Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Матричная форма формулы Крамера

Название: Матричная форма формулы Крамера
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 23:33:51 05 июля 2011 Похожие работы
Просмотров: 1600 Комментариев: 19 Оценило: 4 человек Средний балл: 4.3 Оценка: неизвестно     Скачать

С.К. Соболев

Матричный способ решения СЛАУ, формулы Крамера, свойство присоединенной матрицы и основное свойство линейной зависимости.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ), содержащую
т уравнений и п неизвестных:

(1)

Пусть

– матрица коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов (чисел стоящих справа от равенства в системе (1)) и столбец неизвестных соответственно системы (1). Матрица А называется основной матрицей системы (1). Тогда очевидно, что система (1) может быть кратко записана в матричной форме . Форма (1) называется координатной записью системы.Если , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, то СЛАУ называется «квадратной », она принимает вид:

(2)

Если же матрица А к тому же не вырождена, т.е. , то тогда СЛАУ (2) можно решить как матричное уравнение по формуле

. (3)

Этот метод называется матричным способом решения СЛАУ (2).

Пример. Решить систему матричным способом, если это возможно:

Решение . Запишем эту систему как матричное уравнение , где
, . Вычисляем: , следовательно, матричный способ применим. Находим обратную матрицу:

Следовательно,
.

Ответ:

Формулы Крамера для решения СЛАУ

Эти формулы применимы для решения СЛАУ при тех же условиях, что и матричный способ, а именно, когда матрица А коэффициентов при неизвестных этой СЛАУ квадратная и не вырожденная . Для нахождения неизвестных квадратной системы (2) надо вычислить главный определитель , убедиться что , и затем вычислить п вспомогательных определителей , где определитель () получается из главного определителя заменой в нем k -го столбца на столбец В свободных членов:

Тогда решением системы (2) будет: .

Вывод формул Крамера . Распишем подробно формулу (3) .

Вспомним, что , где – алгебраическое дополнение элемента , равное , а – определитель порядка , полученный из главного определителя D вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Получим

.

Итак, матричный способ дает формулу

(4)

Сравним эту формулу с выражением для , полученным по формуле Крамера:

. (5)

Заметим, что у всех элементов k -го столбца этого определителя алгебраические дополнения точно такие же, как и у элементов k -го столбца матрицы А . Поэтому, разложив определитель в (5) по этому столбцу, получим:

. (6)

Полученная формула (6) в точности совпадает с (4). Формулы Крамера доказаны.

Пример. Решить систему методом Крамера, если это возможно:

Решение . Вычислим главный определитель системы: , следовательно, метод Крамера применим. Далее вычислим три вспомогательных определителя:

Следовательно, .

Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы

.

Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:

(1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов) :
(разложение по i -й строке),
(разложение по j -му столбцу)

(2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов) :
, (для строк, при ),
(для столбцов, при )

Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю .

Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе
j - строку на строку с номером i . Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j -й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j -й строке, получим:

Аналогично доказывается для столбцов.

Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:

Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.

Основное свойство линейной зависимости : Пусть даны n векторов линейного пространства , и еще какие-то т векторов этого же пространства, каждый из которых линейно выражается через , причем, . Тогда векторы линейно зависимы .

Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Хватит париться. На сайте FAST-REFERAT.RU вам сделают любой реферат, курсовую или дипломную. Сам пользуюсь, и вам советую!
Никита09:07:30 04 ноября 2021
.
.09:07:28 04 ноября 2021
.
.09:07:26 04 ноября 2021
.
.09:07:22 04 ноября 2021
.
.09:07:20 04 ноября 2021

Смотреть все комментарии (19)
Работы, похожие на Реферат: Матричная форма формулы Крамера

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(288029)
Комментарии (4159)
Copyright © 2005-2021 HEKIMA.RU [email protected] реклама на сайте