыми числами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 1
Уравнение /3/ с учетом уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом:
А2
m
= С2
m
–В2
m
=(С
m
–В
m
)∙(С
m
+В
m
)
/15/
Тогда в соответствии с уравнениями /13/ и /14/ запишем:
Bm
=
/16/
Cm
 /17/
Из уравнений /16/ и /17/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В
и С
были целыми, является делимость числа A
2
m
на число M
, т. е. число M
должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А
или A
2
m
.Следовательно, число A
2
m
должно быть равно:
A
2
m
=
M
·
D
,
/18/
где D
– целое число.
Тогда : Bm
=
/19/
А число Cm
с учетом уравнения /8/ равно:
Cm
=
Bm
+
M
=
 /20/
Тогда из уравнений /19/ и /20/ следует:
B
= 
/21/
C
 /22/
Если допустить, что В –
целое число, то из уравнения /22/ следует, что число С
не может быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях /21/ и /22/ отличаются всего на 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 2
Выше в доказательстве теоремы Пифагора доказано, что все натуральные числа являются пифагоровыми. Следовательно, все натуральные числа распределяются на тройки пифагоровых чисел и, следовательно, все тройки пифагоровых чисел удовлетворяют уравнению /4/:
С2
=А2
+ В2
/23/
Пифагоровы числа (А, В, С)
могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а их квадраты могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на гипотенузе и катетах этого треугольника. Умножив приведенное уравнение на С,
получим:
С3
=А2
∙ С+ В2
· С
/24/
Из уравнения /24/ следует, что объем куба раскладывается на два объема двух параллелепипедов. Поскольку очевидно, что в уравнении /23/ А<
C
и В<
C
,
то из уравнения/24/ следует:
С3
>А3
+ В3
/25/
На всем множестве троек пифагоровых чисел ( а все натуральные числа образуют тройки пифагоровых чисел) при показателе степени n
=3
не может быть ни одного решения уравнения /1/:
А
n
+ В
n
= С
n
Следовательно, на всем множестве натуральных чисел невозможно куб разложить на два куба.
Умножив уравнение /23/ на С2
,
получим:
С2
∙С2
=А2
·С2
+ В2
∙С2
/26/
Все члены этого уравнения представляют собой объемы параллелепипедов:
параллелепипед С2
∙С2
имеет в основании квадрат со стороной С
и высоту С2
;
параллелепипед А2
∙С2
имеет в основании квадрат со стороной А
и высоту С2
;
параллелепипед В2
∙С2
имеет в основании квадрат со стороной В
и высоту С2
.
Следовательно, в соответствии с уравнением /26/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов.
Поскольку, как показано выше, А<
C
и В<
C
,
то из уравнения/26/ следует:
С4
>А4
+ В4
/27/
В общем случае уравнение /26/ можно записать следующим образом:
С2
∙С
n
-2
=А2
·С
n
-2
+ В2
∙С
n
-2
/28/
С
n
=А2
·С
n
-2
+ В2
∙С
n
-2
/29/
Следовательно, в соответствии с уравнениями /28/ и /29/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов. Поскольку, как показано выше, А<
C
и В<
C
,
то из уравнения/29/ следует:
С
n
>А
n
+ В
n
/30/
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при четных показателях степени.
|
