ВВЕДЕНИЕ
Строение абелевых групп во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные подгруппы также играют существенную роль. Теорема, доказанная норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конечных групп. Она неоднократно обобщалась в разных направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.), так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами. Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
Говорят, что группа G действует на множестве М, если для каждых элементов ,  определен элемент  , причем  и me=m для всех ,  ; здесь e — единица группы G. Множество  называется орбитой элемента m. Очевидно, орбиты любых двух элементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество М разбивается на непересекающиеся орбиты. Людвиг Силов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow — фонетически правильней транслитерация «Сюлов»; 1832—1918) — норвежский математик. Автор нескольких работ по теории эллиптических функций и по теории групп. С 1858 по 1898 годы был учителем в школе в городе Фредериксхальд. В 1862 году Силов заменил профессора по теории Галуа в университете Христиании, где он поставил задачу, которая привела к наиболее важному результату его жизни — так называемым теоремам Силова, опубликованным в 1872 году.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕМЫ СИЛОВА
Пусть G – конечная группа, а р – простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка pt
называются р-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по р, то есть | G | = pn
s , где s не делится на р. Тогда силовской р-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок pn
. Под N(P) понимается нормализатор подгруппы Р в G.
Теорема 1.(первая теорема Силова).
Силовские р-подгруппы существуют.
Доказательство.
Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:
а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа  (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.
б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс Ka
, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pn
r, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.
Теорема 2.(вторая теорема Силова).
Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg − 1
, где g — элемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).
Доказательство
Итак, пусть силовские р-подгруппы в Gсуществуют и Р — одна из них. Пусть, далее,  — произвольная р-подгруппа группы G, не обязательно силовская. Заставим действовать левыми сдвигами на множестве  левых смежных классов Gпо Р. Длина любой орбиты относительно делит порядок  , . Таким образом,
где ,... — длины орбит. Так как НОД(m,p) = 1, то хотя бы одна орбита имеет длину pki
= 1, т. е.
 (1)
для некоторого элемента . Переписав соотношение (1) в виде , мы приходим к заключению, что
 (2)
(поскольку  — группа). В частности, если — силовская р-подгруппа, то | | = |Р|, и из (2) следует, что =.
Теорема 3(третья теорема Силова).
Количество силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p и делит порядок G.
Доказательство.
Рассмотрим несколько более общую ситуацию. Именно, пусть  , где  , t может делится на p, и пусть  - число всех подгрупп порядка  в G. Оказывается, что имеет место сравнение  , в частности, G содержит подгруппы любого порядка , s=1,2,…,n и  .
Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами группы G на себе индуцирует действие Gна множестве
всех -элементных подмножеств  . Причём  . Множество   разбивается на G-орбиты  , так что
 , 
где  - стационарная подгруппа некоторого представителя  .
Так как  , то  - объединение нескольких правых смежных классов G по  . Поэтому  , откуда  . В случае  имеем  . Равенства  и  эквивалентны. Получаем
 ( - некоторый элемент из G) и, стало быть,  - подгруппа порядка . Орбита  исчерпывается некоторым числом левых смежных классов  группы G по  .
Обратно: каждая подгруппа  порядка  приводит к орбите  длины t. Различные подгруппы  с  приводят к различным орбитам  , поскольку из  следует  , откуда  и  . Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами порядка и орбитами длины t. Тогда сравнение записывается как
Где следовало бы написать  , чтобы подчеркнуть зависимость от G.
Если взять за G циклическую группу порядка  , то для неё  и поэтому
Так как левые часть сравнений по одному и тому же модулю совпадают, то имеем
А это и даёт искомое сравнение
Получим полезное уточнение теорем Силова.
Теорема 4.
Справедливы следующие утверждения:
1).силовская p-подгруппа P группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда 
2).конечная группа G порядка  является прямым произведением своих силовских  - подгрупп  в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.
Доказательство.
1).Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка  , по второй теореме Силова сопряжены, и если P–одна из них, то
  нормальна в G
2).Если  - прямое произведение своих силовских подгрупп, то  нормальна в G как любой прямой множитель. Значит условие нормальности необходимо.
Пусть теперь нормальна в G,  , т.е.  . Заметим, что  . Стало быть,  , а отсюда для любых  имеем
Т.е. элементы  и  перестановочны.
Представим, что единичный элемент  записан в виде  , где  - элемент порядка  . Положив  и воспользовавшись перестановочностью  получим
Но так как а и  взаимно просты, то  . Это верно при любом j, и, стало быть, равенство  возможно лишь при 
С другой стороны, каждый элемент  порядка  ,  записывается в виде  ,  , . Достаточно положить  , где показатели определяются условиями
теорема силов конечная группа
 , 
Если теперь  - другая запись x в виде произведения -элементов, то в силу перестановочности ,  с различными нижними индексами будем иметь
 ,
что, как было показано выше, влечёт равенства
 , т.е.  .
Итак, каждый элемент группы G записывается, и притом единственным образом в виде .
Замечание
Нормальная силовская p-подгруппа P группы G характеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого автоморфизма  . Действительно,  , поэтому  - силовская р-подгруппа, и, стало быть,  , если . Аналоги силовских подгрупп прослеживаются в алгебраических структурах, далёких от конечных групп.
Следствие
Если все делители | G | , кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).
Примеры силовских подгрупп.
Пример 1.
Аддитивная группа кольца вычетов  разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами порядков  , если n имеет каноническое разложение n=.
Пример 2.
Силовские p-подгруппы симметрических групп. Как мы знаем,  Каков максимальный показатель e(n), при котором  делит n!? В последовательности 1,2,…,n кратными p будут числа p,2p,…,kp, где  , поэтому  . Так как  , то  Удобно разложить n по основанию p:  , тогда 
Рассмотрим сначала группы  , когда n степень p. Пусть в  уже найдена силовская p-подгруппа, т.е. подгруппа  порядка  . Построим по ней в  подгруппу  порядка  . Для этого разобьём переставляемые символы 1,2,…, на последовательные отрезки длины  . Если  и x – подстановка на символах i-го отрезка, то легко сообразить, что  - подстановка на символах (i+1)-го отрезка (сложение по модулю p). Отсюда видно, что подгруппа, порождённая подгруппами  , является из прямым произведением, и, стало быть, подгруппа , порожденная подгруппой и элементом с, изоморфна сплетению  . Подгруппа - искомая, так как  .
Одновременно мы видим, что силовская p-подгруппа в изоморфна последовательному сплетению (…( циклической группы  с самой собою mраз.
Теперь пусть n произвольно. Разобьём символы 1,...,n на  одноэлементных,  р-элементных и т.д. отрезков. На каждом из этих отрезков рассмотрим симметрическую группу – она будет некоторой степени , а в ней возьмём силовскую p-подгруппу, построенную как выше. Так как эти подгруппы действуют на непересекающихся множествах, то их порождение  является их прямым произведением, а потому имеет порядок
Следовательно, - силовская p-подгруппа в . Из построения видно, что она изоморфна прямому произведению нескольких последовательных сплетений типа (…(.
Пример 3
Рассмотрим общие линейные группы над конечными полями. Пусть p – простое число, m, n – целые числа  и  . Покажем, что  - силовская p-подгруппа группы  . Посчитаем порядки этих групп.
Какие n-ки над полем  могут быть первой строкой невырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме нулевой, т. е.  штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно взять любую, не пропорциональную первой; таких строк . Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух; это дает  возможностей. И так далее. Значит,  .
Так как угловые элементы матриц пробегают независимо друг от друга всё поле, а всего угловых мест  , то  . Из сравнения порядков мы видим, что - силовская p-подгруппа группы .
Нахождение силовской подгруппы.
Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
ГЛАВА 2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМ СИЛОВА
Задача 1.
Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой.
Решение
 , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N5 должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть простой.
Задача 2
Найти силовские р-подгруппы в группе всех матриц  с определителем 1 над полем из р элементов.
Решение.
Пусть  - группа с определителем 1 над полем из р элементов. Из разложения
полной линейной группы  в смежные классы по  следует, что
 (1)
Рассматривая как группу автоморфизмов двумерного векторного пространства V над , легко найти порядок  . Действительно, действует на множестве пар  базисных векторов. Образом  может быть любой отличный от нуля вектор  (их всего  штук), а при всяком выборе  образом  может быть любой вектор  из  (таких векторов имеется  штук). Стало быть,  , что в сочетании с (1) приводит к формуле
По крайней мере две силовские р-подгруппы группы мы находим сразу:
 ,  .
В соответствии с теоремой 3 имеем 
а так как
и, следовательно, нормализатор  содержит подгруппу
порядка p(p-1), то остаётся единственная возможность
 .
Между группой
и симметрической группой  непосредственно устанавливается изоморфизм
(обе группы имеют одинаковое задание образующими и соотношениями). При p>2 группа  имеет центр  порядка 2. Фактор- группа  , которую естественно называть проективной специальной группой(она является группой преобразований проективной прямой  ) , играет важную роль в алгебре со времён Галуа. Дело в том, что при p>3 группа  простая, и это, наряду с  ,- один из самых ранних примеров конечных простых групп.
Задача 3
Описать с помощью теоремы Силова все возможные типы групп порядка pq.
Решение
Пусть р, q — простые числа, р < q. Какой должна быть группа G порядка pq? Силовские р- и д-подгруппы из G, будучи подгруппами простого порядка, являются циклическими. Пусть (а), (b) — соответственно силовские р- и q-подгруппа. По теореме Силова число силовских q-подгрупп в G имеет вид 1+kq и делит pq, поэтому силовская q-подгруппа (b) единственна. В частности, она нормальна в G. Число силовских р-подгрупп имеет вид 1+кр и делит q, поэтому возможны два случая:
а) Силовская р-подгруппа (а) единственна. Тогда она нормальна и, значит, . Так как  , то  . Таким образом, в этом случае  .
б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это возможно лишь при условии  . Пусть  . Если r=1, то снова ,т. е. . Пусть  . Индукцией по х получаем  , откуда  для всех целых х, у. При х=р, у=1 это дает  , кроме того, получаем формулу умножения  .
Обратно, легко проверить, что если , ,  , то эта формула умножения определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец, решения сравнения составляют циклическую группу порядка р, поэтому те из них, которые , имеют вид  , где r — одно из них. Все эти решения определяют одну и ту же группу, так как замена порождающего а на  приводит к замене r на  .
Таким образом, с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq; их оказалось два — абелев и неабелев, причем второй существует только при условии .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При изучении абелевых групп видно, что их строение во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные р-подгруппы также играют существенную роль. В этом курсовой были доказаны теоремы Силова о конечных группах: для каждой степени  , делящей порядок группы, существует подгруппа порядка , причем если  делит порядок группы, то всякая подгруппа порядка содержится в некоторой подгруппе порядка ; все максимальные р-подгруппы попарно сопряжены в группе, а их число сравнимо с 1 по модулю р. Эта теорема была доказана норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году. В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами.
Из теоремы Силова вытекает, в частности, что силовские р-подгруппы конечной группы — это в точности подгруппы порядка  , где — максимальная степень р, делящая порядок группы. Отметим, что если число m делит порядок конечной группы G, но не является степенью простого числа, то в G может и не быть подгрупп порядка m — например, в знакопеременной группе А4 порядка 12 нет подгрупп порядка 6.
В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.
3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М.:Наука, 1982.
|
