Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Валентин Подвысоцкий
Уравнение:
X4 + TX2 + PX + Q = 0
|
(1)
|
имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.
Известно, что:
X1 + X2 + X3 + X4 = 0,
|
(2)
|
X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,
|
(3)
|
X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P,
|
(4)
|
Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,
|
(6)
|
(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P.
|
(7)
|
Составляем квадратное уравнение:
Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,
|
(8)
|
где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.
Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:
Y2 – (T + A)Y + Q = 0.
Решая уравнение (8) получаем:
X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2),
|
(9)
|
X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2).
|
(10)
|
Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.
|
(11)
|
Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:
X1X2 – X3X4 = Р/А1/2.
|
(12)
|
Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем
P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.
|
(13)
|
Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:
A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0.
|
(14)
|
Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:
X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0,
|
(15)
|
X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0.
|
(16)
|
Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,
|
(17)
|
X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.
|
(18)
|
Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.
|