Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения 
§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)
Литература
Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1
, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1
<A2
<…<Ak
+1
, такие, что
а)  ;
б) знаки функции D(t) на множествах A1
, A2
, …, Ak
+1
перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) – функции на R1
. Пишем  , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда
а) не существует точки x1
, …, xk
(-¥<x1
<…<xk
<¥) такие, что
(-1)k-i
f(xi
) > (-1)k-i
g(xi
),  ;
б) существуют точки y1
, …, yk
(-¥<y1
<…<yk
<¥) такие, что
(-1)k-i
f(yi
) > (-1)k-i
g(yi
), .
Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, gÎF.
Определение 2. Пишем  , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений:  ,  ,  ,  . Пишем  , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений:  , , , .
Функция f имеет индекс k-
в F, если выполнено отношение и не выполнено  . Функция g имеет индекс k+
в F, если выполнено и не выполнено  .
Через Ik
-
(Ik
+
), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k-
(k+
) в F.
Пусть U – семейство функций на [0, ¥).
Через FU
обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы
 , uÎU,
абсолютно сходятся.
В случае  положим  , fÎFU
, AÌFU
,  :
, Fi
(A)={Fi
(f): fÎA},
 ,  ,
 .
Множество  называется моментным пространством класса F относительно системы функций  .
Лемма 1. Пусть системы u1
(t), …, un
(t) и u1
(t), …, un
(t), un
+1
(t) образуют T+
-системы на [0, ¥) такие, что  . Тогда отношение  невозможно для  и, если  , то
 .
Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A1
, …, Ak
– множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов  рассмотрим матрицу
 .
Так как
 ,  ,
то есть
 , (1)
где di
(-1)k
-
i
, и di
=0,  для всех векторов  .
Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим
 , (2)
где 0£x1
<x2
<…<xk
<¥. Так как векторы  линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов   . Из (2) получаем  .
Пусть теперь и  .
Так как
 , (3)
где di
=(-1)n
+1-
i
,  , то
 ,
где H – матрица, записанная в (3) слева,  - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0,  . Вместе с равенством dn
+1
=1 это означает, что d>0.
Определение 3. Скажем, что последовательность {fi
}i
³
1
функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f , если
для всех uÎU.
Определение 4. Множество AÌFU
назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид  , где V открыто,  при  ,  при   .
Множество AÌFU
назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;
2.  ;
3. Множества Ik
-
(k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Из любой последовательности {fi
}i
³
1
ÌI-
k
+1
(k>n) такой, что
 ,
можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции  .
Пусть система  образует T+
- систему на [0, ¥).
Рассмотрим систему функций  , такую, что wi
=ui
для  и  - T+
- системы для m³n (см. [1]).
Теорема 1. Пусть система  образует T+
- систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
 .
Доказательство. Пусть  . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj
}j
³
1
ÌIk
-
такая, что  . Зафиксируем произвольное fl
.
Если fl
ÎIk
-
, где k£n+1, то положим fl
*
=fl
.
Пусть k>n+1 и s={ } – (k-1, W) окрестность fl
в Ik
-
.
Рассмотрим произвольные  и   . Допустим, что  . Согласно лемме 1, отношения  и  невозможны для s£k-1. Следовательно,  и  , что невозможно.
Таким образом, отображение  непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что  - открытое множество в Rk
-1
, содержащее  .
Пусть  ,  и  - многочлен по системе  , имеющий k-2 нулей x1
, …, xk
-2
. Условие bk
-1
=0 противоречит чебышевости системы  . Положим bk
-1
>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk
-2
.
Имеем
 ,
где cl
i
– i-ая компонента вектора  , и, следовательно,
 .
Так как константа К не зависит от f, то ml
>-¥.
Кроме того,  .
Возьмем последовательность  , такую, что
Fk
-1
(flp
)>Fk
-1
(flq
)=ml
при p<q и
 ,
Рассмотрим произвольные flp
и flq
, где p<q. Так как  , то отношения  и  невозможны для s£k-2. Отношения  и  невозможны, так как flp
, flq
ÎIk
-
. Из леммы 1 получаем  .
Так как  , то найдется функция  , такая, что Fk
-1
(fl
’
)=ml
.
Отношение fl
’
ÎIk
-
невозможно, в силу определения числа ml
и принципа инвариативности области. Отношения fl
’
ÎIm
-
для m<k-1 невозможны, так как  . Следовательно  .
Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию  , такую, что  . Из условия  следует утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен;
2.  ;
3. Множества Ik
+
(k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Для k>n из любой последовательности {fi
}i
³
1
ÌIk
+
такой, что
,
можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции  ;
5. Ik
+
ÌFU
для k³n+1.
Теорема 2. Пусть система  образует T+
-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
 .
Определение 6. Систему  непрерывных на [0, ¥) функций назовем T+
1
-системой, если она является T+
-системой, и, кроме того, системы u1
, …, ul
-1
, ul
+1
, …, un
также являются T+
-системами для  .
Лемма 2. Пусть  - T+
1
-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что
(-1)n-i
Fi
(f) ³ (-1)n-i
Fi
(g), .
Тогда отношения  , и  ,  , невозможны.
Доказательство. Допустим, что имеет место отношение  и 1£p£n.
Пусть x1
, …, xp
-1
(-¥<x1
<…<xp
-1
<¥) – точки перемен знака функции  ; xо
=-¥, xn
=¥;  . Выберем точки xn
-1
<xn
-2
<…<xp
<xp
-1
так, чтобы  ,  ,  . Рассмотрим систему равенств
 , (4)
где hi
=±1. Из условия следует, что hn
=1. С другой стороны, из (4) получаем
 ,
где А – матрица, записанная в (4) слева, An
i
– матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T+
1
-система на [0, ¥), то detA>0, detAn
i
>0, . Следовательно, hn
£0. Получили противоречие.
Случай  ,  , рассматривается аналогично.
Теорема 3. Пусть - T+
1
-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
 .
Доказательство. Пусть  . Возьмем последовательность векторов  так, чтобы  при  и
для , j³1.
Согласно теореме 1, для любого  найдется последовательность  такая, что  .
Существует j1
, такое, что  , где r - какая-либо метрика в Rn
, и
 ,  .
Выберем j2
так, чтобы  и
 , .
Продолжая таким образом, получим последовательность  такую, что  и
 (5)
Рассмотрим произвольные  и  . Отношения  и  для k>n невозможны, в силу условий  .
Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем
 ,
т. е. существует функция  такая, что  . Включение  противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.
Из произвольности следует утверждение теоремы 2.
Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1 Экстремальная задача
Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W(
k
)
(t)>0 для tÎ[a, b] и  ; c1
, …, cn
– вещественные константы; xÎ[a, b].
Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла
на множестве   ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям
 ,  .
Для классов Âo
- всех ФР на [a, b] и ВL
– ФР на [a, b], удовлетворяющих условию  , -¥<x<y<¥, задача решена в [1].
Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].
Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.
Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.
Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Âo
, BL
, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.
Обозначим (k³1,AÌÂ, sÎÂ): Ik
+
(Ik
-
) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+
(k-
);  ;  - пространство моментов порядка k;  ;  ;  ,  .
Основной результат работы содержится в утверждении.
Теорема. Пусть  ,  . Тогда:
1.  ,
2.   ,
3.  ,
4.  .
§ 2 Свойства отображения
Нам понадобятся два факта из [6].
1. Для любого  существует и единственная ФР  .
2. Если  , то множество одноэлементно. Если  , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства  (т. е.  при  и  (значок Þ обозначает слабую сходимость)) и  ФР такие, что  , ,  , для aÎ(0,1) и  для bÎ(0,1).
Пусть  и  , где  , xÎ[a, b].
Функция Ás
непрерывна слева на [a, b] и Ás
(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Ás
(x) не убывает по x.
Далее, из sk
Þs при k®¥ следует Á ÞÁs
. Следовательно, семейства распределений {Á } и {Á } непрерывны.
Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0
(f)<…<Bm
(f) (под X<Y (X, YÌR1
) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)j
f(x)>0 (или (-1)j
+1
f(x)>0 при xÎBj
(f),  и f(x)=0 при  .
Лемма 1. Для любого распределения Á (Á ) и для любого Ám
,  , функция Ám
- Á
(Ám
- Á ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].
Доказательство. Предположим, что функция Ám
- Á имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x0
<x1
<…<xn
+3
£b такие, что (-1)i
[Ám
-Á ] > 0,  . Кроме того, Ám
(a)=Á (a)=0. Следовательно, существуют точки y0
Î[a, x0
), y1
Î[x0
, x1
), …, yn
+3
Î[xn
+2
, xn
+3
) такие, что функция (-1)i
[m(t) - ha
(t)] возрастает в точке yi
,  , что противоречит условию  .
Равенство  запишем в виде
 Ás
(t)=ci
,  ,
где  , , с0
= 1.
Очевидно, что последовательности u0
, …, uk
,  , образуют T+
- системы на [a, b]. Из условия W(
k
)
(t)>0 для tÎ[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности –u0
, …,-uk
, также образуют T+
- системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Ám
- Á
не может иметь n+1 строгих перемен знака.
Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi
(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0
(f)=(-¥, infB1
(f)], Pi
(f)=[supBi
-1
(f), infBi
+1
(f)],
 , Pk
(f)=[supBk
-1
(f), +¥).
Зафиксируем ФР  . Рассмотрим два класса функций
{Da
=Ás
- Á
:aÎ[0,1]} и {db
=Ás
- Á
:bÎ[0,1]}.
Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция Da
(db
) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da
(db
) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция Da
(db
) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция Da
(db
) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.
Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0
(a), …, Xn
+2
(a) (Y0
(b), …, Yn
+2
(b)) следующим образом. Если a (b) есть:
1.параметр первого типа, то
Xi
(a)=Pi
(Da
),  (Yi
(b)=Pi
(db
),  );
2.
3.параметр второго типа, то
Xi
(a)=Pi-1
(Da
), , X0
(a)=(-¥, infB0
(Da
)],
(Yi
(b)=Pi
(db
),  , Yn+2
(b)=(supBn+1
(db
), +¥));
4.параметр третьего типа, то
Xi
(a)=Pi
(Da
), , Xn
+2
(a)=[supBn
+1
(Da
), +¥)),
(Yi
(b)=Pi
-1
(db
), , Y0
(b)=(-¥, infB0
(db
)]).
Таким образом:
(-1)n-i
Da
(t)£0 при tÎIntXi
(a), , (1)
(-1)n-i
db
(t)³0 при tÎIntYi
(b), .
При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi
(a) и (-1)n
-
i
Da
(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi
(b) и (-1)n
-
i
db
(t)³0 при tÎY.
Заметим также, что Xi
(0)=Yi
+1
(0), Xi
+1
(1)=Yi
(1).
Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1
непрерывно, если из gi
®g0
, xi
®x0
, где g0
, gi
Î[0, 1], xi
ÎZ(gi
), i³1, следует x0
ÎZ(g0
).
Лемма 2. Отображения Xi
(a), Yi
(b),  непрерывны.
Доказательство. Пусть aj
®a, j®¥. Обозначим через  границы отрезка Xi
(aj
). Определим a0
=-¥. Возьмем произвольную точку a1
сгущения последовательности {a1
(
j
)
}j
³
1
. Пусть для удобства  . Проделаем ту же операцию с последовательностями {ai
(
j
)
}j
³
1
,  и {bi
(
j
)
}j
³
1
,  . Положим bn+2
=+¥.
Итак,
 ,  ,  (2)
причем -¥=a0
<a1
£b0
£a2
£b1
£…£an+1
£bn
£an+2
£bn+1
<bn+2
=+¥.
Из (1) и (2) следует, что для .
(-1)n-i
Da
(t)£0 (3)
при tÎ(ai
, bi
), если ai
¹bi
.
Из (3) и  следует, что ai
¹bi
, , так как в противном случае функция Da
имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi
(a) следует [ai
, bi
]ÌXi
(a),. Для любого i из xj
Î[ai
(
j
)
, bi
(
j
)
] и xj
®x0
вытекает, что x0
Î[ai
, bi
]. Следовательно, x0
ÎXi
(a).
Непрерывность отображений Yi
(b) доказывается аналогично.
§ 3 Доказательство теоремы
В случае  утверждение теоремы очевидно.
Пусть  .
Лемма 3. Для любого ФР  и любой точки xÎ[a, b] существует ФР  такая, что Áv
(t)³Ás
(t) (Áv
(t)£Ás
(t)) в некоторой окрестности точки x.
Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi
(0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d0
£0. В этом случае положим  .
Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎYi
(0).
Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi
(1). Пусть  . Согласно лемме 2, xÎYi
(b¢
). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно, существует последовательность {bj
}j
³
1
такая, что xÎYi
(bj
) и bj
®b¢. Пусть для некоторого bl
не существует такого k, что n-k четно и xÎYk
(bl
). Тогда  в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем  . Если же для всех bj
, j³1, существует kj
такие, что n-kj
четны и  , то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎYm
(bj
) для бесконечного числа элементов последовательности {bj
}. По лемме 2 xÎYm
(b¢). Так как n-i и n-m четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎYi
(b¢).
б) Предположим, что xÎYi
(1)=Xi
+1
(1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi
+1
(a)}. Согласно лемме 2, xÎXi
+1
(a¢). Если a¢=0, то xÎXi
+1
(0)=Yi
+2
(0). Это противоречит условию xÎXi
+1
(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).
Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn
+2
(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.
б) Пусть xÎYn
+2
(1). Так как Yn
+2
(1)ÌYn
+1
(1), то xÎYn
+1
(1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Yn
+1
(1), так как в этом случае множества Yn
+1
(1) и Yn
+2
(1) совпадают, что невозможно. Так как xÎYn
+1
(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn
+1
(1), то d1
(t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем  .
Итак, доказано существование такой ФР  , что Ás
-Án
£0 в некоторой окрестности точки x. Случай Ás
-Án
³0 рассматривается аналогично.
Теорема следует из леммы 3 и утверждения:
 Ás
(x) и  Ás
(x+0) достижимы. Докажем последнее.
Пусть d=Ás
(x) . Пусть последовательность ФР  , i³1, такова, что Á . Выберем подпоследовательность последовательности {si
}, слабо сходящуюся к некоторой ФР  . Покажем, что Ás
(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Ás
(x)-Ás
(x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Ás
. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á
(x¢)-Ás
(x¢)½<e¤2, из которого следует, что Ás
(x¢) - Á
(x¢)<e, j>N. Так как Á
(x¢) £Á
(x), то Ás
(x) - Á
(x)<e, откуда следует Ás
(x) - d£e. Последнее неравенство влечет Ás
(x)=d.
Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0,
¥
)
В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).
Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u0
º1 на [0, ¥) функций образуют T+
-системы на [0, ¥).
Положим (1£i£n, sÎÂ):
 ,  ,
 - моментное пространство класса Â относительно системы  .
Пусть  .
Найти  , где  .
10
. Первый подход заключается в урезании справа класса Â в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Âх
решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.
Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Âх
={sÎÂ:s(x+0)=1}.
Очевидно, для любых x1
<x2
 (1)
Предположим, что для любого x>0 Âх
- индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).
Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству  , L>0 и т. д.
Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение
 ( -замыкание множества XÌRn
),
где Ii
-
- множество всех ФР, имеющих индекс i-
в Â.
Кроме того, для этих классов справедливо включение  , и следовательно,
 (2)
Лемма 1.  .
Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества  следует, что точка  является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы  , и числа l1
>0, …, ln
>0, ln
+1
>0 такие, что  .
Из (2) следует существование последовательностей  , таких, что
 .
Тогда для достаточно больших k выполнено равенство
 ,
где  ,  .
Следовательно,  .
Из леммы 1 следует, что  для достаточно больших x. Так как класс Âx
является индексационным на [0, x], то ([5])
 ,
 ,
где  ,  ( ) – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Âx
.
Так как ФР имеет индекс (n+1)-
в Â и  , то
 .
Из (1) следует, что
 .
Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в [5].
20
. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0
всех ФР на [0,¥).
Лемма 2. Если u0
, u1
, …, un
– T+
-система на [0,¥), то для всех i и j существуют пределы  .
Доказательство. Из определения T+
-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a,b функции uj
(t) и auj
(t)+buj
(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.
Пусть х – наибольшее решение уравнения uj
(t)=0. Рассмотрим уравнение
auj
(t)+buj
(t)=0, t>x. (3)
Уравнение  (ui
(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a,b.
Пусть  ,  .
Допустим, что  не существует, т. е. А<B.
Введем последовательности {ti
}i
³
1
, {ti
}i
³
1
, удовлетворяющие условиям:
а) tk
®¥,tk
®¥ при k®¥;
б)  ,  ;
в) t1
<t1
<t2
<t2
<…<tm
<tm
<… .
Пусть cÎ(A, B).
Из-за непрерывности функции  на (x, ¥) уравнение
имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).
Выберем 0£j0
£n так, чтобы  для всех  и обозначим  .
Пусть число t0
таково, что  при t>t0
.
Рассмотрим функцию 
Пусть  , ,  .
Легко видеть, что системы v0
, v1
, …, vn
и v0
, v1
, …, vn
, W являются T+
-системами на [0, ¥).
Предположим, что эти системы являются T+
-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0
<t1
<…<tn
-1
<tn
<¥
 ,  ,
где  .
Через  обозначим множество ФР sÎÂ0
, для которых интегралы  , , абсолютно сходятся.
Пусть  - моментное пространство класса  относительно системы  .
Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций  .
Имеем  , т. е.  .
Заметим, что отображение  является взаимно однозначным, причем  .
Таким образом,  - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ¥).
Пусть  .
Необходимо найти
 . (4)
Из равенств (sÎÂ0
U
)
следует, что задача (4) эквивалентна следующей.
Найти
 , (5)
где  - множество функций  , удовлетворяющих равенствам
 ,  ,  .
Таким образом, задача в классе Â0
сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].
Именно для любого 
 ,
где  - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n,  - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n.
Из приведенных выше рассуждений следует, что
 ,
 ,
где  ,  ,
r - величина скачка функции в точке ¥.
Литература
1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.
2. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.
3. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.
4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.
5. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.
|
