|
Контрольная работа
По дисциплине:
«Высшая математика»
Тема:
«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»
1
. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:
Пусть функция  непрерывна на  . Составим для нее определенный интеграл  . Пусть для определенности  на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием , которая ограничена линией .
Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования  на  , то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом  .
Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен  , а верхний может меняться, принимая значения , где  . В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения , то есть  . Если будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть  – непрерывная функция, которую можно дифференцировать.
Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть  или 
.
Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу:  , что, в свою очередь, приведет к приращению функции:  . Так как  , а  , то приращение функции определяется выражением:
 .
Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:
 , где  .
Составим отношение  . Чтобы получить производную  , перейдем в составленном отношении к пределу:  . Так как , то при стремлении  точка  будет стремиться к . Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: .
Из доказанной теоремы следует, что – это первообразная от  , следовательно, определенный интеграл  также является первообразной от , и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.
2
. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.
Теорема. Если какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула: 
.
В предыдущем пункте было показано, что – это первообразная от функции . Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если какая-то другая первообразная от той же функции , то  .
Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную  можно вычислить. Действительно, так как может принимать любые значения между и  (п. 1), то пусть  . Тогда:  . Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно,  . Значит,
 .
Положим теперь, что  , тогда
 .
Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:
 .
Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой .
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.
3
. Замена переменной в определенном интеграле
При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.
Теорема. Если в определенном интеграле  , где непрерывна на  , сделать замену переменной  и при этом:
1)  ,  ;
2)  и  непрерывны на  ;
3)  непрерывна на и при изменении  от  до  не выходит за пределы отрезка ,
то 
.
Пусть – какая-то первообразная от  , тогда  . Согласно формуле Ньютона – Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл:  . Но, как было показано в п. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда  . В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:
 .
У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:
 ,
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.
4
. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть даны функции  и  , которые непрерывны со своими производными на  . Составим их произведение и продифференцируем его:
 .
Возьмем от обеих частей полученного равенства определенные интегралы:
 .
Но  ,  ,  . Следовательно,  , откуда:  . Так же как и в неопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей  и  .
5
. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.
Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю
.
Итак, пусть кривая линия  описывается функцией  на отрезке  . При этом пусть  непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной  . Разобьем кривую на  частичных дуг точками  . Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:
 .
Обозначим:  ,  ,…,  ,…,  . Кроме того,  ,  ,…,  ,…,  . В таком случае  можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому
 .
Согласно теореме Лагранжа о среднем
 , где  ,
следовательно,
 .
Отсюда длина ломаной линии равна
 .
Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:
 .
Данный интеграл существует, поскольку по условию производная  непрерывна.
Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть
 .
Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):
 .
Отсюда следует, что
 .
6
. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании
Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть  при этом изменение  от  до  приводит к изменению  от до  . Пусть функции  и  непрерывны вместе со своими производными на отрезке  и при этом  . Тогда  , а  . Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):
 .
В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:
Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке  , то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле
 .
7
. Длина дуги в полярной системе координат
Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией  , где  . Пусть  непрерывна вместе со своей производной на отрезке .
Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат:  . Но так как , то получаем, что  . Иначе говоря, и  выражены через параметр  , поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):
Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:
 .
Обычно данную формулу записывают следующим образом:
 .
8
. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.
Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси  между точками  и  . Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь  его любого поперечного сечения плоскостью  , то есть плоскостью, перпендикулярной оси . Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то  . В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то  будет непрерывной функцией.
Разобьем отрезок  точками  на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси  . Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев:  .
Найдем приближенно величину объема  -ого слоя  . Для этого рассмотрим отрезок  , длина которого равна  . Возьмем некоторую точку  и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси . Если  достаточно мало, то слой, соответствующий объему  , можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным  . Но в этом случае, как и у кругового цилиндра,  . Отсюда следует, что
 .
Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция  по условию непрерывна, то предел этой суммы при  и  существует и равен определенному интегралу:
 .
Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:
 .
9
. Объем тела вращения
Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси . Пусть основанием этой трапеции является отрезок  , расположенный на оси , и она ограничена непрерывной кривой  . В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , будет круг, радиус которого совпадает со значением функции  в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна  .
Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:
 .
Если трапеция вращается вокруг оси  , то должна быть задана функция  на отрезке  . В этом случае объем тела вращения равен:
 .
Литература
1. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.
2. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.
3. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.
4. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.
|
