Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел
Основная теорема алгебры
Курсовая работа
студента 1 курса 121 группы механико-математического факультета
Батура Ирина Сергеевна
Научный руководитель Е.В. КОРОБЧЕНКО, ассистент
Зав. кафедрой В.Н.КУЗНЕЦОВ, д.т.н., профессор
САРАТОВ
2009 год
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле  . Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Целью моей работы является выявления, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чисел можно определить как множество упорядоченных пар  действительных чисел,  ,  , в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:
 
В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность  называется подпоследовательностью , если для любого k существует такое натуральное  , что  = , причем  Б тогда и только тогда, когда  .
Комплексное число– расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению  .
Вещественное число (действительное число)– любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция– 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие  между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех  и всех  выполняется неравенства 
Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого  существует такой номер  , что если  , то для всех выполняется неравенство . Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полями и  как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля ) носит название основной теоремы алгебры.
Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел  . Число  называется ее пределом, если для любого действительного числа существует такой номер , что при выполняется неравенство  . В этом случае пишут lim , а=lim , b=lim . Предельное соотношение lim =c равносильно соотношению  , ибо
max    
Последовательность такая, что  R, при некотором R, называется ограниченной.
Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.
Действительно, пусть  ограниченная последовательность, т.е.  , тогда  , так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность  . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей  . Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность  .
Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен  .
4. Доказательство основной теоремы
Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть  -полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной  .Представим себе "график" функции  , считая , что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения  откладываются вверх в направлении оси  . Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция  от комплексной переменной называется непрерывной в точке  , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к  значения .В более точных терминах - для любого найдется такое  , что  , как только  .
Непрерывность дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость  , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором  , и, тем самым,  , т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при  . Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, и , следовательно , т.е. корень полинома .
Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.
Лемма 1. Дан полином  c нулевым свободным членом.
Тогда для любого найдется такое , что  , как только  .
Доказательство: Пусть  . Тогда
Положим
 Если 
то 
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.
Доказательство: Пусть дан полином и точка .
Расположим полином по степеням
 ,
Тогда  так что
Правая часть есть полином от  с нулевым свободным членом.
По лемме 1 для любого найдется такое, что  как только  что и требовалось доказать.
Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.
Доказательство: Из неравенства  следует, что для данного то  , которое "обслуживает" , подходит и для . Действительно, при имеем
Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если -полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что  M,как только  .
Это означает, что любая горизонтальная плоскость  отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.
Доказательство: Пусть
где  полином от  c нулевым свободным членом.
В силу леммы 1 для  найдется такое , что при  , будет  . Модуль  может быть сделан сколь угодно большим, именно, при  будет  . Возьмем   Тогда при будет
и  так что 
Лемма 5. Точная нижняя грань значений достигается, т.е. существует такое, что  при всех .
Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань через  . Возьмем последовательностью  стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений , ибо -точная нижняя грань. Поэтому найдутся  такие, что  . Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для  найдем такое  , что при будет  Отсюда следует, что  при все  . Последовательностью оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность  . Пусть ее предел равен . Тогда  в силу непрерывности . Кроме того,  . Поэтому  Итак  , что и требовалось доказать.
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть полином отличный от константы, и пусть  . Тогда найдется такая точка , что
Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности дана точка, находящаяся выше плоскости , то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.
Доказательство: Расположим полином по степеням
Тогда  Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от  , а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть  – первое отличное от нуля слагаемое после , так что  (если k>1). Такое слагаемое имеется, так как не константа. Тогда
  +
+(  +…+  ))=
=c0
(1+ +  ).
Здесь
=
есть полином от  с нулевым свободным членом. По лемме 1 для  = найдется такое ,что ||<, как только ||<. Положим =( ) и   . Тогда
 .
Выберем  так, что  . Для этого нужно взять  . Далее, положим  , т.е. возьмем  . При таком выборе будет  . Теперь положим
 при  и . Тогда  и
| |=  .
Лемма доказана.
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять  при  так что при k>1 (т.е. в случае, когда  -корень кратности  полинома  )имеется k направлений спуска по поверхности   . Они разделяются направлениями подъема при 
Действительно, в этих направлениях
 и 
Так что если есть корень производной кратности , то поверхность в окрестности точки "гофрирована" так, что на ней имеется "долин" cпуска, раздельных "хребтами" подъема.
Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле , комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство: Пусть - данный полином, отличный от константы. Пусть, далее,  и - точка, в которой  ; Она существует по лемме 5. Тогда  ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка  что  невозможно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.
|
