Курсовая работа: Построение математических моделей

Содержание

Задание 1

Задание 2

Список литературы

Вариант 6

Задание 1

Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1).

Таблица 1

1. Построить поле корреляции.

2. Найти параметры уравнения линейной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров а и b.

3. Составить уравнения нелинейных регрессий:

· гиперболической ;

· степной ;

· показательной

4. Для каждой из моделей:

- найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);

- найти коэффициент детерминации;

- проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;

- найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

6. По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.

7. Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза.

РЕШЕНИЕ:

1. ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ

Поле корреляции – точечный график, осями X и Y которого сопоставлены изучаемые признаки (рис. 1).

Рис. 1

Точки на графике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабой зависимости объема капиталовложений Х и выручки Y.

2. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров а и b.

Система нормальных уравнений имеет вид:

Необходимые расчеты представлены в таблице 2.

Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:

В линейном регрессии коэффициент регрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значение результативного признака Y, если фактор увеличить на единицу измерения.

b = 0,843, т.е. при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн. руб.

Таблица 2

Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели

3. РАССЧИТАЕМ:

- коэффициент парной корреляции.

Коэффициент парной корреляции показывает направление и тесноту линейной связи.

Т. е. связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая.

Таблица 3

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимации

коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель.

22,42% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.

Рис. 2

F – критерий Фишера

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом найдем расчетное значение критерия Фишера:

Расчетное значение статистики Фишера сравниваем с табличным

F(α; d.f.₁ ; d.f.₂ ), где

α – уровень значимости (для большей надежности примем его равным 0,05);

Число степеней свободы d.f.₁ = k = 1, где k – число факторов в модели;

Число степеней свободы d.f.₂ = n – k – 1 = 10 – 1 – 1 = 8

F (0.05; 1; 8) = 5,318.

В силу того, что F(расч.) = 2,312 < F(табл.)= 5,318, то уравнение в целом можно считать статистически незначимым.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Фактические значения выручки отличаются от расчетных, полученных по модели на 5,3%. Ошибка небольшая, модель считается точной

4. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК).

Система нормальных уравнений имеет вид:

Необходимые расчеты представлены в таблице 4.

Таблица 4

Вспомогательная таблица для расчетов показателей по гиперболической модели

Построена гиперболическая модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:

5. РАССЧИТАЕМ:

- индекс корреляции:

Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в гиперболической модели слабая

- коэффициент детерминации

22,13% изменения выручки предприятия в гиперболической модели происходит под влиянием изменением объема капиталовложений и на 77,87% под влиянием факторов, не включенных в модель.

- F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

F(расч.) = 2,274< F(табл.)= 5,318, т.е. уравнение в целом можно считать статистически незначимым.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Ошибка меньше 7%, модель можно считать точной.

Рис. 3

6. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ СТЕПЕННОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, X = lg x. Тогда Y = A + b ∙ X – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.

Необходимые расчеты представлены в таблице 5.

Построена степенная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:

Таблица 5

Вспомогательная таблица для расчетов показателей по степенной модель

7. РАССЧИТАЕМ:

индекс корреляции:

Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели слабая.

коэффициент детерминации

Степенная модель всего на 13,44% детерминирует зависимость выручки предприятия от объема капиталовложений. 86,56% детерминации происходит под влиянием факторов не учтенных в модели.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

F(расч.) = 1,242 < F(табл.)= 5,318, т.е. уравнение степенной модели в целом можно считать статистически незначимым.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Ошибка меньше 7%, степенную модель можно считать точной.

Рис. 4

8. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, В = lg b. Тогда Y = A + B ∙ x – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.

Необходимые расчеты представлены в таблице 6.

Таблица 6

Вспомогательная таблица для расчетов показателей по показательной модели

Построена показательная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:

9. РАССЧИТАЕМ:

индекс корреляции:

Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели очень слабая.

коэффициент детерминации

В показательной модели изменение выручки на 22,30% обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,70% - влиянием факторов, не включенных в модель.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

F(расч.) = 2,297 < F(табл.) = 5,318, т.е. показательное уравнение в целом можно считать статистически незначимым.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Ошибка меньше 7%, показательную модель можно считать точной.

Рис. 5

10. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (таблица 7)

Таблица 7

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, F – критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет линейная модель. Т.е. она лучше и точнее из всех построенных моделей описывает зависимость выручки от объема капиталовложений.

Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

11. СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у

(выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10 % по сравнению с последним годом.

Лучшей является линейная модель вида

Сначала найдем прогнозные значения показателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложений составил 1,4 млн. руб. Следовательно, в 2008 году он составит – 1,4 ∙ 1,1 = 1,54 млн. руб., а в 2009 году - 1,54 ∙ 1,1 = 1,69 млн. руб.

Подставим прогнозные значения х в уравнение регрессии

Это будут точечные прогнозы результата у (выручка предприятия).

В 2008 году выручка предприятия составит: 2,028+0,843*1,54 = 3,33 (млн. руб.)

В 2009 году: 2,028+0,843*1,69 = 3,46 (млн. руб.)

Рис. 6

Задание 2

Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х₁ , млн. руб.) и основных производственных фондов (х₂ , млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 8)

Таблица 8

1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х₁ и х₂ . Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.

2. Построить линейную модель множественной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров b₁ и b₂ .

3. Построить степенную модель множественной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров β₁ и β₂ .

4. Для каждой из моделей:

- найти коэффициент множественной корреляции;

- найти коэффициент детерминации;

- проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;

- найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель.

6. Пояснить экономический смысл всех рассчитанных характеристик.

7. Найти частные коэффициенты эластичности и β – коэффициенты.

8. По линейной модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х₁ (объема капиталовложений) и х₂ (основных производственных фондов).

РЕШЕНИЕ:

1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.

Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:

Необходимые расчеты представлены в таблице 9.

-

связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х₁ слабая и прямая;

-

связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х₂ практически нет;

-

связь между объемом капиталовложений Х₁ и основными производственными фондами Х₂ тесная и прямая;

Таблица 9

Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций

Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.

Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:

Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х₁ , а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.

2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ

Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.

Расчеты представлены в таблице 10.

Решим систему уравнений, используя метод Крамера:

Таблица 10

Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб. при неизменных размерах основных производственных фондов.

Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений.

3. РАССЧИТАЕМ:

коэффициент множественной корреляции:

Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.

коэффициент детерминации:

67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.₁ = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f.₂ = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.

Так как F_расч. = 7,375 > F_табл. = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ.

Таблица 11

Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации

среднюю относительную ошибку аппроксимации

В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.

4. Построить степенную модель множественной регрессии

Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства

lg y = lg a + β₁ ∙ lg x₁ + β₂ ∙ lg x₂ .

Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X₁ = lg x₁ , X₂ = lg x₂ .

Тогда Y = A + β₁ ∙ X₁ + β₂ ∙ X₂ – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.

Расчеты представлены в таблице 12.

Таблица 12

Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии

Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.

Степенная модель множественной регрессии имеет вид:

В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.

Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.

Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.

5. РАССЧИТАЕМ:

коэффициент множественной корреляции:

Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.

Таблица 13

Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии

коэффициент детерминации:

71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.₁ = k = 2, числе степеней свободы d.f.₂ = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.

Так как F_расч. = 8,592 > F_табл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.

среднюю относительную ошибку аппроксимации

В среднем в степенной модели расчетные значения отличаются от фактических на 3,42 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.

6. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (табл. 14)

Таблица 14

В целом модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но лучшей считается степенная модель, т.к значение коэффициента корреляции, индекса детерминации, F – критерия Фишера немного больше, а средняя относительная ошибка аппроксимации немного меньше, чем у линейной модели.

7. НАЙДЕМ ЧАСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ И β – КОЭФФИЦИЕНТЫ

Для нахождения частных коэффициентов эластичности составим частные уравнения регрессии, т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии на среднем уровне.

и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 15.

Таблица 15

Вспомогательная таблица для вычисления частных коэффициентов эластичности

Бета коэффициент рассчитываем по формуле:

- среднее квадратическое отклонение.

Необходимые вычисления для расчета СКО представлены в таблице 9.

Если объем капиталовложений увеличить на величину своего СКО, т.е. 0,147 млн. руб., то выручка предприятия увеличится на 1,302 величины своего СКО, т.е. на 1,302 * 0,262 = 0,341 млн. руб.

Если основные производственные фонды увеличить на величину своего СКО, т.е. на 0,239 млн. руб., то выручка предприятия уменьшится на 1,068 своего СКО, т.е. на 1,068 * 0,262 = 0,280 млн. руб.

8. ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у (выручка), в зависимости от х₁ (объема капиталовложений) и х₂ (основных производственных фондов).

Прогнозные значения факторов можно получить, используя метод прогнозирования с помощью среднего абсолютного прироста:

,

где - средний абсолютный прирост, рассчитываемый по формуле:

;

k – период упреждения;

n – количество наблюдений.

, тогда

Х_{1, 11} = 1,4 + 1 ∙ 0,0333 = 1,4333 (млн.руб.)

Х_{1, 12} = 1,4 + 2 ∙ 0,0333 = 1,4667(млн.руб.)

Х_{2, 11} = 0,5 + 1 ∙ 0,0111 = 0,5111

Х_{2, 12} = 0,5 + 2 ∙0,0111 = 0,5222

Составляем вектор прогнозных значений факторов:

.

Вычислим точечные прогнозы поведения выручки предприятия на моменты времени t = 11 и t = 12. Для этого подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии.

(млн. руб.)

(млн. руб.)

Для получения интервального прогноза рассчитываем доверительные интервалы, используя величину отклонения от линии регрессии (U):

,

Операции с матрицами осуществим в среде Excel с помощью встроенных математических функций МУНОЖ и МОБР.

Среднее квадратическое отклонение расчетных значений от фактических:

Коэффициент Стьюдента t_α для m = 10 – 2 – 1 = 7 степеней свободы и уровня значимости α = 0,05 равен 2,36.

U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0,6161^0,5 = 0,329

U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0.7481^0,5 = 0,362

Результаты вычислений представим в виде таблицы.

Таблица 16

Список литературы:

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Инфра – М, 2001. – 402 с.

2. Катышев П. К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999. – 72 с.

3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.

4. Тутыгин А.Г., Амбросевич М.А., Третьяков В.И. Эконометрика. Краткий курс лекций. Учебное пособие. – М.-Архангельск, Издательский дом «Юпитер», 2004. – 54 с.

5. Эконометрика: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. –245 с.