Курсовая работа: Численные методы анализа

1. Численные методы решения систем линейных уравнений .

1.1 Заданная система

1.2 Метод Гаусса

(1.1.)

Прямой ход

Нормируем первое уравнение системы, разделив все члены уравнения на его первый коэффициент при :

(1.2.)

Умножим нормированное уравнение (1.2) на коэффициенты при х₁ оставшихся уравнений системы (1.1).

(1.3.)

(1.4.)

(1.5.)

Вычтем полученные уравнения (1.3.), (1.4.), (1.5.) из второго, третьего и четвёртого уравнения системы (1.1.) соответственно, чтобы исключить из системы х₁ :

(1.6.)

(1.7.)

(1.8.)

Получим новую систему уравнений:

(1.9.)

Рассмотрим систему уравнений (1.9).

Решим систему уравнений без первого уравнения системы (1.9.).

(1.10.)

Нормируем первое уравнение системы (1.10.), разделив все члены уравнения на коэффициент при :

(1.11.)

Умножаем нормированное уравнение (1.11.) на коэффициент при х₂ оставшихся уравнений:

(1.12.)

(1.13.)

Вычтем полученные уравнения (1.12.), (1.13.) из второго и третьего уравнения системы (1.10.) соответственно, чтобы исключить из системы х₂ :

(1.14.)

(1.15.)

Получим новую систему уравнений:

(1.16.)

Рассмотрим систему (1.16) без первого уравнения:

(1.17.)

Нормируем первое уравнение системы (1.17.).

(1.18.)

Умножаем полученное уравнение (1.18.) на коэффициент при х₄ второго уравнения системы (1.17.):

(1.19.)

Вычтем полученное уравнение (1.19.) из второго уравнения системы (1.18.):

(1.20.)

Получим новую систему линейных уравнений:

(1.21.)

Рассмотрим последнее уравнение системы (1.21.).

Нормируем данное уравнение:

(1.22.)

В результате выполненных действий система (1.1.) приведена к треугольному виду:

(1.23.)

Обратный ход

x₄ = 0,327;

Найдём из третьего уравнения системы (1.23.):

x₃ = 0,210+0,181·0,327=0,269;

Найдём из второго уравнения системы (1.23.):

x₂ = 0,525–0,346·0,269+0,508·0,327 = 0,598;

Найдём из первого уравнения системы (1.23.):

x₁ = -0,231–0,231·0,598–0,231·0,269+0·0,327 = -0,431

Решением системы линейных уравнений являются значения неизвестных:

Ответ: x₁ = -0,431;

x₂ = 0,598;

x₃ = 0,269;

x₄ = 0,327.

1.3 Метод простой итерации

Выполним проверку на сходимость

|a₁₁ |>|a₁₂ |+|a₁₃ |+|a₁₄ | → |13|>|3|+|3|+|0|

|a₂₂ |>|a₂₁ |+|a₂₃ |+|a₂₄ | → |14|>|1|+|5|+|-7|

|a₃₃ |>|a₃₁ |+|a₃₂ |+|a₃₄ | → |18|>|-2|+|1|+|-4|

|a₄₄ |>|a₄₁ |+|a₄₂ |+|a₄₃ | → |14|>|3|+|3|+|-4|

Условия сходимости выполняются, следовательно, решение может быть найдено с определенной точностью за некоторое число итераций.

Вычислим значения неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с точностью ε 0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значения, равные нулю, т.е.

x₁ ⁽⁰⁾ = 0; x₂ ⁽⁰⁾ = 0; x₃ ⁽⁰⁾ = 0; x₄ ⁽⁰⁾ = 0;

Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.

= -0,231

= 0,500

= 0,278

= 0,286

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽¹⁾ -x₁ ⁽⁰⁾ | = |-0,231–0| = 0,231 ε – нет

|x₂ ⁽¹⁾ -x₂ ⁽⁰⁾ | = |0,500–0| = 0,500 ε – нет

|x₃ ⁽¹⁾ -x₃ ⁽⁰⁾ | = |0,278–0| = 0,278 ε – нет

|x₄ ⁽¹⁾ -x₄ ⁽⁰⁾ | = |0,286–0| = 0,286 ε – нет

Выполним вторую итерацию.

Подставим значения неизвестных, полученные в первой итерации, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении .

= -0,410

= 0,560

= 0,288

= 0,308

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽²⁾ -x₁ ⁽¹⁾ | = |-0,410+0,231| = 0,179 ε – нет,

|x₂ ⁽²⁾ -x₂ ⁽¹⁾ | = |0,560–0,500| = 0,060 ε – нет,

|x₃ ⁽²⁾ -x₃ ⁽¹⁾ | = |0,288–0,278| = 0,010 ε – нет,

|x₄ ⁽²⁾ -x₄ ⁽¹⁾ | = |0,308–0,286| = 0,022 ε – нет.

Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении .

= -0,427

= 0,580

= 0,270

= 0,336

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽³⁾ -x₁ ⁽²⁾ | = |-0,427+0,410| = 0,017 ε – нет,

|x₂ ⁽³⁾ -x₂ ⁽²⁾ | = |0,580+0,560| = 0,020 ε – нет,

|x₃ ⁽³⁾ -x₃ ⁽²⁾ | = |0,270–0,288| = 0,018 ε – нет,

|x₄ ⁽³⁾ -x₄ ⁽²⁾ | = |0,336–0,308| = 0,028 ε – нет.

Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвертом приближении .

= -0,427

= 0,602

= 0,273

= 0,330

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽⁴⁾ -x₁ ⁽³⁾ | = |-0,427+0,427| = 0,000 ε – да,

|x₂ ⁽⁴⁾ -x₂ ⁽³⁾ | = |0,602–0,580| = 0,022 ε – нет,

|x₃ ⁽⁴⁾ -x₃ ⁽³⁾ | = |0,273–0,270| = 0,003 ε – нет,

|x₄ ⁽⁴⁾ -x₄ ⁽³⁾ | = |0,330–0,336| = 0,006 ε – нет.

Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвертом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении .

= -0,433

= 0,598

= 0,270

= 0,326

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽⁵⁾ -x₁ ⁽⁴⁾ | = |-0,433+0,427| = 0,006 ε – нет,

|x₂ ⁽⁵⁾ -x₂ ⁽⁴⁾ | = |0,598–0,602| = 0,004 ε – нет,

|x₃ ⁽⁵⁾ -x₃ ⁽⁴⁾ | = |0,270–0,273| = 0,003 ε – нет,

|x₄ ⁽⁵⁾ -x₄ ⁽⁴⁾ | = |0,326–0,330| = 0,004 ε – нет.

Выполним шестую итерацию.

Подставим значения, полученные в пятом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при шестом приближении .

= -0,431

= 0,597

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽⁶⁾ -x₁ ⁽⁵⁾ | = |-0,431+0,433| = 0,002 ε – нет,

|x₂ ⁽⁶⁾ -x₂ ⁽⁵⁾ | = |0,597–0,598| = 0,001 ε – да,

|x₃ ⁽⁶⁾ -x₃ ⁽⁵⁾ | = |0,269–0,270| = 0,001 ε – да,

|x₄ ⁽⁶⁾ -x₄ ⁽⁵⁾ | = |0,327–0,326| = 0,001 ε – да.

Выполним седьмую итерацию.

Подставим значения, полученные в шестом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при седьмом приближении .

= -0,431

= 0,598

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽⁷⁾ -x₁ ⁽⁶⁾ | = |-0,431+0,431| = 0,000 ε – да,

|x₂ ⁽⁷⁾ -x₂ ⁽⁶⁾ | = |0,598–0,597| = 0,001 ε – да,

|x₃ ⁽⁷⁾ -x₃ ⁽⁶⁾ | = |0,269–0,269| = 0,000 ε – да,

|x₄ ⁽⁷⁾ -x₄ ⁽⁶⁾ | = |0,327–0,327| = 0,000 ε – да.

Необходимая точность достигается в седьмой итерации.

Ответ: х₁ = -0,431,

х₂ = 0,598,

х₃ = 0,269,

х₄ = 0,327.

1.4 Метод Зейделя

Условия сходимости было проверено выше, оно выполняется.

Точность вычисления ε 0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значений, равные нулю.

x₁ ⁽⁰⁾ = x₂ ⁽⁰⁾ = x₃ ⁽⁰⁾ = x₄ ⁽⁰⁾ = 0;

Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.

= -0,231

= 0,517

= 0,223

= 0,288

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽¹⁾ -x₁ ⁽⁰⁾ | = |-0,231–0| = 0,231 ε – нет

|x₂ ⁽¹⁾ -x₂ ⁽⁰⁾ | = |0,517–0| = 0,517 ε – нет

|x₃ ⁽¹⁾ -x₃ ⁽⁰⁾ | = |0,223–0| = 0,223 ε – нет

|x₄ ⁽¹⁾ -x₄ ⁽⁰⁾ | = |0,288–0| = 0,288 ε – нет

Выполним вторую итерацию.

Подставим значения, полученные в первом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении .

= -0,402

= 0,593

= 0,264

= 0,320

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽²⁾ -x₁ ⁽¹⁾ | = |-0,402+0,231| = 0,171 ε – нет,

|x₂ ⁽²⁾ -x₂ ⁽¹⁾ | = |0,593–0,517| = 0,076 ε – нет,

|x₃ ⁽²⁾ -x₃ ⁽¹⁾ | = |0,264–0,223| = 0,041 ε – нет,

|x₄ ⁽²⁾ -x₄ ⁽¹⁾ | = |0,320–0,288| = 0,032 ε – нет.

Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении .

= -0,429

= 0,596

= 0,268

= 0,326

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽³⁾ -x₁ ⁽²⁾ | = |-0,429+0,402| = 0,027 ε – нет,

|x₂ ⁽³⁾ -x₂ ⁽²⁾ | = |0,596–0,593| = 0,003 ε – нет,

|x₃ ⁽³⁾ -x₃ ⁽²⁾ | = |0,268–0,264| = 0,004 ε – нет,

|x₄ ⁽³⁾ -x₄ ⁽²⁾ | = |0,326–0,320| = 0,006 ε – нет.

Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвёртом приближении .

= -0,430

= 0,598

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽⁴⁾ -x₁ ⁽³⁾ | = |-0,430+0,429| = 0,01 ε – да,

|x₂ ⁽⁴⁾ -x₂ ⁽³⁾ | = |0,598–0,596| = 0,002 ε – нет,

|x₃ ⁽⁴⁾ -x₃ ⁽³⁾ | = |0,269–0,268| = 0,001 ε – да,

|x₄ ⁽⁴⁾ -x₄ ⁽³⁾ | = |0,327–0,326| = 0,001 ε – да.

Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвёртом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении .

= -0,431

= 0,598

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

|x₁ ⁽⁵⁾ -x₁ ⁽⁴⁾ | = |-0,431+0,430| = 0,001 ε – да,

|x₂ ⁽⁵⁾ -x₂ ⁽⁴⁾ | = |0,598–0,598| = 0,000 ε – да,

|x₃ ⁽⁵⁾ -x₃ ⁽⁴⁾ | = |0,269–0,269| = 0,000 ε – да,

|x₄ ⁽⁵⁾ -x₄ ⁽⁴⁾ | = |0,327–0,327| = 0,000 ε – да.

Необходимая точность достигается в пятой итерации.

Ответ: х₁ = -0,431,

х₂ = 0,598,

х₃ = 0,269,

х₄ = 0,327.

2. Численные методы аппроксимации и интерполяции функций

2.1 Задание

Найти интерполяционный полином второго порядка

методом неопределённых коэффициентов, используя данные нулевого, второго и четвёртого опытов.

Найти аппроксимирующий полином первого порядка

методом наименьших квадратов.

Исходные данные

0 1 2 3 4

2.2 Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов реализуется подстановкой полинома в систему:

где 0, 2, 4 номера заданных точек.

Подставим значения неизвестных из таблицы в систему:

(2.1.1.)

Решим полученную систему методом Гаусса.

(2.1.2.)

Прямой ход

Все уравнения системы являются нормированными, поэтому сразу вычтем из второго и третьего уравнения первое, чтобы исключить из системы а₀ .

(2.1.3.)

(2.1.4.)

В итоге получаем систему уравнений:

(2.1.5.)

Рассмотрим систему (2.1.5.) без первого уравнения.

(2.1.6.)

Нормируем первое уравнение системы (2.1.6.):

(2.1.7.)

Умножим уравнение (2.1.7) на коэффициент при а₁ второго уравнения системы (2.1.6.):

(2.1.8.)

Вычтем полученное уравнение (2.1.8.) из второго уравнения системы (2.1.6.), чтобы исключить из системы а_1:

(2.1.9.)

В результате получим эквивалентную систему линейных алгебраических уравнений

(2.1.10.)

Нормируем последнее уравнение системы (2.1.10.)

(2.1.11.)

Получим систему, приведенную к треугольному виду.

(2.1.12.)

Обратный ход

а₂ = -1,861;

а₁ = 0,875–0,6·(-1,861) = 1,992;

а₀ = 0,3–0,01·(-1,861) – 0,1·1,992= 0,119

В итоге мы получаем интерполяционный полином второго порядка:

у = = -1,861 х² +1,992 х+0,119

Построим график интерполяционного полинома. Для этого вычислим его значения в определенных точках.

2.3 Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов реализуется с помощью, так называемой системы нормальных уравнений, имеющих матричный вид:

= 2,7

= 1,99

= 2,15

Выполним умножение матриц. Система нормальных уравнений примет вид:

(2.2.1)

Решим систему методом Гаусса.

Прямой ход

Нормируем первое уравнение системы (2.2.1)

(2.2.2)

Умножим полученное уравнение (2.2.2) на коэффициент при а₀ во втором уравнении

(2.2.3)

Вычтем уравнение (2.2.3) из второго уравнения системы (2.2.1), чтобы исключить а₀ из системы.

(2.2.4)

0,532а₁ = -0,071

Получим новую систему уравнений:

(2.2.5)

Нормируем второе уравнение системы (2.2.5)

(2.2.6)

В результате получим систему линейных уравнений треугольного вида.

(2.2.7)

Обратный ход:

а₁ = -0,133

а₀ = 0,43–0,54·(-0,133) = 0,502

Решив полученную систему, мы получили коэффициенты аппроксимирующего полинома первого порядка.

Полином будет иметь вид:

y = -0,133х+0,502

3. Численные методы решений нелинейных уравнений.

3.1 Исходные данные

Уравнение	Отрезок	Шаг
	[0; 1]	0,2

3.2 Отделение корней

Определим корни уравнения на отрезке [0; 1] с шагом 0,2

Подставим в функцию значение х, равное 0:

Подставим в функцию значение х, равное 0,2:

Подставим в функцию значение х, равное 0,4:

Подставим в функцию значение х, равное 0,6:

Подставим в функцию значение х, равное 0,8:

Подставим в функцию значение х, равное 1:

Из анализа полученных данных следует, что функция меняет знак на интервале [0,4; 0,6], следовательно, этот частичный интервал является интервалом изоляции корня, то есть на этом интервале существует корень, и при том единственный.

3.3 Уточнение корней методом половинного деления

Уточним корни уравнения с точностью ε 0,001

1) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)| ε → |0,066| 0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

f(a)∙f(c) = f (0,4)∙ f (0,5) = (+)∙(+) = (+)

Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.

Принимаем а = c = 0,5

В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,5; 0,6]

2) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)| ε → |0,013| 0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

f(a)∙f(c) = f (0,5)∙ f (0,55) = (+)∙(+) = (+)

Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.

Принимаем a= c = 0,55

В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,6]

3) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)| ε → |-0,013| 0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

f(a)∙f(c) = f (0,55)∙ f (0,575) = (+)∙(–) = (–)

Смена знака произошла, следовательно, корень находится на левой половине интервала изоляции корня.

Принимаем b= c = 0,575

В ачестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,575]

4) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)| ε → |0,000| 0,001 – да.

Необходимое условие достигается на четвёртом приближении, где х = 0,563

Ответ: х = 0,563

3.4 Уточнение корней методом Ньютона

За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).

Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:

Проверим условие сходимости в точке b = 0,6:

1) За начальное приближение к корню принимаем значение х₀ , равное 0,6

Вычислим первое приближение:

Погрешность вычисления:

Приближенное значение корня х = 0,563

Ответ: х = 0,563

3.5 Уточнение корней методом простых итераций

Приведем уравнение к каноническому виду.

За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).

Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:

Примем за нулевое приближение неизвестных значение

Выполним первую итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₁ -x₀ | = |0,5484 – 0,4| = 0,1484 < 0,001 – нет

Выполним вторую итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₂ -x₁ | = |0,5612 -0,5484| = 0,0128 0,001 – нет

Выполним третью итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₃ -x₂ | = |0,5627 – 0,5612 | = 0,0015 0,001 – нет

Выполним четвёртую итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₁ -x₀ | = |0,5629 – 0,5627| = 0,0002 0,001 – да

Приближенное значение корня х = 0,5629

4. Численные методы вычисления определенных интегралов

4.1 Исходные данные

Интеграл	Шаг	Точность
		0,001

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения x_i , где i = 0,1,2..n.

00,4142

0,09850,5345

0,1989 0,6682

0,3033 0,8207

1

Результаты сведены в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
x	0
f( x )	0	0,0985	0,1989	0,3033	0,4142	0,5345	0,6682	0,8207	1

4.2 Вычислим интеграл методом левых прямоугольников

I_лп = h·[f(x₀ ) + f(x₁ ) + f(x₂ ) + … + f(x_{n -1} )] = ·[0+0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1491

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1491| = 0,0239 = 0,001 – нет.

4.3 Вычислим интеграл методом правых прямоугольников

I_пп = h·[f(x₁ ) + f(x₂ ) + f(x₃ ) + … + f(x_n )] = ·[0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207+1] = 0,1982

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1982| = 0,0252 = 0,001 – нет.

4.4 Вычислим интеграл методом центральных прямоугольников

Вычислим значения подынтегральной функции в центре каждого выделенного интервала:

0,04910,4730

0,14830,5994

0,25050,7416

0,35780,9063

Результаты сведены в таблицу:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
x
f с ( x )	0,0491	0,1483	0,2505	0,3578	0,4730	0,5994	0,7416	0,9063

I_цп = h·[f ^с (x₁ ) + f ^с (x₂ ) + f ^с (x₃ ) + … + f ^с (x_n )] = ·[0,0491+0,1483+0,2505+0,3578+0,4730+

+0,5994+0,7416+0,9063] = 0,1731

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1731| = 0,0001 = 0,001 – да.

4.5 Вычислим интеграл методом трапеций

I_пп = h·[ + f(x₁ ) + f(x₂ ) + … + f(x_n-1 )] = ·[+0,0985+0,1989+0,3033+

+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1737

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1737| = 0,0007 = 0,001 – да.

4.6 Вычислим интеграл методом парабол

I_пп = ·[f(x₀ ) + f(x_n ) + 4·(f(x₁ ) + f(x₃ ) + … + f(x_{n -1} )) + 2·(f(x₂ ) + f(x₄ ) + … + f(x_{n -2} ))] =·[0 +1 + 4·(0,0985+0,3033+0,5345+0,8207) + 2·(0,1989+0,4142+0,6682)] = 0,1733

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1733| = 0,0003 = 0,001 – да.

5. Численные методы решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

5.1 Исходные данные

Уравнение	Начальные условия	Интервал	Шаг
	y(0) = 2,2	[0; 0,25]	0,05

Решим дифференциальное уравнение первого порядка в интервале [0; 0,25] с шагом 0,05 и начальными условиями y(0) = 2,2

5.2 Метод Эйлера

Запишем итерационные формулы метода Эйлера.

Вычислим значения функций при i = 0 :

Вычислим значения функций при i = 1 :

Вычислим значения функций при i =2 :

Вычислим значения функций при i = 3 :

Вычислим значения функций при i = 4 :

Результаты расчетов сведены в таблицу:

5.3 Модифицированный метод Эйлера

Запишем итерационные формулы модифицированного метода Эйлера.

Вычислим значения функций при i = 0 :

Вычислим значения функций при i = 1 :

Вычислим значения функций при i = 2 :

Вычислим значения функций при i = 3 :

Вычислим значения функций при i = 4 :

Результаты расчетов сведены в таблицу:

5 . 4 Усовершенствованный метод Эйлера – Коши

Запишем итерационные формулы улучшенного метода Эйлера – Коши.

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 0 :

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 1 :

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 2 :

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 3 :

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 4 :

Результаты расчетов сведены в таблицу:

численный уравнение интерполяция интеграл