МАТЕМАТИКА
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ
Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:
· відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;
· рівень навчальних досягнень учнів;
· ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних
закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.
При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.
Частина 1
ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ
Розташуйте у порядку спадання числа  ;  ;  .
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
| ; ; |
; ; |
;; |
; ; |
;; |
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.
Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
| 1150 |
1050 |
950 |
850 |
750 |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.
З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.
Розв’яжіть нерівність 
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.
Знайдіть область визначення функції  .
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.
Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.
Правильна відповідь : Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.
Обчисліть  .
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.
Розв’яжіть рівняння tg =
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
 |
 + |
 |
 |
інша відповідь |
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
9.
За видом графіка функції у
= кх
+ b
визначте знаки коефіцієнтів к
і b
.
Оберіть правильне твердження.
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.
Укажіть парну функцію.
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.
Обчисліть  
Правильна відповідь : А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивості логарифма.
Розв’яжіть нерівність  .
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
 |
(0; 10) |
(0,1; 10) |
(−10; 0) |
 |
Правильна відповідь : Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.
Розв’яжіть рівняння 
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.
Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння  .
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
| жодного |
один |
два |
три |
більше трьох |
Правильна відповідь : В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування рівнянь з модулем.
Знайдіть первісну функції  , графік якої проходить через точку з координатами (1;4).
Правильна відповідь : Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.
16.
На рисунку зображений графік функції  та дотичні до нього в точках  та  . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть  .
Правильна відповідь : А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Геометричний зміст похідної.
Градусна міра зовнішнього кута А
рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС)
становить  . Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В
.
| А |
Б |
В |
Г |
Д |
| 30о
|
40о
|
50о
|
60о
|
70о
|
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.
Точка М
– середина сторони квадрата АВС
D
. Площа зафарбованої частини дорівнює 7  . Знайдіть площу всього квадрата.
Правильна відповідь : В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Властивості квадрата. Площі рівних фігур.
Знайдіть координати точки М
, відносно якої симетричні точки  і  .
Правильна відповідь : А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.
Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см
.
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Знаходження об’єму тіла обертання.
Частина 2
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ
Обчисліть 
Правильна відповідь :  .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Дії над ірраціональними числами.
Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.
Правильна відповідь : 144.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Сума членів арифметичної прогресії.
Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності 
Правильна відповідь :  .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням:
Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.
На перегоні, довжина якого дорівнює   , поїзд рухався зі швидкістю на
10  менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48  . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?
Правильна відповідь : 60 
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.
Обчисліть 
Правильна відповідь : 0,5
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.
Розв’яжіть рівняння  . У відповідь запишіть суму коренів.
Правильна відповідь : 11 (або 8).
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.
Примітка.
Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-різному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.
Розв’язання.
Знайдемо область визначення:   
Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:
 звідси:
Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь  не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.
Розв’яжіть систему рівнянь
Запишіть у відповідь добуток  , якщо пара  є розв’язком вказаної системи рівнянь.
Правильна відповідь : 
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.
Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?
Правильна відповідь : 32.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.
Обчисліть 
Правильна відповідь : 4.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.
Знайдіть найбільше ціле значення параметра а
, при якому система рівнянь  має два розв’язки.
Правильна відповідь : 1.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.
Знайдіть найбільше значення функції  на проміжку  .
Правильна відповідь : 2.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.
Знайдіть найменше ціле значення параметра а
, при якому рівняння  має корені.
Правильна відповідь :
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.
Сторона рівностороннього трикутника АВС
дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний
добуток  .
Правильна відповідь : 12,5.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.
Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3
. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?
Правильна відповідь : 405.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.
35
. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2см
і нахилена під кутом  до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.
Правильна відповідь : 12  .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.
Частина 3
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ
36.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD (
S
– вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC
, проведеною з вершини D
, та середньою лінією трикутника ASC
, що паралельна основі піраміди.
Правильна відповідь : 
.
Розв’язання
(авторський варіант)
Нехай SABCD
– задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD,
і SO
її висота. Позначимо сторону основи АВ
через а
, тоді бічне ребро SA
= 2a
.
У трикутнику SDC
з вершини D
проведемо медіану DN,
N
– середина ребра SC
. У трикутнику ASC
проведемо середню лінію, паралельну AC
. Вона перетинає ребра SA
та SC
у точках М
та N
відповідно, AM =
MS
та SN =
NC
(за означенням середньої лінії). Оскільки АС
лежить у площині ABC
і MN
|| AC
, то MN
|| (ABC
). Прямі MN
та ND
перетинаються в точці N
, тому кут MND
є шуканим кутом між медіаною DN
трикутника SDC
і середньою лінією MN
трикутника ASC
. Позначимо  .
Діагональ АС
квадрата АВС
D
дорівнює  , тому середня лінія MN
=  .
Висота SO
піраміди перетинає MN
в точці L
. Оскільки трикутники ASC
і SMN
є рівнобедреними, то АО = ОС
і ML =
LN
=  .
З прямокутного трикутника   .
За теоремою Фалеса SL =
LO
=  SO
=  .
З прямокутного трикутника   .
Трикутник DNM
рівнобедрений, оскільки DM =
DN
як медіани рівних трикутників SAD
та SCD
. Медіана DL
є висотою. Отже, трикутник DLN
є прямокутним.
З трикутника DLN
маємо:
 .
Відповідь.
.
Схема оцінювання
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал
.
2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (
DM=
DN)
учень одержує ще 1 бал
.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN
, необхідні для знаходження кута  , він одержує ще 1 бал
.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.
· Якщо учень не з’єднує точки М
і Д
на рисунку, а розглядає кут як кут трикутника DLN,
то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN –
прямокутний.
Тоді має місце така схема оцінювання
:
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал
.
2. За обґрунтування того, що  учень одержує ще 1 бал
.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN
, необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал
.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.
· Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання
:
1. За правильне обґрунтування висоти SO
учень одержує 1 бал
.
2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал
.
3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал
.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал
.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали
.
37. Побудуйте графік функції  .
Розв’язання
Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність  Отже,  .
Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння  , звідки  .
Якщо  , то  .
Якщо   , то  .
Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.
Схема оцінювання
1. За правильно знайдене  учень одержує 1 бал
.
2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує 1 бал
.
3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує ще 1 бал
.
4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал
.
Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали
.
38. Розв’яжіть нерівність
 .
Правильна відповідь: при   ;
при   ;
при   .
Розв’язання
Визначимо область допустимих значень параметра а
:  .
Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:
Розв’яжемо спочатку першу систему.
Розглянемо нерівність  .
 .
- Якщо
 , то розв’язком першої нерівності даної системи буде  . Тоді розв’язком нерівності  буде  при  < <1. Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд при <<1.
- Якщо
 то розв’язком нерівності буде  , а нерівність  не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.
Розв’яжемо другу систему.
Розглянемо нерівність  .
Ураховуючи розв’язання попередньої системи, .
1. Якщо , то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.
2. Якщо  то розв’язком нерівності буде  . Тоді розв’язком нерівності  буде . Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд .
3. Якщо  , то одержимо нерівність  , звідси .
Отже, загальна відповідь: при  ;
при  ;
при .
Схема оцінювання
- Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а
і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал
.
- За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали
. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал
.
- За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали
. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал
.
- За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.
· Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів
,
то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:
- За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал
.
- За правильно знайдені нулі функції
 ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали
.
Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал
.
За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а
учень одержує 2 бали
.
Якщо учень розглянув один з випадків або , то він одержує лише 1 бал
.
За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.
· Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки:
, а=
1, ,
то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:
- Якщо учень дослідив випадок
 і одержав відповідь, то він одержує1 бал.
- Якщо учень дослідив випадок
 і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
- Якщо учень дослідив випадок
 і одержав відповідь, то він одержує2 бали.
- За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал
.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів
.
|
