Контрольная работа: Примеры решения эконометрических заданий

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ

Специальность «Финансы и кредит»

Контрольная работа по эконометрике

Вариант № 14

Железнодорожный 2009

Задание 1.2

Задача 1.

Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:

Найти: х - ?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 5

2. Запишем формулу:

х = 1 / nΣⁿ _{i = 1} * x_i

3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2

Ответ: 564,2

Задача 2.

Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:

Найти: Cov - ?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

2. Определим выборочное среднее для скота:

х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271

3. Определим выборочное среднее для молока:

y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88))/ 7 = 8,03/ 7 = 1,147

4. Запишем формулу для определения ковариации:

Cov (x;y) = 1/n Σ ⁿ _{i = 1} (x_i - x)(y_i - y)

5. Вычислим ковариацию:

Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634

Ответ: 1,634

Задача 3.

Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).

Найти: Var - ?

Решение:

1. Определим кол-во наблюдений: n = 7

2. Определим выборочное среднее:

х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714

3. Запишем формулу для определения вариации:

Var (x) = 1/n Σ ⁿ _{i = 1} (x_i - x)²

4. Определим вариацию:

Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204

Ответ: 52,204

Задача 4.

Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:

х (производство мяса) = 6,8

y (поголовье скота) = 47,3

Cov = 11,2

Var = 56,9

Оценить параметры

Решение:

1. b = Cov (x;y)/Var (x)

b = 11,2/56,9

b = 0,196

2. a = y – bx

a = 47,3 – 0,196 * 6,8

a = 45,968

3. y = 45,968 + 0,196x

Задание 5.

Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:

y = 0,20x – 2,24

Найти: g ₁ = ?

Решение:

1. Выбор № наблюдений: i = 1

2. х_i = 57

3. y _i = 8,37

4. Вычислим :

y*= 0,20x – 2,24

y*= 0,20x ₁ – 2,24

y*= 0,20*57 – 2,24

y*= 9,16

5. Определим остаток в 1-ом наблюдение:

g _i = y_i - x_i

g ₁ = 8,37 – 9,16

g ₁ = - 0,79

Ответ: - 0,79

Задача 6.

Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.

Найти: RSS = ?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 7

2. Вычислим: y_i = a + bx_i , получим

y₁ ^* = 0,20*57 – 2,24, y₁ ^* = 9,16

y₂ ^* = 0,20*54,7 – 2,24, y₂ ^* = 8,7

3. Определим остатки:

g ₁ = 8,37 – 9,16, g ₁ = - 0,79

g₂ = 8,26 – 8,7, g₂ = - 0,44

4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:

RSS = Σ ⁿ _{i =1} g _i ²

RSS = (- 0,79)² + (-0,44)²

RSS = 775, 2592

Ответ: 0,8177

Задача 7.

Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).

Найти: ESS = ?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 7

2. Вычислим: y_i = a + bx_i , получим

y₁ = 0,20*57 – 2,24, y₁ = 9,16

y₂ = 0,20*54,7 – 2,24, y₂ = 8,7

y₃ = 0,20*52,2 – 2,24, y₃ = 8,2

y₄ = 0,20*48,9 – 2,24, y₄ = 7,54

y₅ = 0,20*43,3 – 2,24, y₅ = 6,42

y₆ = 0,20*39,7 – 2,24, y₆ = 5,7

y₇ = 0,20*35,1 – 2,24, y₇ = 4,78

3. Определим выборочное среднее y = 1 / nΣⁿ _{i = 1} * y_i получим:

y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7

y = 7,214

4. Вычислим ESS:

ESS = Σ_{i = 1} ⁿ ( y_i ^* - y_i )²

ESS = (9,16 – 7,214)² +(8,7 – 7,214)² +(8,2 – 7,214)² +(7,54 – 7,214)² +(6,42 – 7,214)² +(5,7 – 7,214)² +(4,78 – 7,214)²

ESS = 15,921

Ответ: 15,921

Задача 8.

В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.

RSS = 0,8177

ESS = 15,921

Решение:

1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:

TSS = Σ_{i = 1} ⁿ ( y_i - y)²

TSS = 12,016

2. Проверим:

TSS = ESS + RSS

TSS = 15,921 + 0,8177

TSS = 16,7387

16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.

Задача 9.

Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.

Найти: R² = ?

Решение:

1. Определим коэффициент детерминации:

R² = ESS/TSS

R² = 15,37/16,21

R² = 0,948

Ответ: 0,948

Задача 10

Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.

Cov (x,y) = 11,17

Var (x) = 59,86

Var (y) = 2,32

Найти: Z_xy - ?

Решение:

1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:

Z_xy = Cov² (x,y)/ √ Var(x) * Var(y)

2. Вычислим выборочную корреляцию:

Z_xy = (11,17)² / √ 59,86*2,32

Z_xy = 124,769/11,785

Z_xy = 10,588

Ответ: 10,588

Задание 2.2

Задача 1.

Найти: Var = ? и парную Cov = ?

Решение:

1. Определим число наблюдений: n = 9

2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / nΣⁿ _{i = 1} * x_i

х₁ = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9

х₁ = 35,767

х₂ = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2+ 0,33)) / 9

х₂ = 0,414

у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9

у= 17,844

3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / nΣⁿ _{i = 1} * ( x_i – x_i )²

4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ ⁿ _{i = 1} * (x_i – x)*(y_i – y)

Ответ: Var₁ = 9,680 Cov₁ = 1,964

Var₂ = 0,165 Cov₂ = -0,361

Var₃ = 1,022 Cov₃ = -0,723

Задача 2.

Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.

Найти: b_1,2 = ?

Решение:

1. Определим Var рядов объясняющих переменных:

Var(х₁ ) = 9,680

Var(х₂ ) = 0,165

2. Определим Cov:

Cov(x₁ ;у) = 1,964

Cov(х₂ ;у) = -0,361

Cov(х₁ ;х₂ ) = -0,723

3. Вычислим b₁ и b₂ по формулам:

b₁ = Cov(x₁ ;у)* Var(х₂ ) - Cov(х₂ ;у)* Cov(х₁ ;х₂ )/ Var(х₁ )* Var(х₂ ) – (Cov(х₁ ;х₂ ))²

b₂ = Cov(х₂ ;у)* Var(х₁ ) - Cov(x₁ ;у)* Cov(х₁ ;х₂ )/ Var(х₁ )* Var(х₂ ) - (Cov(х₁ ;х₂ ))²

b₁ = (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/(9,680*0,165) - (-0,723)²

b₁ = 0,059

b₂ = (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)²

b₂ = - 1,931

Ответ: 0,059 ; - 1,931

Задача 3.

Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)

Найти: а = ?

Решение:

1. определим средние значения:

х₁ = 35,767 х₂ = 0,414 у = 17,844

2. Определим коэффициенты b₁ и b₂ :

b₁ = 0,059 b₂ = -1,931

3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b₁ x₁ – b₂ x₂

a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)

a = 16,533

Ответ: 16,533

Задача 4.

Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.

Решение:

1. Определим коэффициенты b₁ и b₂ :

b₁ = 0,059 b₂ = -1,931

2. Определим коэффициент а:

а = 16,533

3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:

[Х*]= а + b₁ [x₁ ]+ b₂ [x₂ ]

Задача 5.

Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.

Найти: RSS, TSS, ESS - ?

Решение:

1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:

у = y*

2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:

TSS = Σ_{i = 1} ⁿ ( y_i - y)²

TSS = 9,202

3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

ESS = Σ_{i = 1} ⁿ ( y_i – y*)²

ESS = 7,316

4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:

RSS = Σ_{i = 1} ⁿ ( y_i – y*)²

RSS = 1,882

Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882

Задача 6.

Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5

Найти:R-?

Решение:

1. Вычислим TSS и ESS:

TSS = 9,202

ESS = 7,316

2. Найдем R² по формуле:

R² = ESS/TSS

R² = 7,316/9,202

R² = 0,795

Ответ: 0,795

Задача 7.

Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).

Решение:

1. Найдем Var:

Var(х₁ ) = 9,680

Var(х₂ ) = 0,165

2. Найдем Cov:

Cov(х₁ ;х₂ ) = -0,723

3. Рассчитаем коэффициент корреляции:

r(x₁ ;х₂ ) = Cov(х₁ ;х₂ )/√ Var(х₁ )- Var(х₂ )

r(x₁ ;х₂ ) = -0,723/3,085

r(x₁ ;х₂ ) = - 0,234

Ответ: - 0,234

Задача 8.

Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.

Найти: S_u ² (u) - ?

Решение:

1. Найдем RSS:

RSS = 1,882

2. Найдем число степеней выборки

k = n-m-1

k = 9-2-1

k = 6

3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:

S_u ² (u) = RSS/ n-m-1

S_u ² (u) = 1,882/9-2-1

S_u ² (u) = 0,3136

Ответ: 0,3136

Задача 9.

Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.

Найти: С.О.(b₁ ), C.O.(b₂ ) - ?

Решение:

1. Найдем дисперсию случайного члена:

S_u ² (u) = 0,3136

2. Найдем Var:

Var(х₁ ) = 9,680

Var(х₂ ) = 0,165

3. Найдем коэффиц. корреляции:

r(x₁ ;х₂ ) = - 0,234

4. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b₁ ), C.O.(b₂ ):

С.О.(b₁ ) = (√(S_u ² (u)/n * Var(х₁ )) * (1/1- r² (x₁ ;х₂ ))

С.О.(b₁ ) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))

C.O.(b₂ ) = (√(S_u ² (u)/n * Var(х₂ )) * (1/1- r² (x₁ ;х₂ ))

C.O.(b₂ ) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))

С.О.(b₁ ) = 0,0486

C.O.(b₂ ) = 0,3724

Ответ: 0,0486; 0,3724.

Задача 10.

Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.

Найти: DW - ?

Решение:

1. Определим остатки в наблюдениях:

e_k = y_k – y^* _k ; k = (1:n)

(e _k -e _{k – 1} )² = 4,562

e_k ² = 1,882

2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:

DW = Σ (e _k -e _{k – 1} )² / Σ e _k ²

DW = 2,424

DW > 2

Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.

Задание 3.2

Задача 1.

Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):

6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4

Найти: а

Решение:

1. Запишем формулу: a=1/N*Σ^N _{t =1} *x (t)

2. Вычислим:

а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10

а = 7,02 (млрд. руб.)

Ответ: 7,02 (млрд. руб.)

Задача 2.

Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.

Найти: σ = ?

Решение:

1. а = 7,02

2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ² = 1/N*Σ^N _{t =1} x(t)-a

3. Вычислим:

σ = 3,676

Ответ: 3,676

Задача 3.

Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)

∑ τ(0) = 3,676

∑ τ (1) = 2,552

∑ τ (2) = 1,313

ρ(τ) = 1/(N- τ)∑_{t =1} ^{N - τ} (x(t)-â)* (x(t+1)-â)

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.

Задача 4.

Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1

Найти: r= ? для τ = 1,2

Решение:

1. Найдем τ = 0,1,2

ρ(0) = 0,367

ρ(1) = 0,283

ρ(2) = 0,164

2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:

r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)

r(1) = 0,283/0,367

r(1) = 0,771

r(2) = 0,164/0,367

r(2) = 0,446

Ответ: 0,771; 0,446

Задача 5.

Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.

Найти: r_{частная} (2) = ?

Решение:

1. Найдем выборочную автокорреляцию

r(1) = 0,771

r(2) = 0,446

2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:

r_{частная} (2) = r(2) – r² (1)/ 1 - r² (1)

r_{частная} (2) = 0,446 – (0,771)² / 1 - (0,771)²

r_{частная} (2) = - 0,365

Ответ: - 0,365

Задача 6.

С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:

Решение:

1. Определим число наблюдений: n=15

2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:

6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700

3. Вычислим медиану:

n = 15;

х_мед = n+1/2 = 15+1/2

x_мед = 8

x_мед =6500

4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:

если х(i) < х_мед , то +; если х(i) > х_мед , то -.

5. Определим общее число серий:

v(15) = 6

6. Протяженность самой длинной серии:

τ(20) = 3

7. Проверим неравенства:

v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)

v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)

v(n) = 1,166

6 > 1 – выполняется

τ(n) < (1,43*ln(n+1))

τ(n) < (1,43*ln(15+1))

τ(n) = 3,96

3 < 3,96 – выполняется

Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.

Ответ: гипотеза принимается.