Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по Эконометрике
вариант № 6
К.ф. – м.н., доцент кафедры: Василенко В.В.
Студент: Чмиль А.А., ФиК, 3 Курс
Краснодар, 2009
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.).
| Xi |
Yi |
| 33 |
43 |
| 17 |
27 |
| 23 |
32 |
| 17 |
29 |
| 36 |
45 |
| 25 |
35 |
| 39 |
47 |
| 20 |
32 |
| 13 |
22 |
| 12 |
24 |
Исходные данные.Табл.1
| n |
Xi |
Yi |
Yi*Xi |
Xi2 |
Yi2 |
Y(xi) |
Yi - Y(xi) |
(Yi - Y(xi))2 |
A |
| 1 |
33 |
43 |
1419 |
1089 |
1849 |
42,23428 |
0,765721183 |
0,5863289 |
1,78% |
| 2 |
17 |
27 |
459 |
289 |
729 |
27,69234 |
-0,692335546 |
0,4793285 |
2,56% |
| 3 |
23 |
32 |
736 |
529 |
1024 |
33,14556 |
-1,145564273 |
1,3123175 |
3,58% |
| 4 |
17 |
29 |
493 |
289 |
841 |
27,69234 |
1,307664454 |
1,7099863 |
4,51% |
| 5 |
36 |
45 |
1620 |
1296 |
2025 |
44,96089 |
0,03910682 |
0,0015293 |
0,09% |
| 6 |
25 |
35 |
875 |
625 |
1225 |
34,96331 |
0,036692818 |
0,0013464 |
0,10% |
| 7 |
39 |
47 |
1833 |
1521 |
2209 |
47,68751 |
-0,687507544 |
0,4726666 |
1,46% |
| 8 |
20 |
32 |
640 |
400 |
1024 |
30,41895 |
1,581050091 |
2,4997194 |
4,94% |
| 9 |
13 |
22 |
286 |
169 |
484 |
24,05685 |
-2,056849728 |
4,2306308 |
9,35% |
| 10 |
12 |
24 |
288 |
144 |
576 |
23,14798 |
0,852021726 |
0,725941 |
3,55% |
| сумма |
235 |
336 |
8649 |
6351 |
11986 |
336 |
0,00 |
12,019795 |
31,93% |
| средняя |
23,5 |
33,6 |
864,9 |
635,1 |
1198,6 |
33,6 |
0,00 |
1,2019795 |
3,19% |
| δ |
9,102198 |
8,345058 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
| δ2
|
82,85 |
69,64 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейной регрессии. Табл.2
Задание 1
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
После проведенных расчетов линейная модель имеет вид:
Y = 12,24152 + 0,908871x , коэффициент регрессии составил 0,908871. Экономический смысл параметра регрессии заключается в следующем: с увеличением капиталовложений на 1 единицу выпуск продукции увеличивается на 0,908871 единиц.
Задание 2
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.
Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная сумма квадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила:
Dост
= ((Y- Yср.)2
- (Y(xi) - Yср.)2
)/ (n – 2) = 1,502474351.
График остатков. Рис.1
Задание 3
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Остатки гомоскедастичны, автокорреляция отсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическое ожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены.
Корреляция остатков и переменной Х. Рис 2.
Задание 4
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента (α = 0,05).
Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии:
mb = (Dост. / ∑(x – xср.) 2
) ½
= 0,042585061
Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии:
tb = b / mb= 21,3424949
При α = 0,05 и числе степеней свободы (n – 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическое значение t – критерия больше табличного, то гипотезу о несущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал для коэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Для коэффициента регрессии b границы составят: 0,908871 – 2,3060*0,042585061 ≤ b ≤ 0,908871+2,3060*0,042585061
0,81067 ≤ b ≤ 1,0070722
Далее определим стандартную ошибку параметра a:
ma
= (Dост.*( ∑x2
/ (n*∑(x – xср.)2
))1/2
= 1,073194241
ta
= a / ma
= 11,4066218
Мы видим, что фактическое значение параметра а больше, чем табличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра а можно отклонить. Доверительный интервал составит: a± t* ma. Границы параметра составят:
12,24152 ± 2,3060*1,073194241
9,766735 ≤ a ≤14,716305
Проверим значимость линейного коэффициента корреляции на основе ошибки коэффициента корреляции:
mr
= ((1 – r2
) / (n – 2))1/2
= 0,046448763
Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется:
tr
= (r / (1 – r2
)) * (n – 2)1/2
= 21,3424949
Значение tr
фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости α = 0,05 и степени свободы (n – 2), коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.
Задание 5
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f – критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
R2
= Rxy2
= 0,98274 – детерминация.
F = (R2
/(1 – R2
))*((n – m – 1)/m) = 455,5020887
Fтабл. 5,32 < Fкр. 455,5020887– это говорит о том, что уравнение регрессии статистически значимо.
Средняя ошибка аппроксимации А = 3,19%. Это говорит о том, что качество уравнения регрессии хорошее. Расчетные значения отклоняются от фактических на 3,19%.
Задание 6
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от максимального значения.
Если прогнозируемое значение Хр
= 0,8Хmax
= 0,8*39 = 31,2 млн.руб., тогда прогнозное значение объема капиталовложений составит:
Yр
= 12,24152 + 0,908871*31,2 = 40,598295 млн.руб.
Ошибка прогноза составит:
my
р
= Dост.*(1+(1/n)+((xk
– xср
)2
/ ∑(x – xср
)2
)1/2
= 1,502474351*(1+(1/10)+ ((31,2 – 23,5)2
/ 828,50))1/2
= 1,6262596 млн.руб.
Предельная ошибка прогноза, которая в 90% случаев не будет превышена, составит:
Δyp
= tтабл
* my
р
= 2,3060 * 1,6262596 = 3,7501546
Доверительный интервал прогноза:
γур
= Yр
± Δyp
γур
min
= 40,598295 – 3,7501546 = 36,848141 млн.руб.
γур
max
= 40,598295 + 3,7501546 = 44,348449 млн.руб.
Среднее значение показателя составит:
Yp
= (36,848141 + 44,348449) / 2 = 40,598295 млн.руб.
Задание 7
Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза
График фактических и прогнозируемых параметров. Рис.3
Задание 8
Составить уравнения нелинейной регрессии:
· Гиперболической
· Степенной
· Показательной
Построить графики построенных уравнений регрессии.
Y(x) = 54,1842 + (-415,755) * 1/x – гиперболическое уравнение регрессии.
Y(x) = 4,746556 * X0,625215
– степенное уравнение регрессии.
Y(x) = 17,38287 * 1,027093X
показательное уравнение регрессии.
Графикимоделей представлены ниже на рисунках 4,5 и 6.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
Задание 9
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициент эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.
Коэффициенты (индексы) детерминации:
R2
гип
= Rxy
= 0,869064776
R2
степ
= Rxy
= 0,978207122
R2
показ
= Rxy
= 0,959136358
Коэффициенты эластичности:
Эгип
= -b / (a * x + b) = 0,484804473
Эстеп
= b = 0,625215
Эпоказ
= x * lnb = 0,628221
Средние относительные ошибки аппроксимации:
А = 1/n * ∑ |y – yxi
| * 100%
Агип
= 7,26%
Астеп
= 3,40%
Апоказ
= 3,82%
Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна в экономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибки аппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Это говорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, она предлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений).
Список использованной литературы
1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курашева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192.: ил.
2. Эконометрика. Учебник для вузов.; Под ред. чл. – кор. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344.
|
