Курсовая работа: Основы расчёта оболочек

Омский государственный технический университет

Кафедра “Авиа- и ракетостроение”

Специальность 160801 - “Ракетостроение”

Курсовая работа

по дисциплине

“Строительная механика летательных аппаратов”

Основы расчёта оболочек

Омск 2005

Содержание

1. Расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами

2. Исследование напряжённо-деформированного состояния полусферической оболочки, заполненной жидкостью

3. Исследование напряжённо-деформированного состояния сферической оболочки, заполненной жидкостью

4. Расчёт сферического топливного бака с опорой по экватору

5. Расчёт бака на прочность

Список литературы

1. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ ШПАНГОУТАМИ

Условие задачи. Рассмотрим цилиндрическую оболочку постоянной толщины , радиуса , подкрепленную шпангоутами, равномерно расположенными по её длине. Сечение шпангоута: . Оболочка нагружена избыточным давлением (рис.1).

Цель расчета. Определить минимальное расстояние между шпангоутами , которое позволяет исключить взаимное влияние на оболочку двух соседних шпангоутов.

Рис.1. Расчетная схема

Исходные данные

Погонная нагрузка МПа;

Радиус оболочки м;

Толщина оболочки м;

Ширина шпангоута , м;

Толщина шпангоута , м;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

коэффициент Пуассона ;

модуль Юнга

Выполнение расчёта

Расчётная схема 1. Шпангоуты абсолютно жёсткие

Определим цилиндрическую жёсткость оболочки по формуле:

;

Вычислим коэффициент затухания гармонической функции по формуле:

;

Определим силу взаимодействия между шпангоутами и оболочкой:

Определим перерезывающую силу на краю оболочки:

Определим погонный изгибающий момент в месте установки шпангоута:

Погонный изгибающий момент по длине оболочки, затухающий по периодическому закону, вычислим по следующей формуле:

где - число расчётных точек на всей области существования функции .

Принимаем .

Так как область существования гармонической функции определяется условием , то находим шаг вычислений момента из выражения:

;

Результаты расчёта заносим в таблицу 1 и вычерчиваем график функции (рис.2, рис.3).

С использованием графика определяем координату второй точки пересечения графика функции с осью абсцисс и находим минимальное расстояние между шпангоутами :

Расчётная схема 2. Расчёт подкреплённой оболочки с податливыми (упругими) шпангоутами

Найдём площадь поперечного сечения шпангоута :

Определим коэффициент податливости шпангоута :

Погонный изгибающий момент по длине оболочки с учётом податливости шпангоута:

Результаты вычислений заносим в таблицу 1 и строим график функции , совмещённый с графиком (рис.2, рис.3).

Определим в процентах снижение величины изгибающего момента при учёте податливости шпангоута:

;

Таблица 1

2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Условие задачи: Тонкостенный сосуд (рис.1), выполненный в виде полусферы, частично заполнен жидкостью. Закрепление оболочки по диаметру окружности – свободное.

Цель расчета:

1. Построить эпюры погонных меридиональных и кольцевых усилий.

2. Определить толщину стенки оболочки, без учёта её собственного веса.

Исходные данные:

Радиус сферы: м;

Угол зеркала жидкости: ;

Плотность жидкости (горючее):;

Коэффициент безопасности ;

Материал оболочки:

Марка ВТ6С (О);

предел прочности .

Выполнение расчёта

1. Расчёт участка оболочки над уровнем жидкости

Рассмотрим участок оболочки (рис. 1). На расстоянии от полюса отсекаем часть оболочки нормальным коническим сечением с углом широты (рис. 2).

1.1 Определяем границы участка BC: .

1.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:

,

где - вес жидкости, заполняющей полусферу; - координаты расчётного сечения; - меридиональная погонная сила.

1.3 Определяем высоту столба жидкости в полусферической оболочке:

1.4 Находим объём шарового сегмента, заполненного жидкостью:

1.5 Вычисляем вес жидкости по формуле:

1.6 Определяем текущий радиус кольцевого сечения оболочки:

1.7 Находим погонное меридиональное усилие из уравнения равновесия отсечённой части оболочки:

.

1.8 Определяем погонное кольцевое усилие для участка , используя уравнение Лапласа:

,

где , – главные радиусы кривизны расчётного сечения оболочки;

– интенсивность внешней нагрузки на стенку в расчётном сечении оболочки.

Для сферы R₁ = R₂ и для участка = -.

Результаты расчёта заносим в таблицу 1 при условии .

Таблица 1

2. Расчёт участка оболочки под уровнем жидкости

Рассмотрим участок оболочки (рис.1). Построим нормальное коническое сечение на расстоянии от полюса оболочки. Положение расчётного сечения определяется углом широты

2.1 Определим границы участка : .

2.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:

,

где - вес жидкости, заключённой в шаровом сегменте высотой ; - давление жидкости в расчётном сечении; - площадь поперечного сечения оболочки на уровне ; - радиус поперечного сечения оболочки на уровне .

2.3 Определяем составляющие уравнения равновесия:

Объём шарового сегмента:

,

где .

Вес жидкости: .

Давление жидкости на уровне от зеркала жидкости:

.

Площадь поперечного сечения

,

где .

Значения составляющих уравнения равновесия заносим в таблицу 2.

Таблица 2

2.4 Подставим найденные значения в уравнение равновесия и определим меридиональное усилие

: .

2.5 Получим выражение для погонного кольцевого усилия из уравнения Лапласа при

R ₁ = R ₂ = R ,

.

Результаты расчёта заносим в таблицу 3 при условии .

Таблица 3

По данным таблиц строим эпюры погонных усилий. Схема эпюры приведена на рис. 4.

С помощью эпюры определяем наиболее напряжённое сечение оболочки и максимальные усилия

.

3. Определение толщины стенки оболочки

3.1 Найдём допускаемое напряжение материала оболочки:

3.2 Определим толщину стенки:

,

3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Условие задачи: Построить эпюры безмоментных напряжений и для сферического сосуда (рис. 1), полностью заполненного жидкостью.

Исходные данные:

Радиус оболочки: м;

Плотность жидкости (окислитель):

;

Толщина стенки оболочки:

.

Рис. 1. Схема оболочки

Выполнение расчёта

1. Выводы расчётных зависимостей для верхней полусферы

В верхней полусфере отсечём часть оболочки нормальным коническим сечением с углом при вершине конуса и составим уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 2):

,

где – равнодействующая сил давления жидкости на стенку оболочки в проекции на

вертикальную ось.

Жидкость действует на стенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости на вертикальную ось определим по формуле:

,

где – объём цилиндра; – объём шарового сегмента, рис. 2.

,

где - высота столба жидкости в расчётном сечении.

Рис. 2. Расчётная схема

Получаем:

.

Из уравнения равновесия после подстановки выражения для силы имеем:

.

Отсюда меридиональное напряжение:

.

Определим кольцевое напряжение . Для этого обратимся к уравнению Лапласа, учитывая, что для сферической оболочки R ₁ = R ₂ = R ::

,

где - давление жидкости в рассматриваемом сечении оболочки.

После подстановки в уравнение Лапласа получаем:

.

Принимая угол в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1.

Таблица 1

2. Выводы расчётных зависимостей для нижней полусферы

Рис. 3. Расчётная схема

Отсечём нормальным коническим сечением часть сферы (рис. 3). Вес жидкости в объёме шарового сегмента и равнодействующая от гидростатического давления жидкости , находящейся выше рассматриваемого сечения, уравновешиваются реакцией опоры N и результирующим меридиональным усилием от погонных меридиональных сил, распределённых по круговому контуру шарового сегмента в сечении . Отсюда получим следующее уравнение равновесия:

,

где - реакция опоры, равная весу жидкости в объёме шара.

Н;

- гидростатическое давление жидкости;

- площадь поперечного сечения;

- вес жидкости в объёме шарового сегмента.

После подстановки получим:

Отсюда имеем:

.

Для нижней части полусферы определяем из уравнения Лапласа:

, где .

Отсюда:

.

Принимая угол в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2.

Таблица 2

Выводы

В опорной точке сферы безмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствием обращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения . В реальных условиях сосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеет место лишь в расчётной схеме.

Рис. 4. Эпюра напряжений и

4. РАСЧЁТ СФЕРИЧЕСКОГО ТОПЛИВНОГО БАКА С ОПОРОЙ ПО ЭКВАТОРУ

Условие задачи: Сферический топливный бак с опорой по экватору, заполненный жидкостью, находится под давлением наддува (рис.1, рис. 2).

Цель расчёта: Определить толщину стенки и массу конструкции бака при заданных размерах и нагрузке.

Исходные данные:

Радиус оболочки: м;

Плотность жидкости (горючее): ;

Давление наддува: ;

Уровень жидкости: ;

Коэффициент осевой перегрузки: ;

Коэффициент безопасности: ;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

предел прочности ;

плотность .

Примечание: Для упрощения принимаем: .

Выполнение расчёта

1. Расчёт оболочки над опорой

Формулы для расчёта погонных меридиональных и кольцевых усилий над опорой от действия давления жидкости и давления наддува имеют вид:

;

,

где – угол, отсчитываемый в плоскости меридиана от верхнего полюса;

– ускорение свободного падения.

Принимая угол в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения кольцевых и меридиональных усилий с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1.

Таблица 1

2. Расчёт оболочки под опорой

Выведем расчётные формулы для погонных меридиональных и кольцевых усилий от действия давления жидкости и давления наддува под опорой топливного бака . Составим уравнение равновесия внешних и внутренних сил для выделенного сечения оболочки (рис. 2) в проекции на вертикальную ось . Получим:

,

где – давление в рассматриваемом сечении; S – площадь расчётного поперечного сечения;

– вес жидкости в шаровом сегменте, отсечённом нормальным коническим сечением с углом ;

– равнодействующая погонных меридиональных усилий в проекции на ось .

Давление в произвольном сечении оболочки равно давлению наддува плюс давление столба жидкости над рассматриваемым сечением:

,

где h – высота столба жидкости от зеркала жидкости до расчётного сечения.

,

,

где - радиус рассматриваемого сечения.

Определим вес жидкости в шаровом сегменте: ,

где – объём шарового сегмента, отсечённого нормальным коническим сечением с углом .

.

Спроектируем погонные меридиональные усилия в расчётном сечении на вертикальную ось : .

Величина равнодействующей от распределённых по кольцу радиуса r меридиональных сил определяется по формуле:

.

Окончательно получаем .

Принимая угол в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2.

Таблица 2

Подставляем полученные выражения , S , , в уравнение равновесия и преобразовываем.

Получаем формулу для вычисления погонных меридиональных усилий:

.

Подставляя полученное выражение в уравнение Лапласа, определим погонные кольцевые усилия . Уравнения Лапласа в усилиях имеет вид:

,

где , – главные радиусы кривизны оболочки; – давление в рассматриваемом сечении.

Для сферического бака R ₁ = R ₂ = R , поэтому уравнение Лапласа принимает вид:

.

Подставив выражение в уравнение Лапласа и проведя преобразования, получим формулу для вычисления :

.

Принимая угол в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 3.

Таблица 3

Погонные усилия в сферическом баке принимают наибольшее значение в нижнем полюсе. Кроме того, в нижнем полюсе = . Сравнивая результаты вычислений значений , на экваторе для участков над опорой и под опорой, делаем вывод: усилия , терпят разрыв.

Определение толщины стенки бака

Расчёт на прочность производим по максимальным погонным усилиям.

Определяем напряжения в нижнем полюсе бака: ,

где – толщина стенки бака.

Подставив в эти формулы выражения для погонных меридиональных и кольцевых усилий, получим:

.

Минимальную толщину оболочки можно получить по формуле:

,

где – допускаемые напряжения.

Определяем массу оболочки бака:

,

где – площадь поверхности оболочки;

– плотность материала оболочки.

Построим эпюру погонных усилий , (рис. 3):

Рис. 3. Эпюра погонных усилий ,

5. РАСЧЁТ БАКА НА ПРОЧНОСТЬ

Условие задачи: Цилиндрический бак с верхним полуэллиптическим и нижним полусферическими днищами (рис.1) находится под действием давления наддува и заполнен жидкостью до уровня H .

Цель расчёта:

1. Определить величину безмоментных напряжений ;

2. Определить толщину обечайки и днищ бака.

Исходные данные:

Радиус бака: м;

Размеры эллиптического днища:

Высота столба жидкости: ;

Плотность жидкости (окислитель): ;

Давление наддува: ;

Коэффициент безопасности: ;

Материал оболочки:

марка ВТ6С (О);

предел прочности ;

.

Выполнение расчёта

Участок верхнего эллиптического днища

Рис. 2. Схема эллиптического днища

В днище нормальным коническим сечением I – I отсечём верхнюю часть оболочки и составим для неё уравнение равновесия. Выбираем оси координат так, как показано на рис. 2. Из уравнения равновесия и уравнения Лапласа получаем выражения для в расчётном сечении эллиптического днища в виде:

,

где , – радиусы кривизны рассматриваемого сечения оболочки,

,

,

где x, y – координаты точки в рассматриваемом сечении оболочки.

Для построения эпюр задаёмся значениями x. Координату y определяем из уравнения эллипса . Отсюда получаем

.

Меньшую полуось b разбиваем на 5 равных частей, для каждого сечения производим расчёты, результаты расчётов заносим в таблицу 1.

Таблица 1

Участок цилиндра над зеркалом жидкости

Рис. 3. Сечение II – II

Нормальным сечением к оси бака II – II отсечём часть цилиндра, расположенную над зеркалом жидкости (рис. 3). Составим уравнение равновесия для верхней отсеченной части оболочки в проекции на вертикальную ось:

.

Отсюда меридиональное напряжение:

Па.

Для цилиндра ; , поэтому из уравнения Лапласа получаем кольцевое напряжение:

Па.

Участок цилиндра под зеркалом жидкости

Рис. 4. Сечение III – III

Для сечения III – III расчётная схема (рис. 4) будет отличаться от показанной на рис. 3 тем, что здесь необходимо дополнительно учесть давление на стенку цилиндрической части бака со стороны жидкости.

Уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось бака остаётся без изменений:

.

Поэтому меридиональное напряжение не меняется:

Па.

Окружное напряжение определяем из уравнения Лапласа

,

где Па.

Отсюда Па.

Участок нижнего полусферического днища

Рис. 5. Сечение IV – IV

Для нижнего днища нормальным коническим сечением IV – IV с углом при вершине отсечём нижнюю часть сферической оболочки (рис. 5). Составим для неё уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось оболочки:

,

где r – радиус кольцевого сечения оболочки, ;

S – площадь поперечного сечения, ;

- давление в расчётном сечении оболочки, ;

G – вес жидкости в объёме шарового сегмента, ;

V_c – объём шарового сегмента, .

Подставляя значения r , S , , G в уравнение равновесия определяем меридиональное напряжение :

Уравнение Лапласа для сферической оболочки имеет вид:

.

Подставляя в уравнение Лапласа , находим кольцевое напряжение в сечении IV – IV :

.

Построим таблицу 2 значений и в зависимости от угла в диапазоне от 0˚ до 90˚ с шагом в 15˚:

Таблица 2

По полученным напряжениям в характерных сечениях бака строим эпюры напряжений и (рис. 6).

Определение толщины стенок бака

Для определения толщины днищ и обечайки бака используем следующее условие:

σ _max ≤ [σ ], где [σ ] = Па

Толщина стенки .

Получаем: для верхнего днища м;

для обечайки бака м;

для нижнего днища м.

Из расчётов видно, что δ _max = δ ₂ = 0,518 мм – окончательная толщина стенки бака. По расчётной толщине стенки подбираем толщину листа согласно ГОСТ 22178 – 76:

.

Рис.6. Эпюры безмоментных напряжений и

Список литературы

1. Расчёт безмоментных оболочек: Методические указания по дисциплине “Основы расчёта оболочек” для специальностей: 130600-Ракетостроение, 130400-Ракетные двигатели/ Сост. Л.И. Гречух, И. Н. Гречух.- Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002.- 32 с.