Курский государственный университет
Метод построения трехмерной модели формы клетки по данным светового трансмиссионного микроскопа
 Курск 2009
Оглавление
Введение
Глава 1. Метод построения трехмерной модели формы клетки по данным светового трансмиссионного микроскопа
1.1 Нахождение центра клетки
1.2 Нахождение Q(z)
1.3 Построение трехмерной модели формы клетки
Вывод
Литература
Введение
Клетка – наименьшая морфофизиологическая единица живых систем. Возникновение клеточной организации – главный ароморфоз в эволюции. Только после открытия клетки (Р. Гук, 1665) и полного понимания ее значения (Т. Шван, М. Шлейден, 1839), (Р. Вирхов, 1859) стало возможным открытие многих основных закон живых систем.
Изучение клеток неразрывно связано с совершенствованием цитологических техник, которые, в конечном счете, зависят от общего научно-технического прогресса. Появление новых методов позволяло глубже и точнее понимать механизмы существования клеток. До середины 20 века существовали только методы рассмотрения плоских изображений тканей, которые не давали полной картины морфологии клетки, в частности, не было возможности достоверно узнать ее истинную форму, представить строение органелл и расположение их в цитоплазме. С появлением способов получения трехмерных изображений клеток такая возможность появилась и многие положения, сформулированные ранее, были опровергнуты.
На сегодняшний день существуют следующие методы получения трехмерных изображений клеток: конфокальная световая микроскопия (требуется конфокальный микроскоп, специальные программы обработки изображений, окрашивание флюорохромами, срез на микротоме), электронная трансмиссионная микроскопия (требуется электронный просвечивающий микроскоп, ультрамикротом, окрашивание, контрастирование, специализированные программы), сканирующая электронная микроскопия (требуется сканирующий электронный микроскоп (подача напряжения 2 МB), фиксация, окрашивание), электронная томография, интерферометрическая светочувствительная локализационная микроскопия (новейшие методы, на данный момент не имеют широкого распространения). В данной работе предлагается метод построения моделей трехмерных изображений клеток по данным светового трансмиссионного микроскопа (требуется световой просвечивающий микроскоп с видеоокуляром). Таким образом, видно, что данный метод позволяет получить представление о форме клеток и определить их объем и площадь поверхности, используя элементарную лабораторную технику.
Данный метод основан на исходном предположении о существовании одной общей функции, единой для всех клеток одного морфологического типа. Она определяется:
 .
Где Q(z) – функция от координаты z в прямоугольной трехмерной системе координат, m(z) – длина отрезка, параллельного полярной оси полярной системы координат клетки, соединяющего точки границ клетки, и находящемся на расстояний z от центра клетки, через который также проходит отрезок, параллельный полярной оси и совпадающей с ней – m(0) (рис.2).
Целью работы является определение уравнения поверхности клетки в трехмерных координатах z, r,  . Это комбинированная система координат: она, как и прямоугольная система, состоит из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, однако в плоскости, перпендикулярной z, находится полярная система координат Ol:
 .
Представим изображение клетки на микрофотографии со светового просвечивающего микроскопа как плоскую фигуру (назовем ее множество - точек Cellula), ограниченную одной замкнутой линией (образована от преломления света клеточной стенкой) (рис. 1). Тогда точка С называется центром клетки, если:
1.  .
 - максимальное расстояние от точки С до граници клетки,
 – среднее расстояние от С до границы клетки.
Рис. 1. Нахождение центра клетки. Обозначения:
КС – клеточная стенка.
O – центр вспомогательной полярной системы координат.
Ol – полярная ось.
 – полярный радиус фиксированной точки M.
 – полярный угол фиксированной точки М.
 – фиксированная точка.
 – точка, принадлежащая границе клетки.
 .
 .
 – расстояние между точками N и M.
 .
 – полярный радиус точки С.
 - полярный угол точки С.
 .
 .
 .
Алгоритм нахождения центра клетки
(рис. 1):
1. Проведем касательную к любой точке изображения клетки, эта касательная – полярная ось полярной системе координат, данную систему назовем вспомогательной, она служит для нахождения центра клетки, а полярная система координат, построенная от центра клетки, является полярной системой клетки.
2. . Определим координаты 18 точек границы клетки с шагом в 10°. По этим значениям построим интерполяционную формулу функции, описывающей линию границы клетки. Для этого воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:
 ,
где h – шаг функции (в нашем случае  ), n – число точек (18),  - разность определенного порядка,  .
Выберем точку , принадлежащую клеточной стенке, тогда
 .
3. Решаем уравнение:  ,  . - точка экстремума.
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
8.  .
9. – середина D.
10. Выберем точки
 ,
принадлежащие клеточной стенке, найдем для них по пунктам 1 – 8. Полученные точки для каждой точки  являются точками другой фигуры, построенной на серединах, максимально длинных отрезков, соединяющих точки границы клетки. Для этой фигуры (второго порядка) определим фигуру третьего порядка по пунктам 1 – 9. И так 4 раза. Фигура пятого порядка будет мала и близка к окружности, у которой есть определенный центр.
11. В фигуре пятого порядка выберем произвольную точку ее границы и по пунктам 1 – 8 определим середину максимально длинного отрезка для этой точки. Найденная точка и будет центром клетки.
В этом алгоритме работа с изображением клетки осуществляется только в пунктах 1 и 2, все остальные действия совершаются аналитически.
Примем, что ось z расположена параллельно длинной оси исследуемого органа. Сделаем гистологические срезы органа в двух перпендикулярных плоскостях: параллельно длинной оси органа (оси z), и перпендикулярно ей. Функцию Q(z) будем искать на изображениях клеток, полученных на срезе, параллельном z. На изображении клетки определим ось z, а перпендикулярно ей от найденного по алгоритму из п. 1. 1 центра клетки построим полярную ось полярной системы координат клетки (рис. 2).
Рис. 2. Нахождение Q(z). Обозначения:
 .
 .
 .
 .
 .
 .
Алгоритм нахождения Q(z) (рис. 2).
1. Относительно полярной системы координат клетки составить интерполяционную формулу функции, описывающей контур сечения клетки, перпендикулярный оси z, по формуле 1. 1 п. 2.
2.  .
3.  , так как  – параллелограмм.
4.  .
5. Интерполируем функцию Q(z). При этом независимая переменной будет z (по пункту 3), а зависимой величина  . Тогда интерполяционная формула Ньютона будет иметь вид:
 .
Где  ,  ,  ,  ,  .
6. Определить Q(z) по пунктам 1 - 4 для 20 клеток.
7. Для каждого коэффициента  построить дискретную функцию  , где N – это номер клетки в ряду исследованных. Данную функцию можно задать таблицей соответствия значений области определения и области значения. Затем найдем  (среднее значение коэффициента).
8. Определим между какими клетками лежит найденное среднее значение. Та клетка из найденной пары, к значению которой лежит ближе , считается средней по данному коэффициенту .
9. После того как были найдены средние клетки по всем коэффициентам (их 20, см. пункт 4) находим частоты с которыми клетки становились средними по формуле  , где p – частота, с – число коэффициентов по которым клетка становилась средней, С=20.
10. Выбираем клетку с наибольшей частотой p, ее функция Q(z) и считается функцией данного клеточного типа.
1. На гистологическом срезе, перпендикулярном z, на глаз выбираем 20 наиболее крупных клеток и выбираем среди них среднюю по алгоритмам из пунктов 1. 1 и 1. 2, однако уже не относительно координаты z, а относительно координаты y. Выбранная клетка с высокой вероятностью представляет собой среднее сечение (сечение клетки плоскостью, которая задается уравнением  ). Принимаем, что граница среднего сечения описывается функцией в полярных координатах  ).
2. Из уравнений и имеем общий вид уравнения поверхности клетки в трехмерных координатах:
 .
2. Прейдем от прямоугольно-полярной системы к прямоугольной, тогда уравнение поверхности клетки будет иметь вид:
 .
4. Введем полученное уравнение в программу Maple 8 ввиде:
> with(plots): implicitplot3d((x^2+y^2)^0.5-Q(z)*r(cos(arctan(y/x))=0,
x=-r(-0.5*π)..r(0.5*π), y=-r(π)..r(0), z=-R(-0.5*π)..R(0.5*π),
scaling=UNCONSTRAINED);.
Где R – это полярный радиус полярной системы координат клетки сечения, параллельного z.
После этого программа выведет на экран анимированную трехмерную фигуру, описываемую, данным уравнением (рис. 3).
Рис. 3. Элипсоид, построенный в Maple 8 по уравнению:
> with(plots): implicitplot3d(x^2/25+y^2/16+z^2/36=1,
x=-10..10, y=-8..8, z=-12..12, scaling=UNCONSTRAINED);.
5. Площадь поверхности клетки:
 .
6. Объем клетки:
 .
Просвечивающий световой микроскоп – самое доступное средство исследования клеток, поэтому получение представления о трехмерной форме клетки при помощи него имеет более широкие возможности в плане использования большим количеством исследователей. Недостатком этого метода является то, что здесь используются физические сигналы о форме клетки (в нашем случае желтый свет, но может быть и рентгеновское излучение, и электромагнитные волны, и пучок электронов в других методах), поступающие от разных клеток, в то время как в других методам они поступают от одной клетки. Поэтому классические методы получения трехмерных изображений клеток являются значительно более точными.
1. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – 6-е изд. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. – 576 с.
|
