1.
2.
Спектры непериодических сигналов
Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t1
t2
. Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t1
t2
, далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь:
Полученный ряд на участке t1
t2
будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t1
t2
, то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим
 
 
где
- спектральная плотность сигнала s(t).
Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты.
Если 
, то 
- модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика.
- фазово-частотная характеристика.
Необходимое условие существования спектральной плотности 
Пример. Спектр прямоугольного сигнала
Согласно формуле Эйлера 
- площадь под импульсом.
1.1 Свойства преобразования Фурье
а) Сдвиг сигнала во времени
s2
(t)=s1
(t-t0
).
 
Сдвиг во времени функции s(t)
на ±t0
приводит к сдвигу фазы спектра на ±wt0
.
Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.
б) Сжатие и расширение сигнала
s2
(t)=s1
(nt)
.
При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что 
где 
.
В реальности это проявление принципа неопределенности: 
При 
при несреднеквадратичном определении 
и 
.
в) Дифференцирование и интегрирование сигнала
Аналогично спектральная плотность интеграла 
равна 
г) Сложение сигналов (линейность преобразования)
- из-за линейности операции интегрирования.
д) Спектр произведения двух функций
Изменяем порядок интегрирования:
Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем 
).
Аналогично можно показать, что свертке двух функций 
соответствует спектр
являющийся произведением исходных спектров.
е) Взаимная обратимость s(t) и
.
; 
Для четного сигнала s(t)=s(-t),
и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для
можно поменять знак в экспоненте 
Тогда, если по функциональной зависимости 
то 
1.2 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Найдем спектр квадрата функции s(t).
- используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.
В частном случае (
) будем иметь:
. Переходя от 
к
и т. к. 
, комплексное сопряжение 
.
- равенство Парсеваля.
- спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е
- полная энергия сигнала.
Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:
- при симметричной 
Примеры.Спектр Гауссова (колокольного) импульса
, -¥ < t
< ¥, а
- условная половина длительности на уровне 0,606.
.
Произведем преобразование в показателях степени:
где d - определяется из условия:
откуда 
.
При d
- конечном 
т. к. 
.
Тогда 
т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму: 
.
Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим 
при среднеквадратичном их определении.
Спектр d-функции
.
В качестве d
-функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.
1.3 Свойства d-функции
1) 
- фильтрующее свойство.
2) Четность 
3) Нормировка 
Спектральная плотность
.
При t0
= 0,
,
при t0
¹ 0,
.
- это спектральное определение d
-функции.
Аналогично 
- определение d
-функции в частотной области.
Спектральная плотность гармонического колебания
 |
Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье функции s(t)
является ее абсолютная интегрируемость
Применениеd-
функции позволяет получить спектральную плотность и для неинтегрируемых функций.
|
Пусть 
Найдем спектральную плотность, формально не обращая внимания, что сигнал абсолютно не интегрируем.
Произведем замену 
.
Но 
тогда
.
Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах ±w0
.
В частности, для постоянного напряжения w0
= 0, 
Задание 2
В соответствии с номером варианта (последняя цифра в номере списка группы) определить энтропию источника сообщений.
| 4 |
0,15 |
0,01 |
0,09 |
0,25 |
0,01 |
0,04 |
0,1 |
0,18 |
0,02 |
0,15 |
Задание 3
Для источника сообщений предыдущего задания построить эффективный код Хаффмена.
| x4
|
0,25 |
0,25 |
0,25 |
0,25 |
0,25 |
0,25 |
0,
32
|
0,4
3
|
0,5
7
|
1
|
| x8
|
0,18 |
0,18 |
0,18 |
0,18 |
0,18 |
0,25
|
0,25 |
0,32 |
0,43 |
| x6
|
0,15 |
0,15 |
0,15 |
0,15 |
0,1
7
|
0,18 |
0,25 |
0,25 |
| x9
|
0,15 |
0,15 |
0,15 |
0,15 |
0,15 |
0,17 |
0,18 |
| x3
|
0,10 |
0,10 |
0,10 |
0,10 |
0,15 |
0,15 |
| x7
|
0,09 |
0,09 |
0,09 |
0,03 |
0,10 |
| x10
|
0,04 |
0,04 |
0,04 |
0,
08
|
| x1
|
0,02 |
0,02 |
0,0
4
|
| x2
|
0,01 |
0,0
2
|
| x5
|
0,01 |
 |
 
    x1-110X8
 x2-1110001
 x3-1111
 
x4-10x5-1110000
  x6-11101
x7-010
 
 
x8-00 x9-111001
 
x10-011
Задание 4
Построить двоичный групповой помехоустойчивый код Хэмминга для исправления одиночных ошибок. Количество передаваемых сообщений – 45.
Дать описание построенного кода в виде проверочных равенств и матрицы.
k=3
m=3
n=m+k
n=6
(6,3)
Исходный код:
k1
k2
k3
Код Хэмминга:
m1m2k1m3k2k3
a1
a2
a3
a4
a5
a6
Варианты разрядов в которых может возникнуть ошибка
Номера разрядов в которых может возникнуть ошибка
Значения проверочных битов
Проверочные равенства:
 – проверочный синдром, указывающий номер бита с ошибкой
Проверочная матрица:
Пример:
Закодируем сообщение 101
Исходный код
Закодированный код
Найдем проверочные разряды
Получаем код
Смоделируем ошибку при передаче сообщения. Инвертируем 5 бит сообщения 101101 и получим 10111
1.
Представим принятый код в виде
Используя проверочные равенства найдем
Получаем проверочный синдром S(101), который указывает на ошибку в 5 бите. Для исправления ошибки необходимо проинвертировать указанный бит 10110
1. В результате получаем исходный закодированный код. Для его декодирования необходимо исключить из сообщения биты 1,2, и 4 биты. Получаем исходный код 101.
Литература
1. Блейтхут Р. Для теории и практики кодов, контролирующих ошибки. / Под общей редакцией К. Ш. Зигангирова . -г. Москва.: Мир, 2003.
2. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. – М.: Высшая школа, 1989.
3. Мсхаля Ж. Основы современных информационных технологий. Учебное пособие для вузов. М.: АСВ, 2003.
4. Методические указания к лабораторным работам по курсу "Элементы теории информации" для студентов специальности "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем" / Составители: В.Н. Ярмолик, А.В. Литвиненко, А.И. Янушкевич. – Мн.: БГУИР, 1996.
|
