Метод коллокаций
Пусть необходимо определить функцию
, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению
(2.50)
и линейными краевыми условиями
, (2.51)
причем 
Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций
(2.52)
которую назовем системой базисных функций.
Пусть функция 
удовлетворяет неоднородным краевым условиям
(2.53)
а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:
. (2.54)
Если краевые условия (2.51) однородны (A
=
B
=
0), то можно положить 
и рассматривать лишь систему функций 
.
Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций
. (2.55)
Тогда функция y
удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем
и аналогично 
Составим функцию 
.
Подставляя сюда вместо y
выражение (2.55), будем иметь
.(2.56)
Если при некотором выборе коэффициентов ci
выполнено равенство
при 
то функция y
является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции 
и коэффициенты ci
в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция 
обращалась в нуль в заданной системе точек 
из интервала [a
,b
], которые называются точками коллокации. Сама функция R
называетсяневязкой
уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.
Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений
. (2.57)
Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты 
, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).
Пример
.Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу
(2.58)
1. Метод коллокаций.
В качестве базисных функций выберем полиномы
.
Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: 
За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:
Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим
Найдем функцию 
(2.59)
В точках коллокации 
получим
.
Подставляя сюда (2.59), найдем
(2.60)
Решив эту систему, определимкоэффициенты 
:
=
0.957, 
=
− 0.022.
Следовательно, приближенное решение будет иметь вид
.
Например, при x
=
0получим y
(0)=
0.957.
2. Метод сеток.
Для грубого решения выбираем шаг h
=
1/2 (см. рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток
Полагая 
, ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:
(2.61)
Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y
0
и 
. Полагая x
=
0и пользуясь симметричными формулами для производных
,
получим:
Аналогично, при x
=
1/2, то есть при i
=
1, получаем
Учитывая теперь (2.61),
найдем систему
Решая эту систему, отыщем y
0
=
0.967,y
1
=
0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y
0
=
0.957, а метод сеток y
0
=
0.967.
Метод Галеркина
Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными
краевыми условиями
, (2.62)
(2.63)
Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы
(2.64)
где 
– некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным
краевым условиям (2.63), а 
– какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным
краевым условиям
(2.65)
и, кроме того функции 
при 
образуют в классе функций c
2
[a
,b
], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.
Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.
Обозначим через G
класс функций y
(
x
)
, принадлежащих c
2
[a
,b
](то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a
,b
]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций 
полна в классе G
, если для любого 
и любой функции 
можно указать такое n
и такие параметры 
, что имеет место неравенство
где 
Это означает, что для любой допустимой функции
найдется такая функция 
, которая на [a
,b
]будет сколь угодно точно приближать функцию y
(
x
)
вместе с ее производными 
и 
.
Докажем, что если для некоторой функции F
(
x
)
и полной системы функций 
выполняется соотношение ортогональности
(2.66)
то функция 
. Для этого из полной системы
последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему 
причем 
иначе
были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F
(
x
)
, найдем
Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству
(2.67)
Вычислим последний интеграл:
так как 
Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид
.
Полагая здесь k
=
1, получим 
, и так как 
, то 
. Полагая k
=
2, получим 
, и так далее. Следовательно, все коэффициенты 
в разложении функции F
(
x
)
равны нулю и поэтому F
(
x
)
тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.
Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y
(
x
)
, удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы 
было ортогонально
при любых 
, то это означало бы, что
,и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при 
, то в разложении
по системе
входят 
и более старшие коэффициенты, то есть 
Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности
к функциям полной системы
для 
, то есть
(2.68)где
Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a
k
.
Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.
Если оператор 
нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор
линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.
В методе Галеркина функция
должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому
можно выбрать в виде
,
и коэффициенты 
найти как решение системы уравнений
Таким же образом отыскиваются функции
. Выберем, например, полную систему
в виде многочленов последовательных степеней:
.
Коэффициенты 
найдем из однородных
краевых условий (2.65)
(2.65а
)
при всех 
.
Так, для 
и условия (2.65а
) принимают вид:
В этой системе из двух уравнений три неизвестных: 
и 
. Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, 
. Аналогично отыскивают коэффициенты 
для 
.
Для простых условий вида 
то есть 
функции
можно вычислять по правилу
или
Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, 
линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами ak
уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L
.
Пример
1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения
с условиями
В качестве системы базисных функций 
выберем
Ограничимся четырьмя функциями 
, то есть k
=
0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде
Найдем функцию
.
Так как
, а 
, 
,
то получим
Потребует теперь ортогональности функции F
(
x
)
к функциям 
. Это приводит к системе
Подставляя сюда вместо
выражение этой функции и производя интегрирования, найдем
Решение этой системы:
Следовательно,
Пример
2.
Решим задачу
Положим 
и выберем полную систему функций
Ограничиваясь k
=1, легко получить
Если же взять два члена, то получим 
Можно рассчитать следующую таблицу:
| x
|
|
|
Точное решение 
|
|
0.241 |
0.445 |
0.208 |
|
0.322 |
0.685 |
0.325 |
|
0.241 |
0.582 |
0.273 |
|
