Курсовая работа

На тему:

«Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad »

Екатеринбург 2010

1. Краткие теоретические сведения

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y^{( n )} = f (x, y, y^’ , y^’’ … y^{( n -1)} )

Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных.

Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др.Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса.

Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y^{( n )} = f (x, y, y^’ , y^’’ … y^{( n -1)} ) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х₀ ) = y₀ , причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х₀ , y₀ ). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

y (x) – y (x₀ ) =

Коэффициенты A_k ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х₀ .

К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).

Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a^* называют величину Д(а^* ), которая определяется следующим образом:

|a^* -a| ≤ Д(a^* )

Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом:

|(a^* -a)/ a^* | ≤ д(a^* )

Таким образом, эти две погрешности связаны между собой:

д(a^* ) = Д(a^* ) / |a^* |

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a^* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой.

2. Дифференциальное уравнение

Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.

Дано:

2x''+5x'=29cost

x(0)= -1

x'(0)=0

2.1 Точное решение операторным методом

Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал.

Продифференцируем левую часть уравнения:

2x''+5x'=5*(s² *X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0))

Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим:

x''-3x'+2x= 2*(s² *X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s² +5s)+s*2+5

Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа

Найдем значение изображения:

Given

Сопоставим изображению оригинал:

Найдем значения функции, построим её график:

дифференциальный уравнение эйлер операторный

2.2 Приближенное решение с помощью рядов

Запишем функцию в виде ряда:

Найдем производные первого и второго порядков от этой функции:

Разложим в ряд правую часть уравнения:

Полученные ряды подставим в исходное уравнение:

Найдем значения коэффициентов

Подставим найденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции:

2.3 Численное решение методом Эйлера

Перепишем условие следующим образом:

x'=z

z'+ 5z=29cos t

z'=29cos t – 5z

Задаём начальные данные:

Находим значение x и x'

Для сравнения решим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график.

2.4 Численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка

Определяем функцию D, задающую производные и находим значения функции. Строим график функции:

2.5 Расчет погрешности приближенного и численных методов

Таблица 1 – Значения функции

Таблица 2 – Локальная, абсолютная и относительная погрешность

2.6 Совместное графическое решение

Рисунок 1 – Совместное графическое решение

Из всех методов наиболее точным оказался метод Рунге-Кутты, его максимальная относительная погрешность 0,024%, относительная погрешность приближенного метода составила 27,7%. Метод Эйлера с шагом 0,1 имеет наибольшую погрешность 83,2%, однако при уменьшении шага в до 0,01 его погрешность составляет всего 5,8%. Это подтверждает то, что погрешность метода Эйлера сильно зависит от принятого шага. Проанализировав графическое решение делаем вывод о том, что методы Эйлера и Рунге-Кутты повторяют форму кривой точного решения, а график приближенного решения с увеличением аргумента всё сильнее отклоняется от искомого графика – свидетельство того, что погрешность решения с помощью рядов зависит от количества членов ряда. Характер кривой также говорит о том, что точность приближенного решения с помощью рядов удовлетворительна только вблизи некоторой точки.

3. Система дифференциальных уравнений

Решить систему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента), численное решение методом Эйлера, Рунге-Кутты. Представить графическое совместное решение, рассчитать локальную, относительную и абсолютную погрешность решения.

Дано:

dx/dt=3x + y

dy/dt=5/2x – y + 2

x(0)=0

y(0)=1

3.1 Точное решение операторным методом

Пусть X(s) изображение, для оригинала x(t), Y(s) изображение для оригинала y(t). Перейдем от оригинала к изображению:

Найдем значения изображений:

Найдем значения функции и построим её график:

3.2 Приближенное решение с помощью рядов

Преобразуем систему таким образом что, получим дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее только от x:

x''-2x'-11/2x-2=0

Алгоритм решения такой же, как и при решении дифференциального уравнения с правой частью специального вида, но без необходимости раскладывать правую часть.

Выводы

Наименьшую погрешность имеет метод Рунге-Кутты четвертого порядка – для функции x(t) относительная погрешность на десятом шаге составляет 0,036%, для функции y(t) 0,0297%. Наибольшая погрешность у метода Эйлера с шагом 0,1 – для функции x(t) 70,8%, для функции y(t) 51,4%. При изменении шага до 0,01 погрешность существенно уменьшается до 6,6% и 5,3% соответственно. Вывод о влиянии шага на погрешность в методе Эйлера совпадает с выводами решения дифференциального уравнения – большую роль в точности этого метода играет шаг. Можно еще раз подтвердить вывод о том, что точность приближенного метода решения сильно зависит от того, на сколько членов будет разложена дифференциальная функция.