КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВАРИАНТ 2.3
№ 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.
Запишем уравнение прямой в виде:
 .
Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых:
Получим уравнение прямой:
Сделаем чертеж
№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S= 4,5 кв.ед.
Сделаем схематический чертеж
Площадь треугольника будет равна  .
Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем в виде
Из уравнения
Получим прямую с угловым коэффициентом 
Значение  соответствует прямой, которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьего координатного угла..
№ 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.
Общее уравнение имеет вид:
Для нахождения A,B,C и D необходимо составить три уравнения.
Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит через точки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярности плоскостей:
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле:
Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения:
Получим уравнение плоскости:
Запишем условие перпендикулярности плоскостей:
Условие, что искомая плоскость:
через точку А:  ;
через точку В:  .
Получим систему уравнений:
Складываем 2-е и 3-е уравнения:  , 1-е уравнение умножаем на 2 и вычитаем из полученного:
Из 1-го уравнения:  .
Из 3-го уравнения:  . Принимаем  , получаем
 .
Уравнение плоскости имеет вид:
№ 4. Найти расстояние от точки  до прямой  .
Расстояние r найдем по формуле расстояния от точки  до прямой, заданной уравнением в канонической форме:
№ 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку  перпендикулярно вектору  , где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью
Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходит через точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение  .
Для этого вначале найдем координаты точки В.
Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения:
с осью OY:
с осью OZ:
Получим треугольник с вершинами:  .
Найдем координаты середины стороны  по формуле:
 .
 — середина стороны .
Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу:
Точка пересечения медиан имеет координаты  .
Найдем координаты вектора .
Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору  имеет вид:
№ 6. Две прямые параллельны плоскости  . Первая прямая проходит через точку  и пересекает ось абсцисс, вторая — через точку  и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.
Для нахождения направляющих векторов прямых используем условие параллельности прямой и плоскости
и условие, что прямая проходит через ось абсцисс, т.е. выполняется соотношение  в точке (x,0,0).
подставляем из 1-го уравнения во второе, получим
Полагаем  тогда  .
Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3).
Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0)
Из второго уравнения
Косинус найдем по формуле:
№ 7. Найти координаты центра  окружности радиусом 5, касающейся прямой  в точке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.
Переформулируем задачу:
Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой , проходящей через точку М (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед.
Запишем уравнение прямой в виде  , коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых
Получаем уравнение прямой
Используем формулу расстояния между двумя точками:
По условию второе решение не походит, т.к. x<0.
№ 8. Дана кривая 
8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.
 — это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду
Это каноническое уравнение гиперболы.
8.2 Найти координаты ее центра симметрии.
Сделаем схематический чертеж:
Центр симметрии гиперболы в точке  .
 .
8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.
8.4. Записать уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус  , р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).
Уравнение  , где
8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.
№ 9. Дана кривая  .
9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.
Каноническое уравнение параболы  , заданное уравнение приведем к этому виду
следовательно, имеем параболу.
9.2. Найти координаты ее вершины.
Если уравнение параболы записано в виде  , координаты вершины  .
9.3. Найти значение ее параметра р.
Из уравнения—— видно, что  .
9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.
Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение  .
9.5. Построить данную параболу.
Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.
№ 10. Дана кривая  .
10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.
Каноническое уравнение эллипса
Общее уравнение кривой второго порядка:
 .
Перепишем заданное уравнение:
Введем обозначения:
Если  имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.
следовательно, исходная кривая — эллипс.
10.2. Найти координаты центра его симметрии.
Применим формулу:
10.3. Найти его большую и малую полуоси.
Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:
Уравнение запишем в виде:
 где
Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса  и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением  , при этом угловой коэффициент новой оси 
10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси  . В новых координатах  .
Воспользуемся формулой преобразования координат:
Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой  , получим:
10.5. Построить данную кривую.
Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и  . Далее, определим вершины эллипса.
В новых координатах они равны  .
В старых:
|
