ПАКЕТЫ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

В настоящее время программные средства, ориентированные на решение математических задач (при этом, под математической понимается любая задача, алгоритм которой может быть описан в терминах того или иного раздела математики), весьма обширны и условно могут быть дифференцированы на пять уровней:

1. встроенные средства различной степени развития той или иной системы программирования; (системы программирования, как Basic, С, Pascal)

2. специальные языки программирования; (Fortran, Prolog)

3. узкоспециальные.( пакеты MacMath, Phaser, Eureka)

4. специальные (пакеты StatGraf, Macsyma, Dynamics, Derive)

5. общие пакеты. (MathCAD, REDUCE, MatLab )

Наконец, современное развитие компьютерных технологий, ориентированных на создание интегрированных пакетов multimedia- технологии привело к появлению но­вого уровня математических пакетов, из которых наиболее известными являются па­кеты MAPLE V фирмы Maple Software Inc. и Mathematica фирмы Wolfram Research Inc.

Пакет MATHCAD как средство решения математических задач.

Общая характеристика пакета

Пакет имеет естественный входной язык представления математических зависимостей и инструменты их набора типа предлагаемых в Microsoft Equation

Mathcad оборудован текстовым процессором, позволяющим, например, оформить статью без помощи специализированных средств.

Особенности ввода:

· Мнимая единица записывается как i или j сразу после числового множителя.

· Углы по умолчанию задаются в радианах.

· Латинские буквы, цифры и знаки операций, включая возведение в степень

· указывающие прядок действий круглые скобки

- набираются непосредственно с клавиатуры.

Нажатие [Ctrl+G] вслед за набором латинской буквы преобразует ее в греческую.

Умножение набирается как *, деление — посредством /. В процессе ввода, знак умножения автоматически заменяется точкой, а делимое и делитель представляются как числитель и знаменатель дроби. Знак возведения в степень переводит последующее выражение в показатель степени, а открывающая квадратная скобка — в индекс. Возврат на основной уровень строки, (а также переход к набору знаменателя) выполняется нажатием [Space].

Набор \ вызывает шаблон для квадратного корня, апострофа — появление круглых скобок вокруг выделенного подвыражения, вертикальной черты — шаблон для вычисления абсолютной величины или определителя матрицы.

Присваивание переменным; числовых значений производится набором кон­струкции <имя>:<число> (двоеточие будет заменено знаком присваивания).

Например x:6 получаем на экране x:=6.<

Вывод результатов выполняется по нажатию клавиши [=]. Знаки равенства в условиях и уравнениях набираются только по [Ctrl+=]. Набор завершается нажатием [Enter] или щелчком мышью вне поля набора.

Интерфейс пакета MATHCAD

MathCAD работает с документами . С точки зрения пользователя, документ - это чистый лист бумаги, на котором можно размещать блоки трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области.

Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение - слева направо и сверху вниз. Точка ввода на рабочем листе отмечается красным крестиком он называется «визир »

Математические выражения

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры.

Операторы - элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.

К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы)

Функции

Функция - выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение.

Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок.

Переменные в правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции.

Главным признаком функции является возврат значения , т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.

Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные. Способы вставки встроенной функции

· Выбрать пункт меню Вставка / Функция.

· Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E.

· Щелкнуть на кнопке

Текстовые области

Текстовая область предназначена для небольших кусков текста - подписей, комментариев и т. п. Вставляется с помощью команды Вставка / Текстовая область или комбинации клавиш Shift + " (двойная кавычка).

Графические области

Графические области делятся на три основных типа - двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим MathCAD на основании обработанных данных.

Для создания декартового графика :

1. Установить визир в пустом месте рабочего документа.

2. Выбрать команду Вставка / График / Х-У график, или нажать комбинацию клавиш Shift + @, или щелкнуть кнопку Графики. Появится шаблон декартового графика.

3. Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую - вторую и так до 10, например х1, х2, …

4. Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую переменную, через запятую - вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или соответствующие выражения.

5. Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X, Y).

Пример:

Решение математических задач с помощью MATHCAD

Численное решение нелинейного уравнения

Для простейших уравнений вида f (x ) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root.

root( f (х 1, x 2, … ), х 1, a, b )

Возвращает значение х 1 , принадлежащее отрезку [a, b ] , при котором выражение или функция f (х ) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы

f (х 1, x 2, … ) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х 1 - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b - необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b .

Приближенные значения корней (начальные приближения ) могут быть:

1. Известны из физического смысла задачи.

2. Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f (x ) = 0 - это точки пересечения графика функции f (x ) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x ) и отметить точки пересечения f (x ) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню.

Пример решения нелинейного уравнения:

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

_nx ⁿ _{+ ... + v2x} ² _{+ v 1x + v 0,}

_{лучше использовать функцию polyroots , нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.}

_{Polyroots(v )}

_{возвращает корни полинома степени n . Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n +1. Возвращает вектор длины n , состоящий из корней полинома.}

_{Аргументы: v - вектор, содержащий коэффициенты полинома.}

_{Вектор v удобно создавать использую команду Символы Þ Коэффициенты полинома.}

_{Пример нахождения корней полинома:}

_{Решение систем уравнений}

_{MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.}

_{Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:}

1. _{Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.}

2. _{Напечатать ключевое слово Given . Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.}

3. _{Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,}

4. _{Введите любое выражение, которое включает функцию Find , например: а:= Find(х, у) .}

_{Find (z 1, z 2, . . . )}

_{Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.}

_{Ключевое слово Given , уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find , называют блоком решения уравнений.}

_{Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find .}

_{Пример решение системы уравнений в MathCAD.}

_{Возможности пакета MAPLE для решения математических задач.}

_{Общая характеристика пакета}

_{Документ системы Maple состоит из различных объектов — текстовых областей, областей ввода, графических областей, секций, подсекций и т.д. На экране дисплея в среде Maple по умолчанию строки ввода прописаны красным цветом, ответ системы - синим, комментарии пользователя - черным. В строках рабочего листа после приглашения > набираются команды состоящие главным образом ввызове ее процедур. Команды выполняются последовательно сверху вниз. Команды Maple завершаются символами : или ; (первый вариант подавляет вывод). Часть строки после символа. # воспринимается как комментарий.}

_{Типы данных}

_{Входной язык пакета Maple не предусматривает обязательного объявления типов переменных. К встроенным типам данных, относятся рациональные, вещественные (с плавающей точкой), логические и символьные.}

_{Система имеет встроенные константы Pi, I = . Основание натуральных логарифмов е отсутствует, и работа с ним: заменяется ссылками на функцию ехр. В частности, собственно е приходится представлять как ехр(1). Бесконечность задается словом infinity. Все переменные по умолчанию считаются комплексными.}

_{Из элементарных объектов могут быть сформированы более сложные – множества и списки. Элементы множества перечисляются через запятую в фигурных скобках и порядок их не важен, элементы списка – в [ ] и порядок важен. Обычно решения уравнений выдаются в виде списка.}

_{Операторы обработки}

_{Для формирования выражений используют стандартные символы +, -, *, /, ^, !.}

_{Чтобы запомнить результаты вычислений необходимо присвоить некоторой переменной это значение. Ссылки на результаты трех предшествующих пунктов рабочего листа осуществляются с помощью знака %. Соответствующей кратности. Например:}

_{>ex:=expand((x+l)*(x~2-x+l)); #перемножить}

_ex:=x^3+1

_{>factor(%); #разложить на множители выражение, полученное в предыдущем пункте}

_{(x+l)(x^2-x+l)}

_{Примеры использования Maple для решения математических задач}

_{Решение уравнений и систем уравнений}

_{Используется оператор Solve(выражение, переменная) ;}

_{Пример :}

_{>ex:=x^2+2*x-12;}

_{>sol:=solve(ex,x);}

_{>sol:=[1,-1,,-];}

_{Если необходимо решить систему уравнений по одной или нескольким переменным данные необходимо вводить как множества - в фигурных скобках.}

_{Эквивалентные преобразования}

_{subs – выполняет замену переменных во втором аргументе согласно первому.}

_{Пример : > subs (x=sqrt(r), 3*x+x^2);}

_{expand - разворачивает произведения и функции сложных аргументов в суммы}

_{Пример :}

_{> expand((x+3)*(x-2));}

_{> expand(cos(x-y));}

_{factor выполняет противоположные преобразования.}

_{Пример:}

_{> factor(x^3-1,complex);}

_{normal - приводит выражение к форме многочленов или дробей, числитель и знаменатель которых – взаимно простые полиномы с целыми коэффициентами.}

_{Пример :}

_{> normal ((x^2-y^2)/(x-y)^3);}

_{combine – пытается объединить показатели степенных функций-сомножителей и понизить степени тригонометрических функций переходом к кратным углам.}

_{Пример :}

_{>combine(4*sin(x)^3,trig);}

_{>combine(exp(x)^2*exp(y),exp);}

_{Операции математического анализа}

_{Графические возможности пакета Maple}

_{Построение двумерных и трехмерных графиков.}

_{Используется команда Plot ( f, h, v, options) где f – задаваемая функция, h – диапазон аргумента (по умолчанию –10,10), v – диапазон значений функции (необязателен), options – опции, задающие вид координат, внешний вид графика и т.п.}

_{Столь же просто, как и график обычной функции в Декартовой системе координат, можно построить график трехмерной поверхности. В данном случае задана функция двух переменных Z(x,y):=sin(x*y) и ее график строится с использованием графической функции plot3d.}