Сочинение: Три задачи по теории чисел

Три задачи по теории чисел

Задача 1

Утверждение 1

Пусть р₁ , р₂ и р₃ являются ненулевыми рациональными числами, причем р₁ + р₂ = р_3. Тогда произведение р₁ * р₂ * р₃ не является точным кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть р₁ * р₂ * р₃ ≠ R³ , где R – некоторое рациональное число (R ≠ 0).

Доказательство

Положим

и

Очевидно, что а (а≠0) и b - рациональные числа, так как рациональными являются числа р₁ и р₂ .

(Если а=0, т.е. р₁ = - р_{2 , то} р₁ + р₂ = р₃ = 0, что противоречит нашему утверждению (р₃ 0).

Если b=0, т.е. р₁ = р_{2 , то} р₃ = 2 р₁ р₁ * р₂ * р₃ = р₁ * р₁ * 2р₁ =2р, т.е. р₁ * р₂ * р₃ = 2р≠ R³ и противоречие с нашим утверждением отсутствует.)

Тогда имеем:

Теперь нетрудно выразить старые переменные через новые:

(1)

Таким образом, замена р₁ и р₂ на a и b является обратимой (число Р₃ в обоих случаях является зависимой переменной).

Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число является точным кубом (R³ ) некоторого рационального числа R (R ≠ 0) .

Обозначим (2), где r0, т.к. при r = 0 либо р₁ =0, либо р₂ =0, либо р₃ =0_.

где q0 (пояснение ниже).

Числа r и q являются рациональными числами, если рациональны числа a и b. Далее имеем:

Пояснение

При q=0 , где r₀ 0 - рациональное число (т.к. r0).

Из (2) следует , откуда R не является рациональным числом, что противоречит условию. Следовательно, q0.

Отсюда число является кубом некоторого ненулевого рационального числа , обозначим это число через (3), где С0 (С > 0).

Обозначим: , тогда:

(с учетом (2) и (3)) (4)

Так как r, q – рациональные числа, то и числа A, B, (CR) -также рациональны числа.

Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3^й степени, которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Примечание. А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р₁ , р₂ , р_3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.

Если В = r – q = 0, то r = q.

Отсюда, учитывая

имеем ) = 0

откуда следует не только из

r = q (что ожидаемо), но и r = 0 r = q = 0 R=0, что противоречит условию нашего «Утверждения», ч.т.д.

Для А = r + q = 0 рассуждения аналогичные.

Теперь сформулируем некоторое обобщение нашего Утверждения 1 на рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией называется выражение вида , где p(x) и q(x) – некоторые многочлены. Заметим, что и многочлены и даже числа являются частным случаем рациональных функций при соответствующем выборе коэффициентов многочленов p(x) и q(x).

Утверждение 2

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причём для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть
либо , где R – рациональное число (R ≠ 0);
либо , где R(x) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформулировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.

Утверждение 3

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z,…, причем для всех x, y, z,….

Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z,… не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть либо:

где R - рациональное число (R ≠ 0);

либо

где R(x,y,z,…) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.

Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?

Для анализа неразрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.

Примеры:

1. - куб рациональной функции R(x) = 3x² , которая при рациональном x является рациональным числом. Следовательно, уравнение неразрешимо в рациональных числах.

2. - куб рациональной функции R(x) = неразрешимо в рациональных числах.

3. - куб рационального числа 3, отсюда неразрешимо в рациональных числах

4. - куб рациональной функции R(x,y) = не разрешимо в рациональных числах

5. - куб рациональной функции R(x) = х³⁷ => уравнение не разрешимо в рациональных числах.

Следовательно, система уравнений неразрешима в ненулевых рациональных числах x, y, z , где R – рациональное число (R≠0).

Задача 2

Утверждение 1

Пусть р₁ , р₂ , р₃ и р₄ являются рациональными ненулевыми числами, причем (1). Тогда произведение не может равным ни , то есть не может выполняться соотношение

(2)

где = 1;2;3;4 и если - рациональное число.

Доказательство

Положим . Очевидно, x, y и z – это рациональные ненулевые числа, так как рациональными ненулевыми числами являются р₁ , р₂ , р₃ . Так как р₁ , р₂ , р₃ в (1) и (2) равноправны, то за в (2) мы можем принять любое из них, т.е. = 1;2;3. Пусть для определенности (3), тогда р₄ на основании (1) принимает вид:

(4)

Таким образом, замена р₁ , р₂ , р₃ на x, y и z является обратимой (число р₄ в обоих случаях является зависимой переменной).

Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число

Тогда имеем:

(5)

где x, y и z – ненулевые рациональные числа, а (5) равносильно

(6)

Действительно, можно из уравнения (6) получить (5):

, (6)

, ,

,

(5), что и требовалось доказать.

Обозначим . Тогда (6) примет вид: . Так как x, y и z - рациональные числа, то и числа A, B и C также рациональные числа. Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3-й степени , которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах.

Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Примечание:

1). Легко понять, что суммой P₄ в (1) может быть являться любое из слагаемых (например: ), а произведение новых членов остается прежним, то есть

,

где i может принимать и значение 4, тогда в произведении

2). . А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р₁ , р₂ , р_3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.

Случаи, когда А=0, или В=0, противоречат нашему утверждению.

Действительно, если, например,

то из В = С

= x = 0 x = 0 х=0, что противоречит нашему утверждению.

Аналогичные рассуждения и для В=0.

Утверждение 2

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причем для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не может быть равной ни , то есть не может выполняться соотношение .

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.

Утверждение 3.

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z , …, причем для всех x, y, z, …. Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z, … не может быть равной ни

то есть не может выполняться соотношение

где i=1;2;3;4

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z, … мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.

Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?

Для анализа разрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.

Примеры

1.

где x² – второе слагаемое, которое при рациональном x является рациональным числом => уравнение не разрешимо в рациональных числах.

2.

где x – второе слагаемое, которое при рациональном x – рациональное число. не разрешимо в рациональных числах.

3.

где y – третье слагаемое, которое при рациональном y – рациональное число не разрешимо в рациональных числах.

Следствие

Система уравнений

неразрешима в рациональных числах, где - переменные (не равные 0).

Задача 3

Утверждение (n=3) Уравнение

a³ = b² + cd² (1)

где с = const, имеет следующее решение:

a = α² + cβ² b = α³ - 3cαβ² d = 3α² β - cβ³

где α и β - произвольные числа.

Доказательство

Рассмотрим тождество

(2) (x² +cy² )(u² +cυ² )≡(xu-cyυ)² +c(xυ+yu)²

где с = const (некоторое число); x,y,u,υ - переменные (произвольные числа).

Если один из 2^x сомножителей в скобках левой части тождества (2) является квадратом другого (например: (x² +cy² )² =u² +cυ² ), то тождество (2) можно записать не через четыре переменных x,y,u,υ, а только через две (α и β), где α и β-другие переменные.

Действительно, если (x² +cy² )² =u² +cυ² (3), общий вид которого

(4) a₁ ² =u² +cυ² (случай, когда(n=2)), а его решения (это специалистам известно):

(5) a₁ =α² +cβ² ,

(6) u=α² -cβ² ,

(7) υ=2αβ, где α и β-произвольные числа ((эти решения специалистам известны).

(Действительно, если в (4) подставить его решения (5), (6) и (7), то получим тождество: (α² +cβ² )² ≡ (α² -cβ² )² +c(2αβ)² (8). Следовательно, имеем следующее:

(9) x² +cy² =α² +cβ²

(6) u=α² -cβ²

(7) υ=2αβ

Уравнение (9) обращается в тождество при x=α (10) и y=β (11), значит

(10) и (11) являются решениями (9).

Учитывая (3), тождество (2) запишется в виде уравнения:

(x² +cy² )(x² +cy² )² =(xu-cyυ)² +c(xυ+yu)² =>

=> (12) (x² +cy² )³ =(xu-cyυ)² +c(xυ+yu)²

Учитывая (6), (7), (10) и (11), уравнение (12) запишется:

(α² +сβ² )³ =[α·(α² -cβ² )-cβ·2αβ]² +c[α·2αβ+β(α² -cβ² )]² =

=[α³ -cαβ² -2cαβ² ]² +c[2α² β+βα² -cβ³ ]² =(α³ -3cαβ² )² +c(3α² β-cβ³ )² =>

=> (13) (α² +cβ² )³ ≡(α³ -3cαβ² )² +c(3α² β-cβ³ )²

где α и β - произвольные.

Т.к. (13) - тождество, то решением уравнения (1) a³ = b² + cd² (случай, когда(n=3)), являются:

а = α² + cβ² b = α³ - 3cαβ²

d = 3α² β - cβ³ , где α и β - произвольные числа, ч.т.д..

Утверждение 2. (n = 2;3;4;5;6;7)

Уравнение aⁿ =b² +cd² (1), где c = const, имеет следующее решение:

a=α² +cβ²

b=αⁿ -κ₃ cα^{n -2} β² +κ₅ c² α^{n -4} β⁴ -κ₇ c³ α^{n -6} β⁶ +…

d=nα^{n -1} β-κ₄ cα^{n -3} β³ +κ₆ c² α^{n -5} β⁵ -κ₈ c³ α^{n -7} β⁷ +…,

где κ_i - биноминальные коэффициенты степени n, где i = 3;4;5;6;7;8;…;

κ₁ =1 - первые два биноминальных коэффициента в

κ₂ = п биноме Ньютона при αⁿ и α^{n -1} β;

n - натуральная степень (n>1).

Доказательство

(методом анализа частных случаев, когда n = 2;3;4;5;6;7)

I этап

Рассмотрим частные случаи.

Нам уже известны решения уравнения (1) aⁿ =b² +cd² для степени n=2 и n=3 (смотри доказательствоУтверждение1).

n = 2

(2) a² = b² + cd² , где

a=α² +cβ²

b=α² -cβ² (2') - при этих значениях a, b и c уравнение (2) превращается в d=2αβ тождество (α² +cβ² )² ≡ (α² -cβ² )² +c(2αβ)² (2'').

n=3

(3) a³ =b² +cd² ,

где

a=α² +cβ²

b=α³ -3cαβ² (3') - при этих значениях a,b и c уравнение (3) превращается в d=3α² β-cβ³ тождество (α² +сβ² )³ ≡ (α³ -3сαβ² )² +с(3α² β-сβ³ )² (3'').

Пример: при α = β = 1 и c=2 имеем верное равенство:

(1+2·1)³ = (1-3·2·1)² + 2·(3-2·1)² 3³ ≡ 5² +2·1²

Напомню, что при нахождении решения уравнения (1) для степени n = 3 мы в доказательстве Утверждения1опирались на тождество (2)

(x² +cy² )(u² +cυ² ) ≡ (xu-cyυ)² +c(xυ+yu)² ,

и на решение уравнения (1) второй степени, т.е. степени на единицу меньшую. Аналогичным методом можно найти решение уравнения (1) для других натуральных степеней n.

n=4

Пусть в тождестве (2) (x² +cy² )(u² +cυ² ) ≡ (xu-cyυ)² +c(xυ+yu)²

a = x² +cy²

a³ = u² +cυ² (5)

тогда имеем соотношение (x² +cy² )³ = u² +cυ² (6), которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=3: a³ = b² + cd² (3) (см. случай n=3).

Учитывая (3') и (6), получаем:

а = x² +cy² = α² +cβ² (7')

u = α³ -3cαβ² (7) (7'')

υ = 3α² β-cβ³ (7''')

Учитывая формулы (10) и (11) в доказательстве Утверждения1 (x=α , y=β (8)) при нахождении решения уравнения (1) для n=3, автоматически распространим его и при нахождении решения уравнения (1) для n>3. Тогда, с учетом (5) тождество (2) принимает вид:

a⁴ = (xu-cyυ)² + c(xυ+yu)² => a⁴ = b² + cd² (9)

где

a = x² +cy²

b = xu-cyυ (10)

d = xυ+yu

Учитывая (8), (7'),…, (7'''), запишем a, b, d в системе (10) через α и β:

a = α² +cβ²

b =xu-cyυ=α(α³ -3cαβ² )-cβ(3α² β-cβ³ )=α⁴ -3cα² β² -3cα² β² +c² β⁴ = α⁴ -6cα² β² +c² β⁴

d = xυ+yu=α(3α² β-cβ³ )+β(α³ -3cαβ² )=3α³ β-cαβ³ +βα³ -3cαβ³ = 4α³ β-4cαβ³

Итак, уравнение (9) a⁴ =b² +cd² имеет следующее решение:

a = α² + cβ²

b = α⁴ -6cα² β² +c² β⁴ (11) и соответствующее тождество:
d = 4α³ β - 4cαβ³

(12) (α² +сβ² )⁴ ≡(α⁴ -6сα² β² +с² β⁴ )² +с(4α³ β-4сαβ³ )²

Пример:

при α = β = 1 и с = 2 => 3⁴ = (1-12+4)² +2·(4-8)² => 81 ≡ 49 + 32.

n=5

Рассуждения аналогичны.

Пусть в тождестве (2) (x² +cy² )(u² +cυ² ) ≡ (xu-cyυ)² +c(xυ+yu)²

a = x² +cy² (13)

тогда получаем соотношение:

a⁴ = u² +cυ²

(x² +cy² )⁴ = u² +cυ² которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=4: (9) a⁴ =b² +cd² ) (см. случай n=4), решение которого есть система (11). Отсюда:

a =x² +cy² =α² +cβ²

u =α⁴ -6cα² β² +c² β⁴ (14)

υ =4α³ β-4cαβ³

С учетом (13) тождество (2) принимает вид:

a⁵ = (xu-cyυ)² + c(xυ+yu)² => a⁵ =b² +cd² (15)

где

a = x² +cy²

b = xu-cyυ (16)

d = xυ+yu

Учитывая (8) (x=α , y=β) и (14), запишем a,b,d в системе (16) через переменные α и β:

a = α² + cβ²

b = xu-cyυ =α(α⁴ -6cα² β² +c² β⁴ )-cβ·(4α³ β-4cαβ³ )=

=α⁵ -6cα³ β² +αc² β⁴ -4cα³ β² +4c² αβ⁴ = α⁵ -10cα³ β² +5c² αβ⁴

d = xυ+yu =α(4α³ β-4cαβ³ )+β(α⁴ -6cα² β² +c² β⁴ )=

=4α⁴ β-4cα² β³ +α⁴ β-6cα² β³ +c² β⁵ = 5α⁴ β-10cα² β³ +c² β⁵

Итак, уравнение (15) a⁵ =b² +cd² имеет следующие решения:

a=α² +cβ²

d=5α⁴ β-10cα² β³ +c² β⁵ (17)

b=α⁵ -10cα³ β² +5c² αβ⁴

и соответствующее тождество:

(α² +cβ² )⁵ =(α⁵ -10cα³ β² +5c² αβ⁴ )² +c(5α⁴ β-10cα² β³ +c² β⁵ )² (18)

Пример:

при α=β=1 и с=2 =>

=> 3⁵ = (1-20+20)² +2·(5-20+4)² = 1² +2·11² => 3⁵ = 1² +2·11² = 243

n=6

Решение уравнения a⁶ =b² +cd² (19) находятся аналогично. Доказательство опирается на известные решения уравнения предыдущей степени, т.е. n=5. Уравнение (19) имеет следующее решение:

a = α² + cβ²

b = α⁶ - 15cα⁴ β² + 15c² α² β⁴ - c³ β⁶ (20)

d = 6α⁵ β - 20cα³ β³ + 6c² α

и соответствующее тождество:

(α² + cβ² )⁶ = (α⁶ - 15cα⁴ β² + 15c² α² β⁴ - c³ β⁶ )² + c(6α⁵ β - 20cα³ β³ + 6c² αβ⁵ )² (21)

Пример:

при α = β = 1 и c = 2 имеем:

3⁶ =(1- 30 + 60 - 8)² + 2(6 – 40 + 24)² =

= 23² + 2 × (-10)² => 3⁶ ≡ 23² + 2 × (-10)² ≡ 725.

n=7

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что уравнение

(22) a⁷ = b² + cd² имеет следующее решение:

a = α² + cβ²

b = α⁷ - 21cα⁵ β² + 35c² α³ β⁴ - 7c³ αβ⁶ (23)

d = 7α⁶ β - 35cα⁴ β³ + 21c² α² β⁵ – c³ β

а соответствующее тождество:

(24) (α² + cβ² )⁷ ≡

≡(α⁷ - 21cα⁵ β² + 35c² α³ β⁴ -7c³ α⁶ β⁷ )² +24+ c(7α⁶ β - 35cα⁴ β³ + 21c² α² β⁵ – c³ β⁷ )

Пример:

при α = β = 1 и c = 2 имеем:

3⁷ = (1- 4² + 140 - 56)² + 2(7 – 70 + 84 - 8)² =

= 43² + 2×13² => 3⁷ ≡ 43² + 2×13² ≡ 2187.

ІІ этап

Получение общего решения уравнения

(1) aⁿ =b² + cd²

(Напомним, доказательство не строгое, опирается на частные случаи)

Выпишем все тождества, полученные для каждой степени

n = 2; 3; 4; 5; 6; 7;

n = 2

(α² +cβ² )² = (α² – cβ² )² + c(2αβ)²

n = 3

(α² +cβ² )³ = (α³ - 3cαβ² )² +c(3α² β – cβ³ )²

n = 4

(α² +cβ² )⁴ = (α⁴ - 6cα² β² +c² β⁴ )² +c(4α³ β – 4cαβ³ )²

n = 5

(α² +cβ² )⁵ = (α⁵ - 10cα³ β² +5c² αβ⁴ )² +c(5α⁴ β – 10cα² β³ +c² β⁵ )²

n = 6

(α² +cβ² )⁶ = (α⁶ - 15cα⁴ β² +15c² α² β⁴ -c³ β⁶ )² +c(6α⁵ β – 20cα³ β³ +6c² αβ⁵ )²

n = 7

(α² +cβ² )⁷ = (α⁷ - 21cα⁵ β² +35c² α³ β⁴ -7c³ αβ⁶ )² +c(7α⁶ β –

-35cα⁴ β³ +21c² α² β⁵ -c³ β⁷ )²

Анализируя эти тождества, приходим к общему тождеству общего уравнения

aⁿ = b² + cd² (1) :

(α² + cβ² )ⁿ = (αⁿ – k₃ cα^{n -2} β² + k₅ c² α^{n -4} β⁴ – k₇ c³ α^{n -6} β⁶ +…)² +

+ c(nα^{n -1} β – k₄ cα^{n -3} β³ + k₆ c² α^{n -5} β⁵ – k₈ c³ α^{n -7} β⁷ )² (25)

где в правой части тождества 25 в обеих скобках слагаемые представляют собой слагаемые бинома Ньютона

(α + β)ⁿ , умноженных на ±c^m , где m = 0,1,2,3…,

знак «+», если m-четное,

k_i – биноминальные коэффициенты, где i= 3,4,5,…,

k₁ = 1 - первые два биноминальных коэффициента при αⁿ и α^n-1 β.

k₂ = n

Глядя на уравнение (1) и тождество (25), определяем, что решением уравнения (1) aⁿ = b² + cd² являются:

a = α² + cβ²

b = αⁿ – k₃ cα^{n -2} β² + k₅ c² α^{n -4} β⁴ – k₇ c³ α^{n -6} β⁶ +…

d = nα^{n -1} β – k₄ cα^{n -3} β³ + k₆ c² α^{n -5} β⁵ – k₈ c³ α^n-7 β⁷ +…, ч.т.д.

Утверждение. ( n>1-любое натуральное)

Уравнение aⁿ = b² + cd² (1), где c = const, имеет следующее решение:

a = α² + cβ²

(2) b = αⁿ – k₃ cα^{n -2} β² + k₅ c² α^{n -4} β⁴ – k₇ c³ α^{n -6} β⁶ +…

d = nα^{n -1} β – k₄ cα^{n -3} β³ + k₆ c² α^{n -5} β⁵ – k₈ c³ α^{n -7} β⁷ +…,

k_i – биноминальные коэффициенты степени n,

где i = 3; 4; 5; 6; 7; 8…,

k₁ = 1 первые два биноминальных

k₂ = n коэффициента для степени n,

n – натуральная степень (n > 1)

Общее доказательство

(Метод математической индукции)

Итак, нами доказана справедливость найденного решения (2)

уравнения (1) для степеней n = 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Предположим, что решение (2) справедливо и для степени n–1.

Тогда, обозначив биноминальные коэффициенты для этой степени k_i/n-1 , где i = 1; 2; 3…, (k_1/n-1 = 1, k_2/n-1 = n-1), можно записать тождество:

(3) (α² +cβ² )^n-1 ≡

≡ (α^n-1 – k_3/n-1 cα^n-3 β² + k_5/n-1 c² α^n-5 β⁴ – k_7/n-1 c³ α^n-7 β⁶ +…)² +

(первая скобка)

+ c(k_2/n-1 α^n-2 β – ck_4/n-1 α^n-4 β³ + c² k_6/n-1 α^n-6 β⁵ – c³ k_8/n-1 α^n-8 β⁷ + …)² ⇒

(вторая скобка)

⇒ (α² + cβ² )^n-1 ≡ (первая скобка)² + c(вторая скобка)² (3')

При нахождении решений уравнения (1) для частных случаев (n = 2; 3; 4; 5; 6; 7) мы использовали соотношение:

(4) aⁿ = (xu - cyυ)² + c(xυ + yu)² ,

где n = 2; 3;…7.

x = α

y = β

a = x² + cy² = α² + cβ²

(5) b = xu – cyυ = αu – cβυ

d = xυ + yu = αυ + βu

где, в свою очередь

u = (первая скобка)

υ = (вторая скобка), для n = 2; 3; 4; 5; 6; 7 в соотношении (3) (или (3'))

Аналогично рассуждая, попробуем доказать справедливость теоремы для произвольной степени n, предположив, что она справедлива для степени n – 1

Это значит, что надо исследовать решение (5) уравнения (4) (или, что тоже, уравнения (1)) для произвольной степени n.

Итак, пусть для произвольной степени n

a = α² + cβ² (6)

b = αu – cβυ = α(первая скобка) – cβ(вторая скобка) =

= α(α^n-1 -k_3/n-1 cα^n-3 β² + k_5/n-1 c² α^n-5 β⁴ -k_7/n-1 c³ α^n-7 β⁶ +...)

- cβ(k_2/n-1 α^n-2 β – ck_4/n-1 α^n-4 β³ + c² k_6/n-1 α^n-6 β⁵ –

– c³ k_{8/ n -1} α^{n -8} β⁷ +…) =

= (αⁿ – ck_{3/ n -1} α^{n -2} β² + c² k_{5/ n -1} α^{n -4} β⁴ – c³ k_{7/ n -1} α^{n -6} β⁶ +…) +

+ (-ck_{2/ n -1} α^{n -2} β² + c² k_{4/ n -1} α^{n -4} β⁴ – c³ k_{6/ n -1} α^{n -6} β⁶ +

+ c⁴ k_{8/ n -1} α^{n -8} β⁸ -…) =

= αⁿ – c(k_{2/ n -1} + k_{3/ n -1} )α^{n -2} β² + c² (k_{4/ n -1} + k_{5/ n -1} ) +

+ α^{n -4} β⁴ - c³ (k_{6/ n -1} + k_{7/ n -1} )α^{n -6} β⁶ +…=

= αⁿ - ck₃ α^{n -2} β² + c² k₅ α^{n -4} β⁴ -c³ k₇ α^{n -6} β⁶ +….

b = αⁿ - ck₃ α^{n -2} β² + c² k₅ α^{n -4} β⁴ -c³ k₇ α^{n -6} β⁶ +… (7)

где (8) k_ί = k_ί-1/n-1 + k_ί/n-1 – биноминальные коэффициенты для степени n;

ί = 3;5;7;…;

k₁ = 1 – первый биноминальный

коэффициент при αⁿ в (7);

k_ί-1/n-1 и k_ί/n-1 – два биноминальных последовательных

коэффициента для степени n – 1.

Соотношение (8) - это одно из свойств биноминальных коэффициентов в «Треугольнике Паскаля»:

Каждый из биноминальных коэффициентов равен сумме двух биноминальных коэффициентов, стоящих над ним.

«Треугольник Паскаля»

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Теперь найдем выражение для d:

d = αυ + βu = α(вторая скобка) + β(первая скобка) =

= α(k_2/n-1 α^n-2 β – ck_4/n-1 α^n-4 β³ + c² k_6/n-1 α^n-6 β⁵ –

– c³ k_{8/ n -1} α^{n -8} β⁷ +…) +

+ β(α^{n -1} -ck_{3/ n -1} cα^{n -3} β² + k_{5/ n -1} c² α^{n -5} β⁴ -k_{7/ n -1} c³ α^{n -7} β⁶ +...) =

= k_{2/ n -1} α^{n -1} β – ck_{4/ n -1} α^{n -3} β³ + c² k_{6/ n -1} α^{n -5} β⁵ –

– c³ k_{8/ n -1} α^{n -7} β⁷ +…+ α^{n -1} β – ck_{3/ n -1} α^{n -3} β³ + c² k_{5/ n -1} α^{n -5} β⁵ –

– c³ k_{7/ n -1} α^{n -7} β⁷ +…=

= (1 + k_{2/ n -1} ) α^{n -1} β – c(k_{3/ n -1} + k_{4/ n -1} ) α^{n -3} β³ + c² (k_{5/ n -1} + k_{6/ n -1} ) α^{n -5} β⁵ – c³ (k_{7/ n -1} + k_{8/ n -1} ) α^{n -7} β⁷ +…=

= k₂ α^{n -1} β – ck₄ α^{n -3} β³ + c² k₆ α^{n -5} β⁵ – c³ k₈ α^{n -7} β⁷ +….

d = k₂ α^{n -1} β – ck₄ α^{n -3} β³ + c² k₆ α^{n -5} β⁵ – c³ k₈ α^{n -7} β⁷ +… (9),

где (8) k_ί = k_ί-1/n-1 + k_ί/n-1 - – биноминальные коэффициенты для степени n; (вышеупомянутое свойство

биноминальных коэффициентов(8));

ί = 2;4;6;8;…;

k₂ = n - второй биноминальный

коэффициент для степени n;

k_ί-1/n-1 и k_ί/n-1 – два биноминальных последовательных коэффициента для степени n – 1.

Итак, учитывая (5), (6), (7), (9), уравнение (4) принимает вид:

aⁿ = b² + cd² (1), где

a = α² + cβ²

b = αⁿ – c k₃ α^n-2 β² + c² k₅ α^n-4 β⁴ – c³ k₇ α^n-6 β⁶ +…

d = nα^n-1 β – c k₄ α^n-3 β³ + c² k₆ α^n-5 β⁵ – c³ k₈ α^n-7 β⁷ +…,

являются решениями уравнения (1) при c = const;

k_i – биноминальный коэффициент степени n;

i = 3; 4; 5; 6; 7; 8…;

k₁ = 1, k₂ = n, n > 1 - натуральная степень.

Утверждение доказано.

Скворцов Александр Петрович, учитель, ветеран педагогического труда;

г. Колпашево Томской области, август 2009.

Первая задача рецензирована в 1996 г. доктором физико математических наук.

Все три задачи чуть позже рецензированы томским специалистом математиком Тимошенко Е. (к сожалению, ни имени, ни отчества его я не знаю), которого для этой цели по моей просьбе нашел ректор ТПУ Похолков Юрий Петрович, за что я им всем очень и очень благодарен.

Отзыв специалистов о моей работе неплохой. Вот выдержка из «Рецензии на работу Скворцова А.П. «Несколько задач, теорем и утверждений по теории чисел»» Тимошенко Е.: «В данной работе особый интерес представляют доказательства неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р₁ + р₂ = р_{3 ,} где р₁ * р₂ * р₃ = R³ , где R – рациональное число (Задача 1. Автор), и неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы , (Задача 2. Автор).

Автор указывает довольно широкое семейство решений уравнения aⁿ =b² +cd² (1), зависящее от двух параметров и (Задача 3. Автор). Так, для уравнения (2) a³ = b² + cd² приводится решение а = α² + cβ² , b = α³ - 3cαβ² , d = 3α² β - cβ³ (3).

К сожалению, остается недоказанным, что это решение – общее, т.е. не ясно, любое ли решение уравнения (2) может быть представлено в виде (3). То же самое можно сказать и о решении уравнения (1). … ». К сожалению, этот вопрос для меня до сих пор остается открытым. Хотя, если мое мнение кого-то интересует, интуиция мне подсказывает, что найденное мною решение уравнения (1) - единственное. Однако я хорошо понимаю, что интуиция – это еще не факт.

Думаю, что специалистам данная Задача 3 и ее доказательство известны. Однако лично мне она на глаза не попадалась. В дальнейшем в одной из очередных работ результаты этой задачи мне очень пригодились.

Что касается первых двух задач, то они мне тоже нравятся, и, думаю, могут вызвать интерес не только у специалистов, но и у студентов и школьников на факультативных занятиях.

А.П. Скворцов.