МПС РФ
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра “Вагоны”
Курсовой проект
По дисциплине “Строительная механика и динамика вагонов”
Екатеринбург
2001
Содержание
1 Цель работы и решаемые задачи
2 Объект исследования
3 Динамическая система и метод расчета
3.1 Допущения по расчетной модели
3.2 Источник возмущений
3.3 Метод расчета и уравнения колебаний системы
3.4 Структура физико-математической модели динамической системы и ее топологическая модель
4 Инерционно-топологическая модель вагона
4.1 Характеристика инерционно-топологической подсистемы
4.2 Характеристики инерции
4.3 Математическая инерционная модель
5 Виброзащитная модель динамической системы
5.1 Характеристики рессорного подвешивания двухосной тележки грузового вагона
5.2 Нагруженность системы силами упругости и реакциями сил упругости
5.3 Математическая модель виброзащитной системы вагона
6 Внешняя нагруженность динамической системы
6.1 Физическая модель нагруженности вагона
6.2 Математическая модель внешних возмущающих нагрузок
6.3 Математическая модель динамики вагона на рессорах
7 Свободные колебания вагона на рессорах
7.1 Уравнения свободных колебаний вагона
7.2 Определение частот свободных колебаний
7.3 Формы колебаний вагона
8 Вынужденные колебания вагона на рессорах
8.1 Резонансные колебания кузова вагона
8.2 Определение параметров гасителей колебаний
Литература
Целью работы является:
- изучение метода расчета динамической системы;
- исследование колебаний вагона на рессорах.
Решаемые задачи:
- определение характеристик расчетных моделей подсистем;
- изучение свободных и вынужденных колебаний;
- определение параметров гасителей рессорного подвешивания вагона.
Объектом исследования является модель крытого вагона 11-066 с одинарным рессорным подвешиванием.
Таблица 2.1
Характеристика задания
№ вар
|
Тип вагона и его модель
|
Степень загрузки
|
Число пружин в рессорном комплекте
|
Неровность (П,К)
|
по массе
|
по объему
|
амплитуда
, мм
|
длина волны ,
м
|
1
|
11-066
|
1
|
1
|
7
|
8
|
12,5
|
Таблица 2.2
Параметры модели кузова
и груза
Название элемента
|
Обозначение
параметра
|
Значение
|
Внутренние размеры кузова, мм:
– длина;
– ширина;
– высота по боковой стене
|
L
B
H
|
13844
2760
2791
|
База модели, мм
|
2l
|
10000
|
Размеры элементов кузова, мм:
– толщина торцевой стены;
– толщина боковой стены;
– высота рамы.
|
aT
aБ
hp
|
20
20
360
|
Поперечное расстояние между осями рессорного подвешивания, мм:
|
2b
|
2036
|
Массы вагона (тары), кг;
|
MВ
|
22000
|
Масса груза, кг;
|
MГ
|
68000
|
Масса тележки, кг;
|
MТ
|
4800
|
Масса надрессорной балки, кг;
|
MНБ
|
600
|
При выборе динамической расчетной модели принимаем следующие допущения:
· динамическую систему представляем в виде системы твердых тел;
· полагаем, что в рессорном подвешивании отсутствуют диссипативные силы сухого и вязкого трения, система вследствие этого будет являться консервативной;
· грузы рассматриваем как твердые тела с жестким присоединением к кузову вагона;
· рессорные комплекты тележек имеют линейную силовую характеристику;
· путь считаем абсолютно жестким.
В качестве источника возмущения принимаем гармоническую неровность первого вида:
,(3.1)
где - частота изменения гармонической неровности:
,(3.2)
- скорость движения вагона.
Физическая модель метода расчета
Для расчета системы используем метод реактивных усилий. Колебания кузова в пространстве определяем по движению центра масс кузова : тремя линейными и тремя угловыми его перемещениями по направлению координатных осей кузова (рисунок 4.1).
Движение всех других частей кузова находим по колебаниям центра масс кузова и координатам этих частей, .
Узел , движение которого будем изучать, условимся называть центрально-координатным узлом.
Центрально-координатный узел полагаем имеет внутренние линейные и угловые связи по направлению координатных осей . Считаем, что все усилия, действующие на рассматриваемое тело, через внутренние элементы-вставки передаются в связи центрально-координатного узла и здесь взаимно уравновешиваются на основании принципа Лангранжа-Деламбера.
Усилия, которые подходят к узлу, являются активными. Они вызывают в связях реакции: - сил инерции, - сил упругости, - сил вязкого трения, - возмущающие силы и другие, равные по величине активным силам и противоположно по направленные, где - номер реакции и номер перемещения.
По видам перемещений кузова колебаниям присвоены названия:
- колебание подергивания (линейное по оси );
- колебание подпрыгивания (линейное по оси );
- колебание бокового относа (линейное по оси );
- колебание бокового поворота (угловое вокруг оси );
- колебание виляния (угловое вокруг оси );
- колебание галопирования (угловые вокруг оси ).
Уравнения колебаний вагона
Уравнения колебаний вагона в общем случае запишутся из уравнений равновесия реакций в центрально-координатных связях кузова:
(3.3)
Для сил инерции и сил упругости с линейными характеристиками значения реакций будем записывать через коэффициенты от единичных воздействий:
(3.4)
где - коэффициенты реакций сил инерции и упругости от единичных возмущений: .
Уравнения колебаний (3.3) в этом случае можно представить в развернутой записи как систему уравнений вида:
(3.5)
По видам нагрузок и подконструкций расчетную модель вагона представим в виде отдельных подсистем – блок-моделей.
В общем случае основными подсистемами расчетной модели являются:
1. Топологическая модель;
2. Инерционная модель;
3. Виброзащитная модель;
4. Диссипативная модель вязкого трения;
5. Диссипативная модель сухого трения;
6. Модель возмущающих нагрузок;
7. Гравитационная модель сил тяжести.
Частную топологическую модель представляем в виде невесомых подконструкций, с соответствующими размерами и связями между ними, массами, силовыми устройствами, центрально-координатными узлами.
Топологическая модель подразделяется на отдельные подсистемы, работающие с заданным видом нагрузок блок-моделей.
Топологическими характеристиками динамической системы являются:
· общие размеры динамической системы;
· геометрические размеры отдельных элементов, узлов, частей, единиц подвижного состава;
· положение центров масс и координатных осей подконструкций.
В качестве частей конструкции в физических моделях выступают: кузов вагона, рамы тележек, колесные пары, рессорные комплекты, подрессоренные грузы и т.п.
В расчетных моделях узлы подконструкций в зависимости от вида их нагрузок будем в дальнейшем называть инерционными, виброзащитными, диссипативными и так далее.
Для определения характеристик инерции разбиваем кузов на узлы инерции: раму, торцевые и боковые стены, крышу, надрессорные балки, груз и указываем размеры частей на схеме (рис 4.1)
Считаем в инерционных элементах (частях кузова) массы распределенными равномерно по их объемам.
Заменяем распределенные массы элементов на сосредоточенные и располагаем их в центрах масс элементов.
Для определения координат центров масс элементов и кузова принимаем начальную систему координат . Ось направим по оси автосцепки, другие - - по осям симметрии кузова (рисунок 4.1).
Координаты центров тяжести элементов в системе координат заносим в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Характеристики узлов
M, кг
|
l, мм
|
b, мм
|
h, мм
|
x, мм
|
y, мм
|
z, мм
|
Рама
|
7000
|
13870
|
3200
|
360
|
0
|
-1367
|
0
|
Тор. стена
|
350
|
20
|
2760
|
2791
|
6925
|
118,6
|
0
|
Бок. стена
|
1559
|
13870
|
20
|
2791
|
0
|
118,6
|
1590
|
Крыша
|
1603
|
13870
|
3200
|
587
|
0
|
1777
|
0
|
Груз
|
68000
|
13844
|
2760
|
2791
|
0
|
118,6
|
0
|
Над. Бал.
|
600
|
325
|
2590
|
325
|
5000
|
-1799
|
0
|
Сумма(М)
|
78512
|
Положение центра масс кузова и его главных координатных осей
Положение центра масс кузова определяется координатами .
Из условия равенства суммы моментов инерции элементов по оси и общего для кузова от возмущений , выражения координат равны:
,(4.1)
где – массы кузова, участвующие в колебаниях по направлению осей :
;
– координаты центров масс элементов и груза в начальной системе координат .
Рисунок 4.1- Топологическая модель кузова вагона
.
В центре масс кузова помещаем центрально-координатную систему . Поскольку оси системы совпадают с осями симметрии кузова, то они будут являться главными осями тела инерции.
Находим расстояние от центра масс вагона до уровня верха пружин рессорных комплектов:
мм(4.2)
где – расстояние от оси автосцепки до верха пружин, м.
Характеристики инерции определяются ускорениями колебаний центра масс кузова по направлению координатных осей кузова.
Для определения характеристик инерции, в центрах масс элементов устанавливаем местные координатные оси . При определении коэффициентов инерции задаем последовательно центру масс тела перемещения с ускорением , находим в центрах масс элементов силы инерции и моменты сил инерции и от них реакции сил инерции в центре масс тела (рис. 4.2).
Реакции образуют матрицу коэффициентов инерции . Поскольку оси кузова являются главными и центральными, то побочные реакции равны нулю (). Тогда в качестве характеристик инерции будут выступать главные коэффициенты инерции тела .
Поскольку оси параллельны осям координат тела , то от коэффициенты масс и моментов инерции масс кузова будут равны:
,(4.3)
где – коэффициенты инерции масс от линейных ускорений (), кг;
– коэффициенты инерции масс от угловых ускорений (), кг×м2
;
– моменты инерции масс элементов относительно местных координатных осей , кг×м2
;
– координаты центров тяжести элементов в системе координат .
Таблица 4.2
Моменты инерции масс,
Название элемента
|
Ix
|
Iy
|
Iz
|
Рама
|
1,91E+10
|
1,182E+11
|
1,313E+11
|
Торцовая стена
|
4,54E+08
|
1,701E+10
|
1,701E+10
|
Боковая стена
|
4,98E+09
|
2,893E+10
|
2,501E+10
|
Крыша
|
6,47E+09
|
2,707E+10
|
3,213E+10
|
Груз
|
8,83E+10
|
1,129E+12
|
1,13E+12
|
Надрессорная балка
|
2,28E+09
|
1,534E+10
|
1,728E+10
|
Ix общ
|
Iy общ
|
Iz общ
|
1,293E+11
|
1,4E+12
|
1,41E+12
|
Математической инерционной моделью кузова с произвольными координатными осями и центрально главными осями являются выражения (4.4, 4.5):
(4.4)
(4.5)
Таблица 5.1
Параметры пружин рессорного комплекта
№ п/п
|
Параметр
|
Наружная пружина,
|
Внутренняя пружина,
|
1
|
Средний диаметр, мм
Диаметр сечения пружины, мм
|
|
|
2
|
Число рабочих витков
|
|
|
3
|
Высота пружины в свободном состоянии, мм
|
|
|
Вертикальная жесткость блока двухрядной пружины
Жесткость двухрядной пружины равна сумме жесткостей наружной и внутренней однорядных пружин :
,(5.1)
где – номер однорядной пружины в блоке многорядной пружины .
Жесткости наружной и внутренней пружин определяем по формуле:
,(5.2)
где – диаметр прутка;
– средний диаметр пружины;
– модуль упругости второго рода (Н/м2
).
Жесткости наружной и внутренней пружин соответственно:
;.
Жесткость одной двухрядной пружины равна:
Так как рессорный комплект состоит из 7 двухрядных пружин, то вертикальная жесткость рессорного комплекта составляет:
,(5.3)
Поперечная жесткость однорядных пружин
Поперечная жесткость пружин определяется по формуле:
,(5.4)
где – боковая нагрузка на пружину;
– поперечное смещение верхнего узла пружины при защемленных концах пружины:
,(5.5)
где - коэффициенты:
(5.6)
, – полярный и осевой моменты инерции сечения прутка однорядной пружины:
(5.7)
– диаметр прутка однорядной пружины;
– модули упругости первого и второго рода, ( Н/м2
).
– свободная высота пружины;
– деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой:
,(5.8)
- массы тары, тележки, надрессорной балки, груза;
– ускорение свободного падения, 9,8 м/с2
;
– вертикальная нагрузка на один рессорный комплект, .
Деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой равна:
Таблица 5.2
Значения коэффициентов и моментов инерции для пружин
k1
, 1/Нм2
|
k2
, 1/Н
|
, м4
|
, м4
|
Наружная пружина
|
9,44×10-5
|
3,64×10-6
|
7,95×10-8
|
3,97×10-8
|
Внутренняя пружина
|
58,6×10-5
|
8,6×10-6
|
1,28×10-8
|
0,64×10-8
|
Поперечная жесткость наружной и внутренней пружин соответственно:
Поперечная жесткость двухрядной пружины и рессорного комплекта
Двухрядная пружина имеет жесткость:
(5.9)
Жесткость рессорного комплекта равна:
(5.10)
Последовательно задаем центру масс кузова перемещения , строим схемы перемещений, находим перемещения упругих связей и по ним – деформации и усилия по направлению координатных осей рессорного комплекта .
Для грузового вагона, находящегося на жестком пути, возможными перемещениями являются:
q1
- перемещения от колебания подергивания;
q2
- от колебания подпрыгивания;
q3
- бокового относа:
q4
- бокового поворота;
q5
- колебания виляния;
q6
- колебания галопирования.
Рисунок 5.1 Расчетная схема вагона
Рисунок 5.2 – Схема нагруженности от q1
1. Деформации: du
=U2
-U1
=q1
-0=1; dv
=V2
-V1
=0; dw
=W2
-W1
=0.
2. Силы упругости: Pu
=Cu
×du
=42,95×105
×1=42,95×105
(Н).
3. Реакции:
SX=0; r11
=4×Pu
=4×Cu
×du
=4×42,95×105
=171,8×105
(Н);SY=0; r21
=0;
SZ=0; r31
=0;SMx
=0; r41
=0;
SMy
=0; r51
-Pu
1
×b1
+Pu
2
×b2
-Pu
3
×b3
+Pu
4
×b4
=0; r51
=0 (вагон симметричный);
SMz
=0; r61
-4×Pu
(s)
×hc
*
=0; r61=
4×Pu
(s)
×hc
*
=4×42,95×105
×2,169=351,1×105
(Н×м).
Рисунок 5.3 – Схема нагруженности от q2
1. Деформации: dv
=V2
-V1
=q2
-0=1.
2. Силы упругости: Pv
=Cv
×dv
=4×106
×1=4×106
(Н).
3. Реакции:
SX=0; r12
=0;
SY=0; r22
=4×Pv
=4×Cv
×dv
=4×4×106
×1=16×106
(Н);
SZ=0; r32
=0;
SMx
=0; r42
=0;
SMy
=0; r52
=0;
SMz
=0; r62
+Pv
1
×l1
+Pv
2
×l2
-Pv
3
×l3
-Pv
4
×l4
=0; r62
=0 (вагон симметричный).
Рисунок 5.4 – Схема нагруженности от q3
1. Деформации: du
=U2
-U1
=0; dv
=V2
-V1
=0; dw
=W2
-W1
=q3
-0=1.
2. Силы упругости: Pw
=Cw
×dw
=42,95×105
×1=42,95×105
(Н).
3. Реакции:
SX=0; r13
=0;SY=0; r23
=0;
SZ=0; r33
=4×Pw
=4×Cw
×dw
=4×42,95×105
×1=171,8×105
(Н);
SMx
=0; r43
-Pw
1
×hc
*
-Pw
2
×hc
*
-Pw
3
×hc
*
-Pw
4
×hc
*
=0;
r43
=4×Pw
×hc
*
=4×42,95×105
×2,169=351,1×105
(Н×м)
SMy
=0; r53
=0 (вагон симметричный);
SMz
=0; r63
=0.
Рисунок 5.5 – Схема нагруженности от q4
1. Деформации: dv
1
=V2
-V1
=-b×q4
-0=1,018(м); dv
2
=V2
-V1
=b×q4
-0=1,018(м)
dw
=W2
-W1
=-hc
×q4
-0=2,044×1=2,044(м);
2. Силы упругости: Pv
=Cv
×dv
=4×106
1,018=4,072×106
(Н);
Pw
=Cw
×dw
=-Cw
×hc
=42,95×105
×2,044=87,777×105
(Н).
3. Реакции:
SX=0; r14
=0; SY=0; r24
+Pv
1
-Pv
2
+Pv
3
-Pv
4
=0; r24
=0 (вагон симметричный);
SZ=0; r34
+Pw
1
+Pw
2
+Pw
3
+Pw
4
=0; r34
= -4 Pw
=4×87,777×105
=351,1×105
(Н);
SMx
=0; r44
-Pv
1
×b1
-Pv
2
×b2
-Pv
3
×b3
-Pv
4
×b4
-Pw
1
×hc
*
-Pw
2
×hc
*
-Pw
3
×hc
*
-Pw
4
×hc
*
=0; r44
=4Pv
×b+4Pw
×hc
*
=4×4,072×106
1,018+4×87,777×105
×2,169=927,3×105
(Н×м);
SMy
=0; r54
- Pw
1
×l1
-Pw
2
×l2
-Pw
3
×l3
-Pw
4
× l4
=0; r54
=0 (вагон симметричный);
SMz
=0; r64
-Pv
1
×l1
+Pv
2
×l2
+Pv
3
×l3
-Pv
4
×l4
=0; r64
=0 (вагон симметричный).
Рисунок 5.6 – Схема нагруженности от q5
1. Деформации: du
1
=U2
-U1
=b1
×q5
-0=1,018(м); du
2
=U2
-U1
=-b1
×q5
-0=1,018(м);
dv
=V2
-V1
=0; dw
1
=W2
-W1
=-l1
×q5
-0=5(м); dw
3
=l3
×q5
-0=5(м).
2. Силы упругости: Pu
=Cu
×du
=42,95×105
×1,018=43,723×105
(Н);
Pw
1
=Cw
×dw
1
=-Cw
×l1
=42,95×105
×5=214,75×105
(Н).
3. Реакции:
SX=0; r15
=0;SY=0; r25
=0;
SZ=0; r35
+Pw
1
+Pw
2
-Pw
3
-Pw
4
=0; r35
=0 (вагон симметричный);
SMx
=0; r45
-Pw
1
×hc
*
-Pw
2
×hc
*
+Pw
3
×hc
*
+Pw
4
×hc
*
=0; r45
=0 (вагон симметричный);
SMy
=0; r55
-Pu
1
×b1
-Pu
2
×b2
-Pu
3
×b3
-Pu
4
×b4
-Pw
1
×l1
-Pw
2
×l2
-Pw
3
×l3
-Pw
4
× l4
=0;
r55
=4×Pu
×b+4×Pw
×l=4×43,723×105
×1,018+4×214,75×105
×5=447,3×106
(Н×м);
SMz
=0; r65
+Pu
1
×hc
*
-Pu
2
×hc
*
+ Pv
3
×hc
*
-Pu
4
×hc
*
=0; r65
=0 (вагон симметричный).
Рисунок 5.7 – Схема нагруженности от q6
1. Деформации: du
=U2
-U1
=hc
×q6
-0=2,044(м); dv
1
=dv
2
=V2
-V1
=l1
×q6
-0=5(м);
dv
3
=dv
4
=V2
-V1
=l3
×q6
-0=5(м).
2. Силы упругости: Pu
=Cu
×du
=42,95×105
×2,044=87,777×105
(Н);
Pv
=Cv
×dv
=4×106
×5=2×107
(Н).
3. Реакции:
SX=0; r16
=4×Cu
×hc
=4×42,95×105
×2,044=351,1×105
(Н);
SY=0; r26
-Pv
1
-Pv
2
+Pv
3
+Pv
4
=0; r26
=0 (вагон симметричный);
SZ=0; r36
=0;
SMx
=0; r46
+Pv
1
×b1
-Pv
2
×b2
-Pv
3
×b3
+Pv
4
×b4
= 0; r46
=0 (вагон симметричный)
SMy
=0; r56
-Pu
1
×b1
+Pu
2
×b2
-Pu
3
×b3
+Pu
4
×b4
=0; r56
=0 (вагон симметричный);
SMz
=0; r66
-Pu
1
×hc
*
-Pu
2
×hc
*
-Pu
3
×hc
*
-Pu
4
×hc
*
-Pv
1
×l1
-Pv
2
×l2
-Pv
3
×l3
-Pv
4
×l4
=0;
r66
=4×87,777×105
×2,169+4×2×107
×5=476,1×106
(Н×м).
На кузов вагона действует система реакций сил упругости, обусловленная колебаниями . Реакции в связях по направлению координатных осей от .суммируются, образуя в узле вектор реактивных усилий:
(5.12)
где – матрица коэффициентов жесткости несимметричного вагона:
,(5.13)
– вектор перемещений центра масс кузова вагона.
Рисунок 6.
1 - Схема для расчета перемещения колесных пар
Нагруженность характеризуется силами упругости в рессорном подвешивании и реакциями сил упругости в центрах масс тел . Динамическая система получает гармонические возмущения от неровности пути через колесные пары по схеме рисунок 6.1. За начало отсчета принимаем систему координат кузова . Перемещения колес первой тележки по отношению к центру масс кузова имеют опережения, а второй – отставание по фазе, учитываемые углами сдвига фаз :
,(6.1)
где – углы сдвига фаз в перемещениях колесных пар:
,(6.2)
– амплитуда и длина волны вертикальной неровности пути;
– частота вынужденных кинематических возмущений,
(6.3)
При средней скорости движения вагона получим:
Перемещения буксовых узлов равны перемещениям точек контакта колес с рельсами (рисунок 6.1):
(6.4)
Из схем перемещений боковых рам находим перемещения нижних опорных поверхностей рессорных комплектов:
(6.5)
Деформации и силы упругости в виброзащитных связях при значениях перемещений (6.5) составляют:
(6.6)
(6.7)
Рисунок 6.2 – Расчетная схема для определения возмущающей нагрузки
Изначально силы упругости (6.7) в рессорном подвешивании на схемах (рисунок 6.2) положительны.
Силы упругости (6.7) вызывают в связях центрально-координатного узла кузова реакции возмущающих нагрузок (рисунок 6.2). Из равновесия кузова вектор кинематических возмущающих нагрузок равен:
,(6.8)
где .
При значениях сил (6.7) и (6.4) реакции (6.8) принимают значения:
(6.9)
(6.10)
(6.11)
В несимметричном вагоне возмущающие усилия вызывают колебания . Поскольку колебания через реакции связаны с , а последние через реакции с (5.12 ), то возникают все колебания кузова . Кузов испытывает сложные вынужденные колебания.
В симметричном вагоне при линейные реакции (6.9) не меняются, а угловые – (6.10), (6.11) становятся равными:
(6.12)
Возмущающие реакции вызовут в системе колебания и . Колебание возникает вследствие взаимосвязи через реакции . Если реакции малы , то будем иметь только два вида колебаний - и .
В реакциях возмущения от колесных пар сдвинуты по фазе (), что создает некоторые затруднения в решении задачи. Для упрощения решения сложим составляющие гармонических возмущений в этих реакциях. Сложение выполним графическим способом, используя интерпретацию вращающихся векторов и их проекций на горизонтальную ось .
Рисунок 6.3 – Векторная диаграмма
Для сложения функций в реакции (6.9), проведем радиусом, равным амплитуде кинематического возмущения , окружность и в соответствии с углами сдвига фаз , отложим последовательно амплитуды возмущений по колесным парам (рисунок 6.3). Сложим векторы амплитуд , и , в тележках и получаем значения . Выполнив сложение векторов по тележкам, находим эквивалентную амплитуду вектора возмущений для вагона – , которая соответствует колебанию .
Из векторной диаграммы определяем: .
Проекция вектора на горизонтальную ось дает функцию суммарного возмущения на вагон:
(6.13)
Эта функция заменяет выражение, стоящее в фигурных скобках (6.9). Значение суммарной возмущающей реакции на вагон теперь равно:
(6.14)
где – амплитуда возмущающей силы по колебанию подпрыгивания, .
Аналогично изложенному производим сложение возмущающих функций в реакции . Знак минус во второй квадратной скобке учитывается изменением направления вектора на обратный.
Суммарное значение возмущающей функции по колебанию галопирования равно:
,(6.15)
где - амплитуда возмущающей силы по колебанию галопирования.
Выводы:
1. Наибольшие значения сил вертикальных возмущений получим, если векторы амплитуд возмущений по тележкам будут совпадать. Это произойдет в случае равенства базы вагона длине волны неровности. При этом реакция возмущений по шестому колебанию становится бесконечно малой, .
2. Наибольшего значения реакция достигает, когда совпадают векторы амплитуд колебаний . Это происходит в случае, когда база вагона равна половине длины неровности пути . Однако в этом случае реакция возмущений по колебанию подпрыгивания обращается в ноль, .
Математической моделью является система дифференциальных уравнений, описывающая колебания вагона в функции времени.
Уравнения колебаний получаем из уравнения динамического равновесия реакций в центрально-координатном узле кузова, суммируя реакции по блок-моделям силовых подсистем: инерционной, виброзащитной, внешних возмущений. Для несимметричного вагона, с центрально-главными осями система уравнений колебаний равна:
(6.16)
Уравнения колебаний системы в матричном представлении:
· в развернутой форме:
(6.17)
· в сокращенной форме записи:
(6.18)
Для симметричного вагона, из-за отсутствия многих побочных реакций, получаем независимые уравнения колебаний:
(6.19)
и взаимосвязанные уравнения боковых колебаний:
(6.20)
Уравнения колебаний (6.16 – 6.20) описывают совместные свободные и вынужденные колебания вагона. Рассмотрим динамику свободных и вынужденных колебаний.
Свободные колебания наблюдаются при прекращении действия возмущающих сил или при изменении силовых характеристик динамической системы.
Уравнения свободных колебаний кузова вагона, в системе главных, центрально-координатных осей:
· для несимметричного вагона по реакциям сил упругости:
в развернутой форме:
,(7.1)
в развернуто-матричной форме:
,(7.2)
· для симметричного вагона по реакциям сил инерции и упругости:
(7.3)
(7.4)
Решениями однородных уравнений (7.1 – 7.4) являются тригонометрические функции:
(7.5)
Или в общем виде:
(7.6)
Вторые производные являются ускорениями колебаний тела:
,(7.7)
где – амплитуда свободных колебаний;
- частота свободных колебаний.
Подставляя и в уравнения свободных колебаний (7.1 – 7.4), получаем уравнения колебаний в алгебраической форме:
,(7.8)
,(7.9)
(7.10)
В полученных уравнениях амплитуды колебаний не равны нулю, поскольку система колеблется. Чтобы тождества удовлетворялись, необходимо равенство нулю определителей составленных из коэффициентов при неизвестных амплитудах, то есть:
· для несимметричного вагона
,(7.11)
· для симметричного вагона
(7.12)
(7.13)
Полученные уравнения (7.11 – 7.13) являются уравнениями частот. Из решения уравнения (7.12), находим частоты свободных колебаний, 1/с:
(7.14)
Раскрывая определитель (7.13), получаем выражение вида
(7.15)
После преобразования (7.15) приходим к характеристическому уравнению:
,(7.16)
где – частотный параметр, .
Из уравнения (7.16) корни равны:
Частными решениями для симметричного вагона являются функции:
· для независимых колебаний:
(7.19)
· для взаимосвязанных боковых колебаний:
(7.20)
Частным решениям (7.19) отвечают формы колебаний подергивания, подпрыгивания, виляния, галопирования. Решениям уравнений (7.20) соответствуют колебания боковой качки I и II рода.
При движении по гармонической неровности пути реактивные усилия в симметричном вагоне вызывают колебания подпрыгивания и галопирования, которые описываются уравнениями (6.19):
(8.1)
(8.2)
Уравнения (8.1) и (8.2) однотипны. Проследим решение одного из уравнений, например, колебания подпрыгивания. Другое будет решаться аналогично первому.
Общее решение уравнения (8.1) складывается из частного решения однородного уравнения (без первой части) и частного решения неоднородного уравнения (с правой частью):
(8.3)
Частное решение отвечает свободным колебаниям системы (рис.8.1,б), а частное решение - вынужденным (рис. 8.1,а).
Произвольные постоянные являются амплитудами свободных и вынужденных колебаний.
Если подставим частные производные , соответственно в однородное и неоднородные уравнения, то найдем
(8.4)
Общее решение (8.3) представится теперь в виде:
(8.5)
Возможны следующие случаи колебаний системы:
· нерезонансный, когда ;
· резонансный, когда ;
· случай близкий к резонансному, .
Резонансным случаем (режимом) колебаний считают тот, когда различия между частотами составляет не более 15%.
Колебания в нерезонансной области
При отклонении вагона от положения статического равновесия на величину , вагон совершает гармонические колебания, определяемые первым членом уравнения (8.5). При воздействии на вагон только возмущающих нагрузок вагон совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой . Закон колебаний определяется вторым членом уравнения (8.5). В случае воздействия на вагон одновременно начальных возмущений и возмущающих нагрузок движения вагона определяются общим уравнением (8.5).
Из-за наличия в системе сил трения, свободные колебания с течением времени затухают и движение системы определяется вторым членом уравнения (8.5).
Колебания вагона в резонансном и близким к резонансу режимах
Считаем, что частоты возмущений близки к частоте свободных колебаний:
(8.6)
где – бесконечно малая величина.
Динамика вагона определяется законом движения (8.5) с учетом значений параметров (8.4).
Произвольные постоянные в решении (8.5) найдем из начальных условий движений системы. Полагаем, в начальный момент движения перемещение и скорость были равны нулю, то есть:
(8.7)
Из решения системы (8.7) находим:
(8.8)
Общее решение (8.5) с учетом (8.8) и последующим ее преобразованием через тригонометрические функции половинных углов принимает вид:
(8.9)
Периоды тригонометрических функций равны:
(8.10)
Рисунок 8.1 - График колебаний биения
Период , поскольку - бесконечно малая величина. Закон колебаний системы по условию (8.9) показан на рисунке 8.1. Колебания заданного вида называют колебаниями биения.
При более близком совпадении частот, в выражении (8.9) можно принять . Тогда закон колебаний подпрыгивания при учете значения (8.8) будет выражен функцией:
(8.11)
Колебания пропорциональны времени и нарастают с течением времени (рисунок 8.2).
Рисунок 8.2 - График колебаний
За время одного цикла колебаний происходит приращение амплитуд колебаний на величину:
,(8.12)
Аналогично изложенному можно решить уравнение колебаний галопирования (8.2) и найти параметры колебаний:
(8.13)
Выводы:
1. Колебания динамической системы без сил трения опасны тем, что в резонансном и околорезонансном режимах происходят значительные нарастания амплитуд колебаний. Возникает обезгрузка колесных пар и потеря их устойчивости против вкатывания на головку рельса. Возможны саморасцепы вагонов.
2. Уровень колебаний определяется величиной возмущающих нагрузок , а последние соотношениями:
· длины базы вагона и неровности пути;
· частот вынужденных и свободных колебаний ().
3. Для снижения колебаний необходимо ввести в рессорное подвешивание диссипативные силы: вязкого или сухого трения.
Параметры гасителей сухого трения
Необходимые значения сил трения гасителей в первом приближении определим из условия энергетического принципа.
Работа сил трения гасителей за один период колебаний должна равняться приращению потенциальной энергии рессорного подвешивания вагона за тот же период:
(8.14)
где – число гасителей и рессор в вагоне.
– работа сил трения и приращение потенциальной энергии в рессорном комплекте при колебании по оси .
Работу сил сухого трения фрикционного гасителя найдем по площади гистерезисной петли силовой характеристики гасителя (рис.8.3, а):
,(8.15)
а приращение потенциальной энергии – по работе сил упругости (рис. 8.3,б):
,(8.16)
где – силы трения при сжатии и растяжении гасителя в среднем положении;
– амплитуда деформаций рессор и гасителя;
– приращение деформаций рессор за период колебаний;
– силы упругости в начале и в конце периода колебания рессорного комплекта:
,(8.17)
– вертикальная жесткость рессорного комплекта.
Рисунок 8.3–Работа сил трения
Для вагона условие энергетического баланса имеем равное:
(8.18)
Откуда требуемые значения сил трения, при допущении в виду малости, получаем равным:
(8.19)
Приращение вертикальных деформаций рессор находим по приращению амплитуд колебаний подпрыгивания и галопирования:
(8.20)
где - полубаза вагона.
Принято силы трения оценивать через удельные характеристики – коэффициенты относительной сил трения при сжатии и растяжении .
(8.21)
где – сила упругости в рессорном подвешивании от статических нагрузок.
(8.22)
и тогда выражение (8.19) представим как
(8.23)
Или
(8.24)
где - средняя требуемая величина коэффициента относительного трения гасителя колебаний.
Таким же образом можно получить параметр . По колебаниям подпрыгивания и галопирования выбирают наибольшее. Значение принятого коэффициента относительного трения для расчета гасителей колебаний является приближенным и в последующих исследованиях уточняется в динамических системах с сухим трением в рессорном подвешивании.
На основании энергетического способа могут быть определены параметры гасителей вязкого трения.
Работа сил трения гидравлического гасителя колебаний равна:
(8.25)
Откуда на основании энергетического принципа:
(8.26)
1. Вершинский, С.В., Данилов, В.Н., Хусидов, В.Д. Динамика вагона: Учебник для вузов ж.-д. трансп./Под ред. С.В. Вершинского. – М.: Транспорт, 1991. – 360 с.
2. Сенаторов, С.А. Прогнозирование нагруженности, износа и динамики подвижного состава: Ч.1. Динамические системы подвижного состава и методы их исследования. Уч. пособ. – Екатеринбург: Изд. УЭМИИТ, 1996 - 104 с.
3. Сенаторов, С.А. Прогнозирование нагруженности, износа и динамики подвижного состава: Ч.2. Инерционные модели динамических систем подвижного состава. Уч.пособ. – Екатеринбург: Изд. УЭМИИТ, 1996. – 71 с.
|