Рассчётно-графическая работа С-7
«Определение реакции опор твёрдого тела»
| Cилы, кН |
Размеры, см |
| Q |
G |
a |
b |
c |
R |
r |
| 5 |
3 |
20 |
15 |
10 |
30 |
40 |
 
    
 
Результаты вычислений приведены в таблице:
| Силы, кН |
| RA
|
RB
|
xA
|
zA
|
xB
|
zB
|
| 3,56 |
3,36 |
3,53 |
0,67 |
-2,41 |
2,33 |
При нахождении  получилось, что значение составляющей по оси  отрицательно. Это значит, что при расставлении действующих на данную систему сил было выбрано неверное направление. В итоге правильное построение будет выглядеть следующим образом:
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её траектории».
| Уравнения движения |
t1
,c |
| x=x(t) |
y=y(t) |
 |
  |
2 |
1.
Скорость
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
 =>
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
После дифференцирования получим:
Найдём полную скорость точки в момент времени  :
2. Ускорение
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
 =>
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
После дифференцирования получим:
Найдём полное ускорение точки в момент времени :
С другой стороны ускорение можно найти по формуле:
 , где 
тангенциальное ускорение (касательная составляющая полного ускорения), а  нормальная составляющая полного ускорения, которые можно найти по формулам:
 ,
где  - радиус кривизны траектории в искомой точке.
 -0,0058 при  =2 с.
Тогда найдётся по формуле:
 
Подставив значения, получим:
Найдём уравнение движения точки. Для этого выразим из второго уравнения переменную времени () и подставим полученное выражение в первое уравнение:
Получившееся уравнение ( ) является гиперболой.
Найдём начальное положение точки. Для этого подставим в уравнения значение  .
Чтобы определить в какую сторону происходит движение необходимо подставить в уравнение движения время, отличное от  (например  ).
движение происходит по левой ветви гиперболы в направлении, указанном на рисунке.
Расставим на графике движения векторы скорости, ускорения и векторы полной скорости и ускорения:
 ,  |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
 , |
| 0,1875 |
3 |
3,0059 |
-0,0938 |
0 |
-0,0058 |
0,094 |
0,0938 |
96,12 |
Дано:
m1
= m
m2
= 2m
m3
= 9m
R3
= 0,3 м
i3ξ
= 0,2 м
α = 30
f
= 0,12
δ = 0,25 см
s = 1,5 м
Найти
:
V
1
= ?
Решение:
По теореме об изменении кинетической энергии системы:
  (т.к. система состоит из абсолютно твердых тел и нерастяжимых нитей)
Кинетическая энергия системы равна:
  
 
Сумма работ внешних сил:
 м/с
Интегрирование дифференциальных уравнений
Д-1 вар. 9
 Лыжник
Vв
  h
d
Дано
a=15° ; ; ƒ=0,1 τ=0,3 ;β=45α
h=42 β
Найти
Va, Vв
Решение
mX=SXi 1 Fтр=fN
mX=Gsina-Fcoпр N=Gcosa
mX=Gsina-fGcosa
X=gsina-fgcosa
X=(g(sina-fcosa) t+ C1
X=(g(sina-fcosa)/2) t2
+ C1
t+ C2
При нормальных условиях : t=0 x=0
X=Vв X= C2
=0; C1
=Va
X=g (sina-fcosa) t+ C1
X= (g (sina-fcosa)/2) t2
+С1
*t
X=VвX=L
Vв=g (sinα-ƒ*cosα)τ+Va2
L= ((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ+С1
*t
Рассмотрим движение лыжника от точки В до точки С, составим дифференциальное уравнение его движения.
Mx=0 my=0
Начальные условия задачи: при t=0
X0=0 Y0=0
X0=Vв*cosα ; Y0=Vв*sinα
Интегрируем уравнения дважды
Х=C3 Y=gt+C4 2
X= C3t+ C5 Y=gt /2+C4t+C6
при t=0
X=C3; Y0=C4
X=C5; Y0=C6
Получим уравнения проекций скоростей тела.
X=Vв*cosα , Y=gt+Vв*sinα
и уравнения его движения
X=Vв*cosα*tY=gt /2+Vв*sinα*t
Уравнение траектории тела найдем , исключив параметр tиз уравнения движения получим уравнение параболы.
Y=gx/2(2Vв*cosα) + xtgα
Y=hx=dh=tgβ*dd=h/tgβ
Найдём Vв из уравнения 2 2 2
Y=gx/2(2Vв*cosα) + xtgα
Vв=18м/с и найдём Va
Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ+Va
Va=11,3м/с
Ответ: Va=11,3м/с Vв=18м/с
Задание Д.3
Исследование колебательного движения материальной точки
Дано:
Найти:
Уравнение движения
Решение:
Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение  . Направим ось  вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:
 ,
где  -сумма проекций на ось сил, действующих на груз.
Таким образом
Здесь  ,
где  - статическая деформация пружины под действием груза;  -перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону   .
Статическую деформацию пружины найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза:
т.е. 
Откуда 
Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:
или после преобразования
Разделив все члены уравнения на  получим:
Введем обозначения:
Получаем, что 
Имеем неоднородное уравнение
 ,
где  - общее решение, соответствующего однородного уравнения;
 - частное решение данного неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Частное решение неоднородного уравнения:
Общий интеграл
Для определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для  :
и используем начальные условия задачи.
Рассматриваемое движение начинается в момент  , когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза.
Таким образом, при 
Составим уравнения  и  для :
Откуда 
Тогда уравнение движения груза примет вид:
Ответ:
Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.
Дано:
 
Найти:
Скорость  .
Решение:
На механическую систему действуют внешние силы:  - сила сухого трения в опоре А;  - силы тяжести тел 1, 2 и 3;  -сила нормальной реакции в точке А;  -реактивный момент в опоре В.
Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат
 , (1)
где  - проекции вектора количества движения системы на оси координат;  - суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.
Количество движения системы тел 1, 2 и 3
 (2)
где 
 . (3)
Здесь  - скорости центров масс тел 1, 2, 3;  - соответственно переносные и относительные скорости центров масс.
Очевидно, что
 (4)
Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4)
 (5)
где - проекция вектора  на ось ;
Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси
 (6)
Знак « - » соответствует случаю, когда  , а знак «+» - случаю, когда  .
Подставляя (5) и (6) в (1), получим
 (7)
Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим
 при  ; (8)
 при  . (9)
где
Рассмотрим промежуток времени  , в течении которого тело 1 движется вправо . Из (8) следует, что
 ,
где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при 
 .
При  скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому  .
Найдем значения  и  :
Т.е.  ,  . Значит, тело при начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии:  ;  (10)
Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при 
 (11)
При получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда
  .
Точное решение задачи.
Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1:
 при (12)
 ; при , (13)
где 
Из (12) и учитывая, что  получаем, при
откуда  или 
Из (13) и учитывая, что  получаем, при
При находим
Ответ
:  .
|
