| Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания
к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»
для студентов всех специальностей
под контролем преподавателя
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2008
Введение
Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.
Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.
Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.
Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.
В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]
Численные методы для решения нелинейных уравнений
Цель работы:
изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
1. Определения и условные обозначения
 – конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из  упорядоченных действительных чисел, например:
где  – действительные числа,  .
В введена операция сложения элементов, т. е.  определено отображение  ,
где 
Оно обладает следующими свойствами:
1.  ,
2.  ,
3.  , что  (элемент  называется нулевым),
4.  , что  (элемент  называется противоположным элементу  ).
В введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е.  определено отображение  ,
где 
Оно обладает следующими свойствами:
1.  ,
2. 
Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
1.  ,
2.  .
Каждой паре элементов  поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом  и называемое скалярным произведением, где
и выполнены следующие условия:
1.  ,
2.  ,
3.  ,
4.  , причем  – нулевой элемент.
Матрица  вида
  , (1)
где  – действительные числа ( , ) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство в себя, а именно, для 
 ,
где  .
Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:
1. сложение операторов  , при этом, если  , то  ,
2. умножение операторов на числа:  при этом, если  , то  ,
3. умножение операторов:  , при этом, если  , то  .
Обратным к оператору называется оператор  такой, что  , где  – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,
 .
Пусть число  и элемент  , таковы, что  .
Тогда число называется собственным числом линейного оператора  , а элемент – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .
Линейный оператор  называется сопряженным к оператору , если для любых элементов  выполняется равенство  .
Для всякого оператора  сопряженный оператор существует, единствен; если  , то  .
Справедливы равенства:
1.  ,
2.  ,
3.  ,
4.  , если  существует.
Каждому элементу  ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом  и называемое нормой элемента  .
Введем в рассмотрение три нормы для :
 ,
 ,
 .
При этом выполняются следующие неравенства:
 .
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1.  , причем  , лишь если  ,
2.  ,
3.  .
Говорят, что последовательность элементов  сходится к элементу  ,
а именно,  ,
или  ,
если  .
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве  называется сходимостью по норме.
Множество элементов  , удовлетворяющих неравенству  называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве  с центром в точке  и обозначается  .
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1),
ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом  и называемое нормой линейного оператора .
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4  , причем  , лишь если  – нулевая матрица,
4.4  ,
4.4  .
Введем в рассмотрение три нормы для А
отображающего в :
 ,
 ,
 ,
где  i
-
ое собственное значение матрицы  .
Эти нормы линейного оператора А
согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия  .
2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид:
 (2)
или F
(x
) = 0,
где  – заданные функции n
переменных,  – неизвестные.
Функция  при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.
Решением системы нелинейных уравнений (2)
называется совокупность (группа) чисел  , которые, будучи подставлены на место неизвестных  , обращают каждое уравнение системы в тождество.
Частным случаем системы (2)
является система линейных уравнений:
или  ,
где А
– матрица вида (1),
порождающая линейный оператор, отображающий в
Система линейных уравнений (2)
поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)
) в точке  вида
 (2 )
или  ,
где  – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно  , вычисленных точке  .
Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в , а именно:
 (3)
или  ,
где  .
Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2)
к системе (3
), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3)
удовлетворяло системе (2).
Функции  удовлетворяют тем же условиям, что и функции  .
3.
Отделение
решений
Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.
Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.
Так, если дано скалярное уравнение  , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y
=
f
(
x
),
приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.
Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.
Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.
Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.
Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.
Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений
 ,  .
В этом случае на плоскости x,y
строятся линии уровня функции двух переменных  и  . Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.
4. Методы решения нелинейных уравнений
4.1 Метод простой итерации
Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.
Для применения метода простой итерации система уравнений (2)
приводится к виду (3).
Затем, взяв начальное приближение  , которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность
 (4)
по следующим формулам
 (5)
Замечание. Для приведения системы уравнений (2)
к виду (3)
можно использовать прием:
где  – релаксационный параметр, определяется методом Зейделя.
4.2 Метод Зейделя
Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что вычисления ведутся по формулам:
 (6)
Иными словами, при вычислении  используются не  , как в методе простой итерации, а  .
4.3 Метод Ньютона
Этот метод (см.[1], [4]) предложен И.Ньютоном в 1669 году, однако наиболее полное обоснование было сделано советским математиком Л.В.Канторовичем в 1949 году (см.[4]), поэтому в литературе этот метод часто называют методом Ньютона-Канторовича.
Метод Ньютона является одним из итерационных методов, получаемых линеаризацией линейного оператора
 ,
где  из уравнения (2).
Так, для к
-го приближения  к точному решению  уравнения (2)
ставится в соответствие линеаризованное уравнение вида (2 ),
а именно:
или  ,
где  – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций,  т.е.  , вычисленных в точке  .
Таким образом, последовательность (4)
строится по следующим правилам:
(),
где  – обратный оператор к линейному оператору  , определяемому квадратной матрицей
Трудности построения алгоритма метода Ньютона, связанные с обращением производной  (построение  ), обычно преодолеваются тем, что вместо методов обращения матрицы  решают алгебраическую систему уравнений (7)
относительно неизвестных  . Алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений хорошо отработаны, для них имеются стандартные программы для ЭВМ и, кроме того, в результате решения системы одновременно с обращением матрицы получается умножение обратной матрицы на вектор  .
Итерационная формула метода Ньютона при таком подходе будет иметь вид:
 (7)
 . (8)
4.4 Модифицированный метод Ньютона
Эта разновидность метода Ньютона строится путем определения производной только в одной точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4)
строятся по формулам:
 , (9)
где  – начальное приближение к точному решению  .
4.5 Метод Зейделя на основе линеаризованного уравнения
Итерационная формула для построения приближенного решения нелинейного уравнения (2)
на основе линеаризованного уравнения (7)
имеет вид:
4.6 Метод наискорейшего спуска
Методы спуска (см. [2]) сводят решение системы (2)
к задаче нахождения минимума специально построенного функционала (функционал – отображение  в R
), а именно:
 ,
где  .
Функционал в конечном пространстве Rn
можно рассматривать как функцию многих переменных  .
Для нахождения точки  , в которой функционал f
принимает минимальное нулевое значение, выбирают точку  , находят  и строят итерационную формулу:  с начальным приближением  .
В итерационной формуле параметр hk
пока не определен, выберем его таким образом, чтобы выполнилось условие:  , начиная с x
0
, в предположении, что f
– монотонный функционал.
Для выбора hk
построим функционал, зависящий от параметра, который изменяется непрерывно:  .
При h
=0 имеем, что f
(0) – линия уровня функционала, проходящая через точку xk
. Для нахождения следующей линии уровня, более близкой к минимуму, будем выбирать h
таким образом, чтобы для данного xk
Это условие минимума по h
будем рассматривать как уравнение для получения hk
.
Решим его приближенно, т.к. ошибка в несколько процентов обычно не влияет на скорость сходимости. Отметим кстати, что число hk
всегда должно быть положительным. Для этого разложим функцию  в ряд Тейлора по h
в точке h
=0 и возьмем только линейную часть этого разложения
 .
Подстановка линейной части в условие  , дает уравнение для приближенного определения
 .
Решая построенное уравнение относительно h
, получим:
 или  .
Таким образом, итерационная формула метода наискорейшего спуска имеет вид:
 или  , где производные  вычислены в точке  .
Метод наискорейшего спуска требует большего количества вычислений, чем другие методы первого порядка. Однако он обладает по сравнению с другими методами важным преимуществом, заключающемся в неизбежной сходимости процесса. При этом нужно помнить, что метод наискорейшего спуска может привести не к решению системы уравнений (2)
, а к значениям аргумента, дающим относительный экстремум функции
 , т.е.  .
5. Сходимость методов решения нелинейных уравнений
Если метод сходится, то есть  , где
– точное решение
 – k-тое приближение к точному решению, то итерационный процесс следовало бы закончить по достижению заданной погрешности  , где e
– заданная точность (погрешность).
Однако практически это условие выполнить нельзя, так как  неизвестно, тогда для окончания итерационного процесса можно воспользоваться неравенствами  , или  , где  и  – заданные величины.
При таком окончании итераций погрешность может возрасти по сравнению с  и, поэтому, чтобы не увеличивалась, величины и соответственно уменьшают или увеличивают число итераций.
Методы простой итерации, Зейделя, модифицированный метод Ньютона, метод наискорейшего спуска (см. [1]
, [2]
, [3]
, [4]
) являются методами первого порядка – это значит, что имеет место неравенство  , k
=1, 2, . . . , где  – константа, своя у каждого метода, зависящая от выбора начального приближения , функции fi
, i
= 1, 2, . . . , n
, и их частных производных первого и второго порядков – точнее их оценок в некоторой окрестности искомого решения, которой принадлежит начальное приближение.
Метод Ньютона является методом второго порядка, то есть для него имеет место неравенство  , k
=1, 2, . . . , где  – константа, зависящая от тех же величин, что и константа  .
А теперь рассмотрим достаточные условия сходимости метода простой итерации и метода Ньютона.
Сходимость процесса простой итерации зависит от двух условий. Первое условие состоит в том, что какая-нибудь точка  должна оказаться близкой к исходному решению  . Степень необходимой близости зависит от функций j
1
,
j
2
, . . . , j
n
. Это требование не относится к системам линейных уравнений, для которых сходимость процесса простой итерации зависит только от второго условия.
Второе условие связано с матрицей, составленной из частных производных первого порядка функций j
1
,
j
2
, . . . , j
n
– матрицей Якоби
 ,
вычисленных в точке .
В случае, когда рассматривается система линейных алгебраических уравнений, матрица M
состоит из постоянных чисел – коэффициентов, стоящих при неизвестных в правой части уравнения (3)
. В случае нелинейных уравнений элементы  матрицы M
зависят, вообще говоря, от  . Для сходимости процесса простой итерации достаточно, чтобы выполнялось неравенство:  для  из некоторой окрестности точного решения , которой должно принадлежать начальное приближение .
Приведем также достаточные условия сходимости метода Ньютона для системы уравнений вида (2)
по норме  .
Предположим, что имеется начальное приближение  к искомому решению системы (2)
 , функции  непрерывны и имеют непрерывные частные производные до второго порядка в шаре  , тогда, если выполнены условия:
1) Матрица Якоби  системы (2)
на начальном приближении имеет обратную  и известна оценка нормы обратной матрицы  ,
2) Для всех точек шара выполнено неравенство
 при i
, j
= 1, 2, . . . , n
,
3) Выполнено неравенство
 ,
где L
– постоянная 0 £ L
£ 1,
4) Числа b
, N
, r
подчинены условию a
= nbNr
< 0,4, тогда система уравнений (2)
в шаре  имеет единственное решение, к которому сходятся последовательные приближения (8)
или (7’)
, (9’)
.
Для других методов условия сходимости имеют сложный вид, и мы отсылаем читателя к специальной литературе [1]
, [2]
, [3]
, [4]
.
6. Примерный перечень возможных исследований
1) Сравнение различных методов на экономичность при решении конкретной задачи:
· по числу операций на одной итерации;
· по числу итераций, необходимых для достижения заданной точности;
2) Зависимость числа итераций для достижения заданной точности:
· от выбора вида нормы;
· от выбора критерия окончания итерационного процесса по  или по невязке ;
· от выбора начального приближения;
· от погрешности задания коэффициентов в уравнении.
7. Контрольные вопросы
1) Понятие о нелинейных системах уравнений в Rn
.
2) Понятие приближенного и точного решения нелинейной системы уравнений.
3) Сущность графического метода отделения решения для системы двух нелинейных уравнений, каковы его преимущества и недостатки?
4) Сущность метода простой итерации и метода Зейделя. Каковы условия применимости метода простой итерации?
5) Сущность метода Ньютона и его модификации. Какова скорость сходимости метода Ньютона?
6) Сущность метода наискорейшего спуска. Как выбирается параметр спуска?
8. Порядок выполнения курсовой работы
1) Получить вариант задания, индивидуальный для каждого студента, у преподавателя, а именно:
Найти решение системы нелинейных уравнений в первой координатной четверти с номером – N
1
(см. варианты заданий п.10), применив для первого этапа уточнения метод с номером – N
2
, а для второго этапа уточнения метод с номером – N
3
, точность вычислений на первом этапе – EPS1Î[0.1 – 0.01], на втором этапе – EPS2 Î [0.1 - 0.0001], N
4
– номер нормы, I – номер параметра a
, J – номер параметра b
, начальное приближение выбрать произвольно или графически, aÎ(0,1).
2) Разработать обязательные для выполнения задания разделы данных методических указаний.
|
