Анализ обобщенных функций

Введение

Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство K^m состоит из действительных функций j(t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка mвключительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство K^m является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию

график которой приведен ниже

j

1

a(a+b)/2 bt

Эта функция принадлежит основному пространству K^o , так как не существуют производные в точках t= aи t= b. Функция (график смотри ниже)

принадлежит пространству K^m .

j

1

a(a+b)/2 bt

Если положить m= ¥для основного пространства K^m , то полученное основное пространство обозначается К. Пусть

тогда, как легко проверить, j(t) ÎK.

1.Обобщенные функции

Определение. Обобщенной функцией f(t) (заданной на прямой (-¥ < t<¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f(t), j(t)) , j(t) ÎK(K^m ).

Всякая интегрируемая функция f(t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций

Так как интеграл Пуассона

то (1)

При n®¥функция d_n (t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t= 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел d_n (t) при n®¥не существует. Предел

limd_n (t) = d(t)

n®¥

можно рассматривать как обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением

(2)

где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (jÎK). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции fна число lсоотношением

(lf, j) = l (f, j) ( jÎK).

Сумма двух обобщенных функций f₁ , f₂ определим следующим образом

(f₁ + f₂ , j) = (f₁ , j) + (f₂ , j) ( jÎK).

После этого множество обобщенных функций K' становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f(t), g(t) ÎK' равны: f(t) = g(t), если для любой основной функции j (t)

(f, j) = (g, j) или (f– g, j) = 0.

Обобщенная функция f(t) равна нулю: f= 0, если для любой основной функции j (t)

(f, j) = 0.

Примеры обобщенных функций.

1. Пусть jÎK. Определим обобщенную функцию fс помощью функционала

Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

2. Введенную ранее дельта-функцию d(t) определим следующим образом

(d(t), j(t)) = j(0).

Исходя из интегрального представления (2), имеем

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) ( jÎK^o ).

Отметим, что функционал f, определенный на Kсоотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

для которой можно записать

является регулярной обобщенной функцией.

2.Действия над обобщенными функциями

Введем в пространстве обобщенных функций K' операцию предельного перехода. Последовательность сходится к f, если для любого jÎKвыполнено следующее соотношение

(f_n , j) ®(f, j)

n®¥

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f'(t) регулярной обобщенной функции f(t) равна

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n– го порядка будет тогда определяться равенством

(f^{( n )} (t), j(t) = (-1)ⁿ (f(t), j^{( n )} (t)) ("nÎN, jÎK).

Это соотношение определяет производную n– го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

Примеры:

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

то

Из определения дельта – функции следует

td(t) = 0,

а значит

d(t) + td'(t) = 0,

2d'(t) + t d''(t) = 0,

---------------------

nd^(n-1) (t) + t d⁽ⁿ⁾ (t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

tⁿ d^{( n )} (t) = (-1) n! d(t) nÎN.

Методом математической индукции можно показать, что

Легко также показать, что если a(t) ÎC^m , то

a(t)d^(m) (t – t_o ) = C^o _m a (t_o ) d^(m) (t – t_o ) - C¹ _m a' (t_o ) d^(m-1) (t – t_o ) –

- . . . – (-1)C^m _m a^(m) (t_o ) d(t – t_o ) .

Введем обобщенные функции t₊ и t_- :

тогда

Можно вычислить производные

(t₊ )' = q(t), (t_- )' = -q(-t),

а также

n

2.1 Свертка обобщенных функций

Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z= x-t.

Если f(t), g(t) – регулярные обобщенные функции и j(х) ÎK, то можно записать

Произведение f(t) g(u) можно рассматривать как прямое произведение f(t) х g(u), так что

Это соотношение определяет свертку обощенных функций f(t), g(t) ÎK', включая и сингулярные обобщенные функции.

Свертка обобщенных функций обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4) если то

(3)

Приведем доказательство последнего соотношения. Действительно, для j(х) Î K

или

что и доказывает соотношение (3).

Примеры:

1.

2.

3. Преобразование Фурье обобщенных функций

Пусть основное пространство Kсостоит из бесконечно дифференцируемых комплексно-значных функций j(t) действительного переменного t, равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции j(t) определяется соотношением

Если рассматривать sкак комплексную переменную s= u+ iv, то

и y(t) – бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получаем

В общем случае можно записать

Далее, если - дифференциальный полином с постоянныим коэффициентами то

Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции f(t) называется обобщенная функция F[f(t)] = F(s), определяемая соотношением

(F[f(t)], F[j(t)]) = 2p(f(t), j(t)),

которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.

Свойства преобразования Фурье

1)

2)

3) F^-1 [F[f(t)]] = f(t), где F^-1 – оператор, обратный F, удовлетворяющий соотношению

4) F[F[f(t)]] = 2pf(-t);

5)

Приведем преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций.

F[1(t)] = 2pd(u),

F[d(t-a)] = e^-iua ,

4. Преобразование Лапласа обобщенных функций

Определение. Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного tназывается оригиналом, если

1) f(t) = 0 для t < 0;

2) f(t) – кусочно дифференцируема;

3)

Тогда функция называется преобразованием Лапласа функции f(t). Функция L(p) бесконечно дифференцируема в полуплоскости Rep> aи для нее справедливо соотношение

Если то

где f(+0) – скачок функции f(t) в начале координат. Обратное преобразование Лапласа L^-1 равно

Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:

Определение. Преобразование Лапласа обобщенной функции f(t) определяется соотношением

Свойства.

1)

2)

3)

Здесь производные нужно рассматривать как производные обобщенных функций.

Заметим, что

4)

тогда

5) Найдем преобразование Лапласа свертки обобщенных функций f(t) и g(t):

Cледовательно

Так как то

Аналогично можно написать

Приведем преобразование Лапласа часто используемых обобщенных функций:

где I_o - функция Бесселя нулевого порядка.

5.Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

Рассмотрим уравнение

Если f(t) – обычная функция, то его решением является первообразная, то есть

Пусть теперь f(t) – обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция g(t) называется первообразной обобщенной функцией f(t), если

(g'(t), j(t)) = (f(t), j(t)).

Если f(t) – сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная – регулярная обобщенная функция. Например, первообразная d(t) является y(t) = q(t); первообразная q(t) является функция y(t) = t₊ , а решение уравнения

y''(t) = d(t)

можно записать в виде

t(t) = t₊ + C₁ t + C₂ (C₁ , C₂ = const).

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

(4)

где f(t) – обобщенная функция. Обозначим

дифференциальный полином n-го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (4) называется обобщенная функция y(t), для которой выполняется соотношение

Если f(t) – непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (4.) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (4) называется любая обобщенная функция e(t) такая, что

Функция Грина – фундаментальное решение, удовлетворяющее данному граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (4) существует и имеет вид

(5)

если только свертка определена.

Доказательство. Действительно,

По свойству свертки имеем

В качестве примера рассмотрим уравнение

(6)

Нетрудно видеть, что фундаментальным решением этого уравнения является

так как

и

Поэтому

6. Пространство обобщенных функций

Совокупность обобщенных функций, порождаемых основным пространством K, образует пространство K'. Рассмотрим подпространство обобщенных функций пространства K, состоящее их обобщенных функций, равных нулю вне некоторого конечного интервала принадлежащего [0, ¥]. Введем в этом пространстве операцию умножения двух функций в виде свертки этих функций. Если f(t), g(t) Î то и Кроме того свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицы в играет функция d(t), так как для

Пусть существует такая что

тогда f^-1 (t) называется обратной обобщенной функцией f(t).

Пространство с введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.

Рассмотрим алгебру со сверткой . Обобщенная функция так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль. Обобщенная функция сосредоточена вначале координат, поэтому Далее,

поэтому

Теорема. Пусть для существуют обратные функции f^{- 1} (t) и g^-1 (t). Тогда свертка имеет обратную функцию вида

Действительно,

Рассмотрим следующее определенное в уравнение в свертках

Свертка существует для любой обобщенной функции так как

Следовательно, y(t) является фундаментальным решением уравнения (4). В частности, фундаментальное решение уравнения (6) с оператором принадлежит алгебре со сверткой Следовательно,

Рассмотрим операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение

где a(t) и b(t) Î Среди эффективных методов решения этого уравнения приведем метод преобразования Лапласа. Применив преобразование Лапласа к левой и правой части этого уравнения, имеем

Отсюда следует

Если для функции L(p) существует оригинал, принадлежащий то он и является искомым решением.

В качестве примера рассмотрим уравнение

Применив к нему преобразование Лапласа, получим (р² -w² ) L[y(t)] = 1.

Следовательно,

Откуда находим решение

7.Задача Коши

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

(7)

Задачей Коши для этого уравнения называется задача, заключающаяся в определении функции удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям в точке t= t_o :

y_o = y(t_o ), y'_o = y'(t_o ), . . . , y_o ^(n-1) = y^(n-1) (t_o ).

Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям.

(8)

t®+0

Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции

и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t= 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок y_o , тогда

где y'(t) – производная в обычном смысле.

Если у функции еще и скачок производной равный y'_o , то

Производную порядка p(p£n-1) обобщенной функции можно записать в виде

Введем обозначение

Где

Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение

(9)

Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции.

Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид

Если e(t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать

(10)

С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде

e(t) = q(t) y_n (t) ,

где y_n (t) - решение однородного уравнения

с начальными условиями

Тогда решение уравнения (10) принимает вид

Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид

где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция.

Пример. Рассмотрим уравнение

y''(t) = 0, t³0

с начальными условиями

limy(t) = y_o , limy'(t) = y'_o

t®+0 t®+0

В этом уравнении а₁ = а₂ = 0 и b₁ = y_o , b₂ = y'_o , а функция y₂ (t) = tявляется решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям

y₂ (0) = 0 , y'(0) = 1.

Поэтому

y(t) = y_o + y'_o t, t³0.

Можно также написать