ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ СПОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ АНАЛОГОВ

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ НА БАЗЕ π-ТЕОРЕМЫ

2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса

2.2 Определение независимых параметров процесса и числа независимых форм записи критериев подобия

2.3 Определение критериев подобия в любой одной форме записи

3 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА КОСВЕННЫМ МЕТОДОМ

4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА В НОРМАЛИЗОВАННЫЙ U-ГРАФ

5 РАСЧЕТ УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ В ЗАВИСИМОМ УЗЛЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО И НОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФОВ НА ОСНОВАНИИ ФОРМУЛЫ МЭЗОНА

6 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА ПРЯМЫМ МЕТОДОМ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ Расчет определителей третьего порядка

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Часть 1. Для процесса, описываемого дифференциально-интегральным уравнением (1), определить критерии подобия:

(1)

Определить критерии подобия:

1. способом интегральных аналогов во всех возможных формах записи;

2. на базе p-теоремы в любых трех (из всех возможных) формах записи.

Часть2. Для электрической цепи (рисунок 1), параметры которой приведены в таблице 1, выполнить следующее:

Таблица 1 – Исходные данные

1. Используя косвенный метод построения графов, построить ненормализованный U-граф.

2. Преобразовать полученный ненормализованный U-граф в нормализованный.

3. В построенных ненормализованном и нормализованном U-графах рассчитать, используя формулу Мэзона, узловое напряжение в любом одном зависимом узле. Результаты расчетов сравнить между собой и убедиться в их идентичности.

4. Используя прямой метод построения графов, построить ненормализованный U-граф. Сравнить полученный граф с аналогичным графом, построенным в пункте 1, убедиться в их равносильности и обосновать ее.

Рисунок 1 – Схема электрической цепи

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ СПОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ АНАЛОГОВ

Из выражения (1) видно, что в данное уравнение входит пять слагаемых. Обозначим число возможных форм записи критериев подобия через F_y . Число возможных форм записи критериев подобия при определении их способом интегральных аналогов будет равно числу слагаемых в уравнении физического процесса.

,

где n - число членов уравнения (1).

Число критериев подобия

,

где а - число дополнительных критериев.

Уравнение физического процесса (1) не содержит неоднородные функции, поэтому число дополнительных критериев будет равно нулю. Поэтому

.

Найдем эти критерии подобия во всех возможных формах записи. Разделим уравнение (1) на слагаемое на

Отбросив знаки интегрирования (т.к. они не влияют на однородность уравнения) получим

(1.2)

Полученные члены выражения (1.2), по первой теореме подобия, являются критериями подобия.

Для определения критериев подобия во второй форме записи разделим уравнение (1) на слагаемое и отбросив знаки интегрирования, получим следующее выражение

Получим следующие критерии подобия

Для определения критериев подобия в третьей форме записи разделим уравнение (1) на слагаемое и отбросив знаки интегрирования, получим следующее выражение

.

Получим третью форму записи критериев подобия способом интегральных аналогов

Для определения критериев подобия в четвертой форме разделим уравнение (1) на слагаемое и отбросив знаки интегрирования, получим следующее выражение

Для определения критериев подобия в пятой форме записи разделим уравнение (1) на слагаемое и отбросив знаки интегрирования, получим следующее выражение

.

Получим пятую форму записи критериев подобия способом интегральных аналогов

Получены все критерии подобия во всех возможных формах записи c помощью метода интегральных аналогов.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ НА БАЗЕ p-ТЕОРЕМЫ

2.1 Определение матрицы размерностей

Уравнение, описывающее рассматриваемый физический процесс, имеет следующий вид

(2.1)

Перепишем уравнение (2.1) в виде, который позволяет определить все входящие в него величины в относительных единицах

. (2.2)

Запишем формулы размерностей для всех входящих в выражение (2.2) величин

(2.3)

Прологарифмируем полученные уравнения системы (2.3).

(2.4)

Из коэффициентов уравнений системы (2.4) составим матрицу размерностей

(2.5)

2.2 Определение числа независимых параметров процесса и числа возможных форм записей критериев подобия

Для определения количества независимых параметров процесса необходимо рассчитать определители, составленные из строк и столбцов матрицы размерностей, порядка q, q-1 и т. д. Количество основных единиц измерения будет равно порядку первого неравного нулю определителя.

Из матрицы размерностей (2.5) мы можем составить следующее число определителей четвертого порядка

.

Все определители четвертого порядка равны нулю по свойству определителя (если два любых столбца или строки определителя равны или пропорциональны друг другу, то определитель равен нулю), т.к. первый и второй столбцы пропорциональны. Следовательно, количество независимых единиц меньше четырех. Необходимо посчитать все возможные определители третьего порядка. При составлении определителей третьего порядка следует учесть чередование не только строк, но и столбцов. Общее число определителей третьего порядка можно вычислить по формуле

.

Из расчетов определителей третьего порядка (см. ПРИЛОЖЕНИЕ) видно, что 52 определителя третьего порядка неравны нулю, что указывает на то, что число независимых единиц измерения из девяти всего три, а количество возможных форм записи равно пятидесяти двум.

2.3 Определение первой формы записи критериев подобия

Возьмем определитель третьего порядка неравный нулю

В качестве независимых единиц измерения выступают [U_{m 0} ], [R₁₀ ], [L₁₀ ]. Остальные 6 единиц измерения будут зависимы от них, и их можно представить

Рассчитаем значения x₁ …x₁₅

, , ;

, , ;

, , ;

, , ;

, , .

D_is - определитель третьего порядка, каждый из которых получается заменой в определителе Di-ой строки на строку s в матрице размерностей, соответствующей параметру, для которого определяется показатель степени. Рассчитаем искомые определители.

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

С учетом выше полученных значений определителей третьего порядка можно найти численные значения показателей степеней

, , ;

, , ;

, , ;

, , ;

, , .

С учетом полученных значений показателей степеней, формулы размерностей для зависимых переменных примут следующий вид

Cвязь между единицами измерения величин идентична связи между самими величинами, значит, будут справедливы следующие равенства

Поскольку U_{m 0} , R₁₀ , L₁₀ независимые, то их можно выбрать произвольно

(2.6)

В этом случае выражение (2.2) с учетом выражения (2.6) примет следующий вид

(2.7)

Из полученного выражения видно, что критериев подобия для данных независимых величин будет шесть

3 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА КОСВЕННЫМ МЕТОДОМ

Представим исходную схему в каноническом виде. Параметры этой схемы (рисунок 3.1) равны

Заменим все источники Э.Д.С. на источники тока

Система уравнений для U-графа, описывающих энергетическое состояние цепи, имеет следующий вид

где Y–квадратная матрица проводимостей; U–это матрицы-столбцы неизвестных узловых напряжений; I_уз – это матрица-столбец узловых токов.

Рисунок 3.1 – Мнемосхема электрической цепи для построения U–графа

Составим матрицу-столбец узловых напряжений U

.

Матрица-столбец узловых токов I_уз будет иметь вид

Матрица взаимных проводимостей

,

Найдем значения элементов матрицы

Подставляя значения проводимостей в исходную матрицу, получим следующую формулу

.

При построении по системе уравнений ненормализованного U-графа необходимо пользоваться только нормированными (безразмерными) величинами. Поэтому вводим масштабные множители

Y₀ =1, См; U₀ = 1, В; I₀ = 1, А;

; ; .

Составим ненормализованную матрицу передач А

где n – порядок матрицы , n = 3; m – количество ненулевых элементов матрицы , m=2; 1_n – единичная матрица порядка n; -1_m – отрицательная единичная матрица порядка m; 0_{( n - m ) m} – нулевая матрица, состоящая из (n-m) строк и m столбцов.

Опираясь на предыдущие уравнения строим ненормализованную матрицу передач

Подставим числовые значения

.

На основании этой матрицы передач строим ненормализованный U–граф (рисунок 3.2). Так как у данного графа узлы-источники не соответствуют источникам в исходной схеме, преобразуем его, разделив узлы-источники (рисунок 3.3).

Рисунок 3.2 – Ненормализованный U – граф без преобразованных источников

Рисунок 3.3 – Ненормализованный U

4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА В НОРМАЛИЗОВАННЫЙ U-ГРАФ

Преобразуем полученный U-граф в нормализованный (рисунок 4.1). C этой целью исключим петли из ненормализованного графа. Тогда по правилам преобразования графов передачи нормализованного U-графа будут иметь следующие значения

Рисунок 4.1 – Нормализованный U – граф

5 РАСЧЕТ УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ В ЗАВИСИМОМ УЗЛЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО И НОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФАХ НА ОСНОВАНИИ ФОРМУЛЫ МЭЗОНА

Для начала рассчитаем напряжения в узлах ненормализованного графа (рисунок 3.3). Запишем все контуры этого графа

L₁ =a₁₁ =1,01-0,133j;

L₂ =a₂₂ =1,013-0,054j;

L₃ =a₃₃ =1,025-0,417j;

L₄ =a₁₂ ∙ a₂₁ =(-0,00641+0,029j)² =-0,0008-0,000372j;

L₅ =a₂₃ ∙ a₃₂ =(-0,00615+0,025j)² =-0,00059-0,0003075j.

Рассчитаем напряжение в 1 узле ненормализованного графа. Формула Мэзона для этого случая имеет вид

(5.1)

где Р₆₁ - путь от узла 6 к узлу 1; Р₄₁ - путь от узла 4 к узлу 1; Р₅₃₂₁ - путь от узла 5 к узлу 1; Р₇₃₂₁ - путь от узла 7 к узлу 1 Δm₆₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 6 к узлу 1; Δm₄₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 4 к узлу 1; Δm₅₃₂₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 5 к узлу 1; Δm₇₃₂₁ - алгебраическое дополнение пути от узла 7 к узлу 1 - определитель графа.

Δ=1 - (L₁ +L₂ +L₃ +L₄ +L₅ ) + (L₁ L₂ +L₁ L₃ +L₃ ·L₂ +L₁ ·L₅ +L₃ ·L₄ ) - (L₁ ·L₂ ·L₃ ) =

= 1 - (1,01 - 0,133j+ 1,013 - 0,054j+ 1,025 - 0,417j - 0,0008 - 0,000372j - 0,00059 -

- 0,0003075j) + ((1,01 - 0,133j)·(1,013 - 0,054j) + (1,01 - 0,133j)·(1,025 - 0,417j) +

+ (1,025 - 0,417j) · (1,013 - 0,054j) + (1,01-0,133j) · (-0,00059-0,0003075j)+(1,025-

- 0,417j) · (- 0,0008 - 0,000372j) - (1,01 - 0,133j) · (1,013 - 0,054j) · (1,025-0,417j) = =0,0009-0,00248j

Δm₆₁ =1-(L₅ +L₂ +L₃ )+L₃ ·L₂ =1-(-0,00059-0,0003075j+1,013-0,054j+1,025-

-0,417j) + (1,025-0,417j)·( 1,013-0,054j)=-0,022-0,00646j;

Δm₄₁ =1-(L₅ +L₂ +L₃ )+L₃ ·L₂ =1-(-0,00059-0,0003075j +1,013-0,054j +1,025-

-0,417j) + (1,025-0,417j)·( 1,013-0,054j)=-0,022-0,00646j;

Δm₅₃₂₁ =1;

Δm₇₃₂₁ =1;

P₆₁ = 1;

P₄₁ = 1;

P₅₃₂₁ =a₅₃ ·a₃₂ ·a₂₁ =-1∙(-0,00615+0,025j)∙(-0,00641+0,029j)=0,000686+0,00034j.

P₅₃₂₁ = P₇₃₂₁

Подставляя найденные значения в формулу Мэзона (5.1) получим

Чтобы получить размерную величину напряжения умножим полученное значение на масштабный множитель

.

Рассчитаем напряжение в первом узле нормализованного графа, изображенного на рисунке 4.1. Для этого воспользуемся той же формулой Мэзона, что и для ненормализованного графа, только изменим все входящие в нее элементы. В нормализованном графе имеем всего два некасающихся контура

L₁ = a₁₂ ∙ a₂₁ =(0,22+0,032j)·(0,535-0,01j)=0,118+0,015j;

L₂ = a₂₃ ∙ a₃₂ =(0,464+0,0023j)·(0,061+0,011j)=0,028+0,00065j.

Тогда находим оставшиеся члены формулы

Δ_н =1- (L₁ +L₂ )=1- (0,118+0,015j + 0,028+0,00065j) =0,854-0,016j;

P_{5321 н} =a₅₃ ·a₃₂ ·a₂₁ =(0,143-2,39j)∙(0,464+0,0023j)·(0,22+0,032j)=

= 0,051-0,242j.

Алгебраические дополнения путей вычисляются следующим образом

Δm_41н =1- (L₂ )=1-0,028-0,00065j =0,972-0,00065j;

Δm_61н =1- (L₂ )= 1-0,028-0,00065j =0,972-0,00065j;

Δm_5321н =1;

Δm_7321н =1.

Вычисляем напряжение в первом узле по формулам (5.1), приведенным выше

.

Погрешность равна

;

.

Как видим, погрешности меньше 5%, следовательно, расчеты верны. Напряжение в узлах, найденное с использованием формулы Мэзона, получилось одинаковым для ненормализованного и нормализованного графа, следовательно, эти графы равносильны.

6 ПОСТРОЕНИЕ НЕНОРМАЛИЗОВАННОГО U-ГРАФА ПРЯМЫМ МЕТОДОМ

Алгоритм построения U-графа прямым методом следующий:

1. На поле графа наносим узлы, которые соответствуют неизвестным напряжениям в узлах схемы;

2. Каждую пару узлов соединяем двумя противоположно направленными ветвями с передачами равными взаимным проводимостям между узлами схемы и помноженными на -1;

3. Строим в узлах графа петли с передачами равными сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в данном узле и прибавляем к ним единицу;

4. Наносим на поле графа узлы-источники и соединяем их с зависимыми узлами передачами равными -1, если ток подтекает к узлу, и +1, в противоположном случае.

Пользуемся схемой, представленной в каноническом виде (рисунок 3.1). В результате получаем граф, изображенный на рисунке 6.1. Находим значения проводимостей

В результате получили ненормализованный граф, изображенный на рисунке 6.2. Ненормализованные U-графы, построенные прямым и косвенным методом, получились одинаковыми, что говорит об их равносильности.

Рисунок 6.1 – Ненормализованный U–граф, построенный прямым методом

Рисунок 6.2 – Ненормализованный U–граф, построенный прямым методом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе было проведено исследование дифференциально-интегральных уравнений. В результате были получены критерии подобия способами интегральных аналогов и на базе π-теоремы. Анализируя эти методы можно сделать выводы, что исследование методом интегральных аналогов является менее объемным, в сравнении с исследованием на базе π-теоремы, но дает меньшее число форм записи критериев подобия.

Также мы ознакомились с теорией графов. Теория графов позволяет вскрывать внутренние причинно следственные связи между параметрами процесса и системы. Благодаря этому аппарат теории графов адекватен природе изучаемых явлений. В силу чего теория графов не ограничивается анализом электрических систем и находит применение в различных областях техники. Выполнено построение для электрической схемы косвенным методом ненормализованного U-графа с дальнейшим его преобразованием в нормализованный. При помощи формулы Мэзона было рассчитано узловое напряжение в зависимом узле этого графа. Выяснено, что узловые напряжения имеют одинаковые значения для ненормализованного и нормализованного U-графов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бойчевский, В. И. Методические указания и контрольные задания к курсовой работе «Применение методов моделирования к электротехническим задачам» по дисциплине «Моделирование в технике» (для студентов специальности 140610) [Текст]: / В. И. Бойчевский, А. Н. Шпиганович. – Липецк: ЛГТУ, 2009. – 22с.

2. Бугров, Я. С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст]: / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – Ростов: Феникс, 1997. – 288с.

3. Шпиганович, А. Н. Методические указания к оформлению учебно-технической документации [Текст] / А. Н. Шпиганович, В. И. Бойчевский. – Липецк: ЛГТУ, 1997. – 32с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Расчет определителей третьего порядка