| Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ  -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ  -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или  -критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация  , называется минимальной насыщенной не -формацией, если все собственные насыщенные подформации  содержатся в классе групп . Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой [5].
В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не  -формаций ( – формация всех разрешимых групп нильпотентной длины  ). В работах автора [6-10] теория минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.
Теорема 1 [10].
Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда
– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда
 , где  – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом  , что выполняется одно из следующих условий:
1)  – группа простого порядка  ;
2)  – неабелева группа и  , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3)  ,
где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех  , а  либо группа простого порядка  , либо такая монолитическая -минимальная не  -группа с неабелевым монолитом  , что  , совпадает с -корадикалом группы и
где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Теорема 2 [10].
Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда удовлетворяет одному из следующих условий:
1) , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой  , что справедливо включение
 , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
2)  ,
где  и  ;
3)  ,
где  , а – такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой  , что совпадает с  -корадикалом группы ,  и
 .
В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание  -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций .
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной
. При  формацию называют  -кратно насыщенной
, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого –  -кратно насыщенные формации. Формацию -кратно насыщенную для любого целого неотрицательного называют тотально насыщенной
.
Подгрупповым функтором
[2] называют отображение сопоставляющее каждой группе такую систему ее подгрупп  , что: 1)  ; 2) для любых групп  и  и любого эпиморфизма  имеет место  и 
Тотально насыщенную формацию называют -замкнутой
, если  для любой группы  . -Замкнутую тотально насыщенную формацию  называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией
(или, иначе,  -критической
), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп .
Пусть – -замкнутая формация. Группа называется -минимальной не  -группой
, если  , но  для любой собственной подгруппы  из .
Для всякой совокупности групп  через  обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп
, т.е. пересечение всех -замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих . Если  , то  называют однопорожденной
-замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных формаций и полагают  . Частично упорядоченное по включению  множество всех  -замкнутых тотально насыщенных формаций  с операциями  и  образует полную решетку. Формации из называют -формациями.
Экран, все непустые значения которого -формации, называют -значным
. Если  – -формация, то через  обозначают её минимальный -значный локальный экран
.
Для произвольной последовательности простых чисел  и всякой совокупности групп  класс групп  определяют следующим образом:
1)  ; 2)  .
Последовательность простых чисел  называют подходящей
для  , если  и для любого  число  . Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через  . Символом  обозначают совокупность всех таких последовательностей  из  , у которых  при всех  .
Пусть – некоторая подходящая для последовательность. Тогда  -значный локальный экран  определяют следующим образом:
1)  ; 2)  .
В дальнейшем через  будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9].
Пусть  – монолитическая группа,
 – неабелева группа. Тогда
 имеет единственную максимальную -подформацию
 , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы  . В частности,
.
Лемма 2.2 [2,
c
. 33].
Пусть
 , где – непустой класс групп. Тогда если  – минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:
1)  ;
2) 
при всех простых числах  ;
3) если  – произвольный  -значный экран формации  , то при любом  имеет место 
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3.
Пусть ,  –  -замкнутые тотально насыщенные формации,  ,  – канонический экран формации . Тогда является  -критической формацией в том и только в том случае, когда
, где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом  , что для всех  формация   -критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп  , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание  -критических формаций для некоторых конкретных классов групп.
Минимальные  -замкнутые тотально насыщенные не  -разрешимые формации.
Напомним, что группу называют  -разрешимой, если  для каждого ее главного  -фактора  . Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно,  . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не  -разрешимая формация, когда
, где – монолитическая  -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом  , что  и группа  -разрешима
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем  , где – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1)  – группа простого порядка  ;
2)  – неабелева группа и  , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3)  ,
где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех  , а  либо группа простого порядка  , либо такая монолитическая -минимальная не  -группа с неабелевым монолитом  , что  ,  совпадает с -корадикалом группы и
где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы  .
Поскольку , то  – неабелева группа и  . Таким образом, группа  удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность.
Пусть  , где – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация  имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию  , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку  и  , то  . Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не  -разрешимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
 , где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что  и группа  -разрешима.
Следствие 3.1.2 [9].
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где  – монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.
Если
– тривиальный подгрупповой функтор, т.е.  из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
 , где  – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа  -разрешима
.
Следствие 3.1.4 [7].
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима
.
В случае, когда  – совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5.
Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
 , где – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.6.
Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
 , где – простая неабелева минимальная не  -разрешимая группа.
Следствие 3.1.7.
Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
 , где – простая неабелева минимальная неразрешимая группа.
Если  – совокупность всех нормальных подгрупп группы имеем
Следствие 3.1.8.
Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не  -разрешимая формация, когда
 , где  – простая неабелева  -группа.
Следствие 3.1.9.
Тогда и только тогда  – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не  -разрешимая формация, когда
 , где – простая неабелева  -группа.
Следствие 3.1.10.
Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
 , где – простая неабелева группа.
Минимальные  -замкнутые тотально насыщенные не  -нильпотентные формации.
Группа называется  -нильпотентной, если она имеет нормальную  -холловскую подгруппу для каждого  . Класс всех -нильпотентных групп совпадает с произведением  и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
 , где – не -нильпотентная группа Шмидта.
Доказательство.
Пусть  формацию всех -нильпотентных групп.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место  , где – такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом  , что выполняется одно из следующих условий:
1)  – группа простого порядка  ;
2) – неабелева группа и  , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3)  ,
где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех  , а  либо группа простого порядка  , либо такая монолитическая -минимальная не  -группа с неабелевым монолитом  , что  ,  совпадает с -корадикалом группы и
где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы  .
Поскольку  , то первые два случая невозможны. Поэтому  – абелева  -группа, где  . По лемме 2.2 имеем  . Поэтому  , где – группа простого порядка. Таким образом, – не -нильпотентная группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть  , где – не -нильпотентная группа Шмидта. Поскольку насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что  . Поэтому  , где  – минимальная нормальная -подгруппа группы ,  а – группа простого порядка  . Так как группа  и все собственные подгруппы из нильпотентны, а следовательно, и  -нильпотентны, то – -минимальная не  -нильпотентная группа и  – -нильпотентный корадикал группы . Используя теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. Теорема доказана.
Используя теорему 2, получим
Следствие 3.2.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
 , где и  – различные простые числа, .
В случае, когда  из теорем 3.2 и 2 вытекают
Следствие 3.2.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
, где – не -нильпотентная группа Шмидта.
Следствие 3.2.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
, где – отличное
простое число.
Если теперь – множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем
Следствие 3.2.4.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
 , где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.2.5.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
, где и – различные простые числа.
Следствие 3.2.6 [7].
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
 , где и – различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.
Напомним, что группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением  и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
, где – не -замкнутая группа Шмидта.
Доказательство.
Обозначим через формацию всех -замкнутых групп.
Необходимость.
Пусть – минимальная  -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2)  – неабелева группа и  , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что  , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Так как  , то  . Если – неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем  . Значит,  Противоречие. Поэтому  – абелева  -группа, где  . Значит,  для некоторой максимальной подгруппы  группы . В силу леммы 2.3 получаем, что  –  -критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем  . Так как  , то – группа простого порядка  . Таким образом,  – не -замкнутая группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть , где – не -замкнутая группа Шмидта. Так как – насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что . Поэтому , где  – минимальная нормальная -подгруппа ,  , – группа простого порядка . Так как группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то –  -минимальная не -замкнутая группа и её -замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.3.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
, где  и 
.
В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает
Следствие 3.3.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
, где – не -замкнутая группа Шмидта.
Следствие 3.3.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
 , где – отличное от простое число.
Минимальные  -замкнутые тотально насыщенные не  -специальные формации.
Группа называется  -специальной, если она обладает нильпотентной нормальной -холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех -специальных групп совпадает с классом  и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.4.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где – не -специальная группа Шмидта.
Доказательство.
Пусть обозначает формацию всех -специальных групп.
Необходимость.
Если – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, то по теореме 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка  ;
2)  – неабелева группа и  , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех  , а  либо группа простого порядка  , либо такая монолитическая -минимальная не  -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы  .
Поскольку  , то случай 1) не имеет место и  . Если  – неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем  . Поэтому  и  . Пусть  и  . Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение . Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, – абелева  -группа. Так как имеют место равенства  , то  , где – группа порядка  . Таким образом,  – не -специальная группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть , где – не -специальная группа Шмидта. Тогда  . Поскольку – насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что  . Поэтому  , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка  . Ввиду того, что группа  и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то – -минимальная не -специальная группа и  её -специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.
Следствие 3.4.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
 , где и – различные простые числа,  .
В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает
Следствие 3.4.2.
Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где  – не -специальная группа Шмидта.
Следствие 3.4.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
 , где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разложимые формации.
Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и  -замкнута.
Класс всех -разложимых групп совпадает с пересечением  и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.5.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где – не -разложимая группа Шмидта.
Доказательство.
Обозначим через  формацию всех -разложимых групп.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не - разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где  – такая группа Шмидта, что  . Таким образом, – не - разложимая группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть , где  – не -разложимая группа Шмидта. Поэтому  . Ввиду насыщенности формации можно считать, что  . Значит, , где – минимальная нормальная -подгруппа  , а  – группа простого порядка. Поскольку группа  и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то – -минимальная не -разложимая группа и её -разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.5.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
 , где
 .
В случае, когда из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
 , где – не -разложимая группа Шмидта.
Следствие 3.5.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не  -формации.
Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей  совпадает с произведением  (число сомножителей равно ) и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.6.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не  -формация, когда
 , где  – минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех  и  – группа простого порядка.
Доказательство.
Обозначим через формацию
.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не
-формация. По теореме 1  , где – такая монолитическая -минимальная не -
группа с монолитом  , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка  , либо такая монолитическая -минимальная не  -группа с неабелевым монолитом  , что  ,  совпадает с -корадикалом группы и
где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку 
, то случай 1) невозможен. Если группа неабелева, то по лемме 2.1 , что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа  разрешима, то  , где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность
вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с. 94].
Пусть – разрешимая формация.
Тогда и только тогда  – минимальная тотально насыщенная не  -формация, когда
 , где  – минимальная не -группа,  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех  и  – группа простого порядка.
Следствие 3.6.2.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда  для некоторой последовательности  из  .
Следствие 3.6.3 [2, с. 94].
Пусть – разрешимая формация.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не  -формация, когда  для некоторой последовательности  из  .
Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описания  -критических формаций и в случаях, когда формация  не является тотально насыщенной.
Минимальные  -замкнутые тотально насыщенные не  -формации.
Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением  , где  – класс всех нильпотентных, а  – класс всех абелевых групп. Формация не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию  . Следовательно, любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной не  -формацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда
 , где  – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда
 , где  и  – различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.
Пусть  формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация не является тотально насыщенной. Однако содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Поэтому любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место
Теорема 3.8.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда
 , где  – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда
 , где и – различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации конечных групп. При этом -замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией или  -критической, если  , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп . Получено описание  -критических формаций для таких классов групп , как классы всех  -разрешимых,  -нильпотентных,  -замкнутых, -специальных,  -разложимых групп ( – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей  ( – некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.
|
