Застосування подвійних інтегралів
Содержание
1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах
2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії
3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки
Нехай функція  неперервна в деякій замкненій і обмеженій області  ,тоді існує інтеграл
 .
Припустимо, що за допомогою формул
 (1)
ми переходимо в інтегралі  до нових змінних  та  .
Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити та :
 . (2)
Згідно з формулами (2), кожній точці  ставиться у відповідність деяка точка  на координатній площині з прямокутними координатами і .
Нехай множина всіх точок утворює обмежену замкнену область  . Формули (1) називаються формулами перетворення координат,
а формули (2) - формулами оберненого перетворення.
Справедлива така теорема.
Теорема.
Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область
в замкнену обмежену область і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області
неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник
 , (3)
а функція неперервна в області , то справедлива така формула заміни змінних
 . (4)
Функціональний визначник називається визначником Якобі
або якобіаном.
Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі за формулами (1), ми маємо елемент площі  в координатах  замінити елементом площі  в координатах  і стару область інтегрування замінити відповідною їй областю  .
Розглянемо заміну декартових координатполярними за відомими формулами . Оскільки
 .
То формула (3) набирає вигляду
 (4)
де область задана в декартовій системі координат  , а - відповідна їй область в полярній системі координат.
У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області містить суму  , оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:
 .
Якщо область (рис.1, а
) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути  та   і кривими  та   , то полярні координати області змінюються в межах  ,  (рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді
 (5)
Рисунок 1 - Область: а
) ; б)
подвійний інтеграл полярна координата
Якщо область охоплює початок координат, тобто точка  є внутрішньою точкою області , то
 (6)
де  - полярне рівняння межі області .
Приклади
1. Обчислити інтеграл  , якщо область - паралелограм,
обмежений прямими  (рис.1, а
).
Розв’язання
Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі  так і в напрямі осі  область потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.
Виконаємо таку заміну змінних:  , тоді прямі  та  в системі переходять в прямі  та  у системі  (рис.1, б), а прямі  та  відповідно в прямі  та  .
Таким чином, область (паралелограм) переходить у системі в прямокутник .
Рисунок 2 - Область: а
) ; б)
Далі маємо
За формулою (3)
2. У подвійному інтегралі  , де - круг, обмежений колом  , перейти до полярних координат з полюсом в точці , і обчислити отриманий інтеграл.
Розв’язання
Область зображена на рис.2.
Рівняння, які пов’язують  і полярні координати  з полюсом у точці , мають вигляд  , причому видно, що кут  змінюється в межах від до  .
Рисунок 3 - Область
Підставивши вирази для  і  в рівняння кола, отримаємо  , звідки  або  . Ці дві криві на площині при  обмежують область , яка є прообразом області при відображенні. Якобіан  відображення дорівнює  . Підінтегральна функція у нових змінних дорівнює  . За формулою (3) маємо
 .
Одержаний подвійний інтеграл за областю зводимо до повторного:
і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца:
2.
Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії
1. Площа плоскої фігури.
Якщо в площинізадана фігура, щомає форму обмеженої замкненої області,то площа  цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою:
 .
2. Об'єм тіла.
Об'єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі  і яке обмежене знизу областю площини , а зверху - поверхнею  , де функція неперервна та невід'ємна в області , знаходиться за формулою (2):
3. Площа поверхні.
Якщо поверхня  ,задана рівнянням
 (7)
проектується на площину в область (
рис.3) і функції ,  ,  неперервні в цій області, то площу  поверхні знаходять за формулою
 (8)
Рисунок 4 - Поверхня
Виведемо цю формулу. Розіб’ємо довільним способом область на  частин  , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють  .
У кожній частині візьмемо точку  ; на поверхні їй відповідатиме точка  , де  . Через точку проведемо дотичну площину  [3]
 .
На площині виділимо ту її частину, яка проектується на площину в область .
Позначимо цю частину дотичної площини через  ,
а її площу - через  . Складемо суму
 . (9)
Границю суми (9), коли найбільший з діаметрів  областей прямує до нуля, назвемо площею поверхні (
7), тобто за означенням покладемо
 . (10)
Обчислимо цю границю. Оскільки область , яка має площу , проектується в область з площею  , то  , де  - кут між площинами та (
рис.3), тому  .
Але гострий кут дорівнює куту між віссю і нормаллю  до дотичної площини, тобто куту між векторами  та  . Знайдемо за формулою (4)
 .
Отже,
 .
Підставляючи значення в (10), отримуємо
 .
Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області функції  . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).
1. Маса пластини.
Нехай на площині маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією  .
Маса такої пластини визначається за формулою (1.8):
 .
2. Центр маси пластини. Статичні моменти.
Нехай матеріальна пластина в площині має форму області , густина пластини в точці  дорівнює  , де - неперервна функція в області Розіб'ємо область на частини  ,виберемо в кожній з них довільну точку  і наближено вважатимемо, що маса  частини дорівнює  , де - площа області . Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці  , то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Тоді координати  та  центра маси пластини наближено визначатимуться рівностями
 .
Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при  . Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами
 . (11)
Величини
 (12)
називаються статичними моментами пластини
відносно осі та .
Враховуючи формули (8), (11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді
 .
Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину  , то у формулах (1.8), (11) і (12) слід покласти  .
3. Моменти інерції пластини.
Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.
Нехай матеріальна пластина має форму області
у площині ,а неперервна функція визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область на частини , площі яких дорівнюють  ,
і виберемо в кожній з цих частин довільну точку .
Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами  . Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі та відносно наближено визначатимуться за формулами
 .
Перейшовши до границі в кожній із сум при , отримуємо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:
 . (13)
Знайдемо момент інерції  пластини відносно початку координат.
Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки  з масою  відносно початку координат дорівнює  ,
аналогічно отримуємо, що
 . (14)
|
