Реферат: Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 4

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Позолотина Наталья Андреевна, 9^б класс,

МОУ СОШ №4 Центрального района.

224-49-85

Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна,

кандидат педагогических наук,

доцент кафедры математического анализа НГПУ.

(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)

Новосибирск 2008

Содержание

Введение

1. Основные понятия и определения

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Упражнения

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Упражнения

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Упражнения

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Упражнения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:

- сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;

- графически (исследование свойств и построение графиков функции)

Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.

В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.

1. Основные понятия и определения

В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.

Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.

Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…

Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:

Z = N -N {0}

Определение 4. Рациональные числа Q– это числа представимые обычными дробями в виде , где mє Z, nє N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).

Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде .

Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.

R=QI

Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.

Например: ,

Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:

а) a<b, b<ca<c

b) ab, baa=b

c) ab a+cb+c

d) a0 -a0

Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства.

Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.

Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.

Обозначение: f₁ (x)>f₂ (x)ц₁ (x)>ц₂ (x) – второе неравенство – следствие первого.

Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.

Обозначаются равносильные неравенства: f₁ (x)>f₂ (x)ц₁ (x)>ц₂ (x)

Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:

– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;

– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;

– умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.

Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.

Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.

Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N

1) Проверяем правдивость Р(1)

2) Предполагаем, что P(k) истинно

3) Доказываем истинность Р(k+1)

4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.

Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида ( а₁ а₂ … а_n )( b₁ b_{2 …} b_n ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁ а₂ … а_n находится над наибольшим числом из чисел b₁ b_{2 …} b_n и второе по величине из чисел а₁ а₂ … а_n над вторым по величине из чисел b₁ b_{2 …} b_n и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.

Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а₁ , а₂ , …а_n ), (b ₁ , b₂ ,…b_n ), …( d ₁ , d ₂ ,…, d_n ) это число вида

= а₁ b₁ …d₁ +а₂ b₂ …d₂ + …+a_n b_n …d_n

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

а₁ *b₁ – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда

= a₁ b_1.

Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если = a₁ b₁ . то =а₁ b₁ +а₂ b₂

Теорема 1. Пусть (а₁ а₂₎ (b ₁ b ₂ ) – одномонотонные последовательности. Тогда

Доказательство

Действительно,

– =a₁ b₁ +a₂ b₂ -a₁ b₂ -a₂ b₁ = (a₁ -a₂ ) (b₁ -b₂ )

Так как последовательности (а₁ а₂ )(b₁ b₂ ) одномонотонны, то числа a₁ -a₂ и b₁ -b₂ имеют одинаковый знак. Поэтому

(a₁ -a₂ )(b₁ -b₂ ) 0.

Теорема доказана.

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1 .

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

a³ +b³ a² b+b² a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ =, a² b+b² a =

А так как последовательности (a² , b² ), (a, b) одномонотонны, то

А это значит, что a³ +b³ a² b+b² a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.

Значит a³ +b³ a² b+b² a.

Что и требовалось доказать.

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2 .

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

а² +b² .

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

а² +b² =, ,

А так как последовательности (), () одномонотонны, то

.

Что и требовалось доказать.

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Рассмотрим последовательность (а₁ ,а₂ ,а₃ ) и (b ₁ , b₂ ,b₃ ), и запишем в виде таблицы

Если последовательность (а₁ ,а₂ ,а₃ )(b₁ , b₂ ,b₃ ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁ ,а₂ ,а₃ находиться над наибольшим из чисел b ₁ ,b₂ ,b₃ , а второе по величине а₁ ,а₂ ,а₃ находиться над вторым по величине из чисел b ₁ ,b₂ ,b₃ , и где наименьшее из чисел а₁ ,а₂ ,а₃ находиться над наименьшим из чисел b ₁ ,b₂ ,b₃ то последовательность одномонотонная.

Если =a₁ b₁ , и =а₁ b₁ +а₂ b₂ , то =а₁ b₁ +а₂ b₂ +a₃ b₃

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а₁ , а₂ , …а _n ) и (b ₁ , b₂ ,… b_n ) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

=а₁ b₁ +а₂ b₂ .

Заметим, что а₁ b₁ +а₂ b₂ = а₂ b₂ + а₁ b₁ по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

=

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

=а₁ b₁ +а₂ b₂ +a₃ b₃ .

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

а₁ b₁ +а₂ b₂ +a₃ b₃ = (a₃ b₃ +а₂ b₂ )+ а₁ b₁ =

Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а₁ а₂ а₃ ), (b₁ b₂ b ₃ ) – одномонотонные последовательности и ()( здесь и в дальнейшем) любая перестановка чисел b₁ b₂ b ₃ . Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность отличается от (b₁ b₂ b₃ ) то найдется пара чисел k, l (1k<l3) такая, что последовательности (a_k , a_l ) и (b_k , b_l ) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

, так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

a³ +b³ +c³ a² b+b² c+c² a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ +c³ =, a² b+b² c+c² a =

А так как последовательности (a² , b² , c² ), (a, b , c) одномонотонны, то

.

А это значит, что a³ +b³ +c³ a² b+b² c+c² a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

и (a, b, c) и () одномонотонные последовательности, то

,

.

Складывая эти неравенства, мы получаем

.

Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части

.

Вычислив, получаем

.

А это значит, что

Что и требовалось доказать

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а₁ , а₂ , …а_n ) и (b ₁ , b₂ ,…b_n )

Если =a₁ b₁ , и =а₁ b₁ +а₂ b₂ , то =а₁ b₁ +а₂ b₂ …a_n b_n

Теорема 3. Пусть ( а₁ а₂ … а_n ), ( b₁ b_{2 …} b_n ) – одномонотонные последовательности и ()перестановка чисел b₁ b_{2 …} b_n . Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность () отличается от (b₁ b_{2 …} b_n ) то найдется пара чисел k, l (1k<ln) такая, что последовательности (a_k , a_l ) и (b_k , b_l ) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Следствие.

Для любого nN верно

.

Доказательство.

Но последовательности (а₁ а₂ … а_n ) и () не являются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.

Однако эти последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются последовательности

(а₁ а₂ … а_n ) и ()

Поэтому

Отсюда и следует искомое неравенство

Следствие

Для любого nN верно

(Неравенство Чебышева).

Доказательство.

В силу теоремы 3 справедливы следующие nнеравенства

Значит

В этих неравенствах левая часть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняются циклически.

Складываем все и получаем

Что и требовалось доказать

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

a³ +b³ +c³ +d³ a² b+b² c+c² d+d² a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ +c³ +d³ =, a² b+b² c+c² d+d² a=.

А так как последовательности

(a² , b² , c² , d³ ), (a, b , c, d)

одномонотонны, то

.

А это значит, что a³ +b³ +c³ +d³ a² b+b² c+c² d+d² a.

Что и требовалось доказать.

Доказательство этого неравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить с другим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я не смогла.

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а₁ , а₂ , …а_n ), (b₁ , b₂ ,…b_n ), …(d₁ , d₂ ,…, d_n ).

Если =a₁ b₁ , и =а₁ b₁ +а₂ b₂ , и =а₁ b₁ +а₂ b₂ …a_n b_n ,

то = а₁ b₁ …d₁ +а₂ b₂ …d₂ + …+a_n b_n …d_n

Теорема 4. Рассмотрим одномонотонные последовательности (а₁ , а₂ , …а_n ), (b ₁ , b₂ ,…b_n ), …, (d₁ , d₂ ,…,d_n ). Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность (a₁ , а₂ , …а_n ), (b'₁ , b'₂ ,…b'_n ), …, (d'₁ , d'₂ ,…,d'_n ) отличается от (а₁ , а₂ , …а_n ), (b ₁ , b₂ ,…b_n ), …, (d₁ , d₂ ,…,d_n ), то найдутся переменные k, l (1k<ln) такие, что последовательности (a_k , a_l ) и (b_k , b_l ) …(d_k , d_l ) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа ,, a_k , a_l … d_k , d_l мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То

есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Пример

Упражнение 1

Пусть а₁ , а₂ , …а_n - положительные вещественные числа.

Докажите, что

Это неравенство называется неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Докажем его двумя способами

Доказательство.

Перепишем его в виде:

, введя новые переменные

Имеем

Если сравнить эти два доказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощью одномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством Коши.

неравенство одномонотонный последовательность коши

Заключение

Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способы доказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.

Список использованной литературы

1. Большой справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.

2. В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г.

3. Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств. /Математика в школе. 1991 г. №4

4. Л. Пинтер, Й. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.