Структура аффинного пространства над телом

1. Введение

Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства . Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований , и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.

Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем

Определение 1.1 . Пусть - некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и - ее нейтральный элемент.

Говорят, что действует слева на множестве , если определенно отображение , , такое, что набор отображений , удовлетворяет условиям

и . (1)

Аналогично говорят, что действует на справа, если определено отображение , , такое, что набор отображений , удовлетворяет условиям

и . (1^/ )

Соотношения (1) (соответственно (1^/ )) показывают, что ( соответственно )- это биекции на и что (соответственно ).

Например, любая группа действует сама на себе слева левыми сдвигами : и справа правыми сдвигами : .

Группа действует на себе слева также внутренними автоморфизмами : .

Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева .

Понятно, что для коммутативной группы оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.

Определение 1.2. Пусть группа действует слева на множестве с законом действия . Говорят, что действует на транзитивно , если для любой пары элементов существует хотя бы один элемент , такой, что ; далее, говорят, что действие просто транзитивно , если этот элемент всегда единственный .

Пример . Линейная группа автоморфизмов действует транзитивно на , но это действие не является просто транзитивным, кроме случая .

Определение 1.3. Пусть группа действует слева на множестве . Стабилизатором подмножества множества называется множество .

Непосредственно ясно, что - подгруппа группы. Если множество состоит из одного элемента , то это подгруппа называется группой изотропии элемента .

Замечание . Стабилизатор является пересечением двух множеств и , которые не обязаны быть подгруппами . Например, если действует на себе трансляциями и - положительная полуось, то не является подгруппой, а .

Определение 1.4. Пусть - группа, действующая слева на ; орбитой элемента называется образ при отображении .

Если действует на транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с .

Замечание . На можно определить отношение эквивалентности , полагая , если существует элемент , такой, что ; классы эквивалентности являются орбитами элементов ; фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит .

Однородные пространства

Определение 1.5. Однородным пространством , ассоциированным с группой , называется множество , на котором определено транзитивное действие группы .

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

Пусть - группа, - ее подгруппа, - фактормножество, образованное левыми смежными классами относительно : элементы из объявляются эквивалентными, если существует элемент , такой, что ; класс эквивалентности элемента есть множество элементов вида , где .

Действие слева группы на определяется с помощью ; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество является однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть - однородное пространство, ассоциированное с группой , и для любого пусть - группа изотропии . Тогда существует единственная биекция факторпространства на , такая, что для всех выполнено , где - каноническая проекция и - действие на .

Доказательство . Соотношение равносильно и, значит, или ; следовательно, отображение , переносится на фактормножество и представляется в виде , где - биекция.

Специальный случай

Если группа действует на просто транзитивно , то группы изотропии тривиальны; для каждой точки отображение , является биекцией, удовлетворяющей условию .

Эта биекция позволяет перенести на структуру группы , которая, однако, будет зависеть от выбора точки , т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого, допускает структуру группы, изоморфной , при произвольном выборе нейтрального элемента.

Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.

2.Аффинные пространства

Определение 2.1. Пусть - векторное пространство над произвольным телом . Аффинным пространством, ассоциированным с , называется множество ℰ , на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы .

Это действие записывается обычно в виде

ℰℰ , .

Для любого биекция ℰ ℰ, называется трансляцией на вектор ; далее, для некоторой пары элементов ℰ единственный вектор , такой, что , обозначается .

Чтобы отличить элементы ℰ (называемые точками ) от элементов (называемых векторами ), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как , а ”векторы -строчными, например ; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с , называется множество ℰ , снабженное семейством биекций , таких, что

a) _ℰ и ;

b) для любой пары ℰ ℰ существует единственный вектор , такой, что .

Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с , называется множество ℰ , снабженное отображением ℰ ℰ , обозначаемым , таким, что

a) для каждого ℰ отображение ℰ , биективно ;

b) для любых точек из ℰ выполнено соотношение Шаля

.

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки ℰ мы имеем .

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через единственную точку , такую, что , и заметив, что соотношение Шаля равносильно . Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки ℰ отображение ℰ , есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ℰ векторную структуру .

Обозначения . Полученная таким путем векторная структура на ℰ будет называться векторной структурой с началом ; множество ℰ с этой структурой будет обозначаться ℰ _A .

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ - это те свойства векторного пространства ℰ _A , которые не зависят от выбора точки .

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ . Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ℰ - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . По определению, размерность ℰ равна размерности .

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности , ассоциированную с нулевым векторным пространством.

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

Пусть ℰ - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Каждое векторное подпространство пространства образует подгруппу группы , действующую на ℰ трансляциями. По определению, орбиты действия на ℰ называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением . Группа , действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с ; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ℰ .

Если есть ЛАМ с направляющим подпространством и - точка , то допускает структуру векторного пространства с началом и есть векторное подпространство в ℰ _A . Обратно, любое ВПП пространства ℰ _A есть ЛАМ, проходящее через ; сформулируем

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ℰ , проходящие через точку , суть векторные подпространства векторного пространства ℰ _A .

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ пространства ℰ полностью определяется заданием множества точек .

Другие определения.

Предложение 3.1 . показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:

Определение 3.1. Непустое подмножество аффинного пространства ℰ называется линейным аффинным многообразием , если в существует точка , такая, что является векторным подпространством в .

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

Предложение 3.2. Пусть - непустое подмножество в ℰ и - точка , такая, что есть векторное подпространство в . Тогда для любой точки из множество совпадает с .

Доказательство. есть множество векторов , где ; таким образом, есть образ при биекции , , и поскольку , то .

Установив это, легко убедиться, что наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством , которое не зависит от точки .

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры , можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием на : ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:

Определение 3.2. Пусть - векторное подпространство в и - отношение эквивалентности, определяемое на ℰ с помощью

;

аффинными многообразиями с направлением называются классы эквивалентности по отношению .

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ , но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство канонически снабжено аффинной структурой, так как действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор называется также ”началом” и

.

ЛАМ пространства , проходящие через , суть векторные подпространства в ; ЛАМ, проходящие через точку , суть образы векторных подпространств при параллельном переносе .

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в ).

Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ ; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности суть точки ℰ .

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть - семейство аффинных подпространств в ℰ и для каждого - направляющее подпространство для .

Если пересечение непусто, то оно является аффинным подпространством в с направляющим .

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение двух ЛАМ в ℰ было непустым , необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки и , что , и тогда

.

Доказательство. Если , то для любых , имеем и . Таким образом, .

Обратно, если существуют и , такие, что , то можно представить в виде , где , . Тогда точка , определяемая условием , принадлежит и, как легко видеть, . Это доказывает, что принадлежит также , а тем самым не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5. Если , - аффинные подпространства в ℰ , направляющие которых взаимно дополняют друг друга в , то и имеют единственную общую точку .

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий , вполне параллельны , если они имеют одно и то же направляющее подпространство: .

Более общо, говорят, что параллельно , если направляющие пространства , многообразий , удовлетворяют включению .

Можно проверить, что отношение ” вполне параллельно (соответственно параллельно) ” равносильно существованию трансляции пространства ℰ , такой, что (соответственно ).

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством пространства ℰ

Предположение 3.6. Если - непустое подмножество в ℰ , то существует единственное аффинное подпространство в ℰ , обозначаемое , содержащее и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ℰ , содержащее , содержит и .

Говорят, что порождено .

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: есть пересечение всех ЛАМ, содержащих . Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих ”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в начальной точки , что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰ _A , содержащего (поскольку ЛАМ, содержащее , являются ВПП в ℰ ). Таким образом, есть ВПП в ℰ _A , порожденное ; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки в . Если мы заметим, что направляющее подпространство для есть ВПП в , порожденное векторами , то получим также

Предложение 3.7 . Пусть - непустое подмножество в ℰ ; для каждой точки положим . Тогда векторное пространство не зависит от выбора и есть ЛАМ, проходящее через с направлением .

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если - конечное множество, то векторное пространство не зависит от и, следовательно, совпадает с

и .

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного точками пространства ℰ не превосходит ; его размерность равна тогда и только тогда, когда векторов () образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

В последующем ℰ всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством над, вообще говоря, некоммутативным телом . ”Взвешенной точкой” называется элемент ℰ .

Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы) взвешенных точек, такого, что , существует единственная точка , удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):

a) ,

b) ℰ ,

c) ℰ .

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы . Мы обозначим ее .

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.

Свойства. a) Однородность (слева).

Предложение 4.2. Для любого имеем

b) Ассоциативность .

Предложение 4.3. Пусть - разбиение , т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств , таких, что .

Если для любого скаляр отличен от нуля и мы положим , то

.

Доказательства получаются непосредственно

Замечания . По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы , т.е. равна 1. В этом и только в этом случае можно положить

.

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение равносильно каждому из следующих утверждений:

и ℰ , (1)

ℰ , (2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентром конечного подмножества пространства ℰ называется точка . Она существует только тогда, когда характеристика не является делителем числа .

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.

Предложение 4.4. Пусть - конечное семейство взвешенных точек, таких, что для всех , и .

Если характеристика отлична от 2, то существует разбиение множества , такое, что

и .

Доказательство . Если одна из сумм отлична от нуля, то достаточно положить и .

Если все суммы равны нулю, то все равны одному и тому же элементу , такому, что , где .

Если характеристика отлична от 2, то , и, поскольку не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая как двухэлементное подмножество, а как подмножество из элементов.

Следствие. Если характеристика не равна 2, то построение барицентра точек приводится к последовательному построению барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5 . Если - непустое подмножество в ℰ , то есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в .

Доказательство . Уточним сначала, что под носителем семейства понимается множество .

Условившись об этом, выберем некоторую точку в . Барицентры семейства с носителями в суть точки , удовлетворяющие соотношению вида

, (3)

где и . При этом соотношение (3) влечет за собой и поэтому (см. предложение 3.7). Обратно, если - точка из , то найдутся точки , принадлежащие , и скаляры ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что ; это соотношение также записывается в виде

с и ;

таким образом, есть барицентр системы с носителем в .

Определение 4.1 . Подмножество ℰ называется аффинно порождающим ℰ , если ℰ ; оно называется аффинно свободным , если любая любая точка из единственным образом представляется в виде

, где и при любом .

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером .

Выбирая начало в и пологая , легко видеть, что аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что не зависит от выбора .) Отсюда вытекает

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество пространства ℰ было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ .

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ℰ - аффинное пространство конечной размерности , то любой его аффинный репер образован точками.

Обратно, для того, чтобы точек в ℰ образовали аффинный репер , необходимо и достаточно, чтобы векторов образовали базис , или (эквивалентное условие) чтобы точки не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если есть ЛАМ конечной размерности в ℰ и - аффинный репер в , то есть множество точек с . Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая , соединяющая две точки в ℰ , есть множество точек .

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит .

Теорема 4.8 . для того, чтобы непустая часть пространства была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

a) если - любая прямая, соединяющая две точки , содержалась в ;

b) если - эвибарицентр любых трех точек лежал в .

Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в точку и покажем, что есть ВПП пространства .

a) Предположив, что , установим прежде всего, что условия и влекут .

Действительно, по предположению существует точка , такая, что . Точка , определенная условием , принадлежит прямой (АВ ) и, значит, , откуда следует, что .

Рассмотрим далее два любых вектора и в и выберем (что возможно, так как не сводится к ). Точки и (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС) , а поэтому и . Следовательно, точка принадлежит , откуда . Итак есть ВПП в .

Рис. 1

b) Если , то тривиальным образом влечет (так как может принимать только два значения 0, 1). Если , - два вектора из , то точка , определяемая условием , есть эквибарицентр , откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ℰ , - два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами , .

Отображениеℰ называется полуаффинным (соответственно аффинным ), если в ℰ существует такая точка , что отображение , полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка , удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ и отображение не зависит от .

Доказательство . Для любой пары ℰ имеем в силу линейности

,

что и доказывает требуемое.

Обозначения . Отображение обозначается и называется полулинейной (соответственно линейной) частью .

Истолкование. Фиксируем в ℰ некоторую точку и снабдим , векторными структурами, принимая за начало в ℰ точку , а в - точку . Тогда будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если - полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰ_А в .

В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижную точку , сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰ _А в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если , - два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение и есть отображение вида , где полулинейно (соответственно линейно), а - постоянный элемент.

Непосредственные следствия . Если ℰ полуаффинно, то

1) Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в .

2) Прообраз ЛАМ в есть ЛАМ в ℰ или пустое множество.

3) Для любой системы взвешенных точек ℰ образ барицентра есть барицентр , где обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с .

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2 . Пусть ℰ , - аффинные пространства над телами ,, - изоморфизм на , - аффинный репер в ℰ и - семейство точек , индексированное тем же множеством индексов .

Тогда существует единственное полуаффинное отображение пространства ℰ в , ассоциированное с изоморфизмом , такое, что для всех .

Более того, биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для .

Доказательство . Вернемся к теореме , взяв одну из точек в качестве начала в ℰ , а соответствующую точку - в ; отображение определяется равенством

для любого конечного подмножества и любой системы скаляров , таких, что, .

В частности, аффинное отображение ℰ в определяется заданием образа аффинного репера из ℰ .

Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3 . Пусть ℰ - аффинное пространство над телом . Тогда

a) Если ℰ - непостоянное аффинное отображение, то - аффинная гиперплоскость в ℰ с направлением .

b) Обратно, если - аффинная гиперплоскость в ℰ , то существует аффинное отображение ℰ , такое, что , и все аффинные отображения ℰ в с этим свойством суть отображения , где .

Если ℰ - аффинное пространство конечной размерности , то каждое ЛАМ размерности в ℰ определяется системой уравнений вида , где - аффинные отображения ℰ в , линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4 . Пусть ℰ - два аффинных пространства над одним и тем же телом . Для того, чтобы отображение ℰ было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы

a) при

ℰℰ

;

b) при образ эквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a) При фиксированной точке ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора направляющего пространства имеем

.

Отображение удовлетворяет, следовательно, условию .

Чтобы доказать, что выполняется и условие для любых , выберем такие , что , и , определим точки , условиями , . Применяя условие a), получим тогда ,

откуда

.

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ в является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ℰ аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5 . Если - полуаффинное отображение и множество его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством , состоящим из неподвижных элементов отображения .

С другой стороны, если конечномерно и не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство . Если фиксировать точку , условие равносильно и, значит, условию где

· Если - неподвижная точка то равносильно откуда вытекает первое утверждение.

· Если , то отображение инъективно и потому в случае конечной размерности биективно; в существует единственная точка такая, что откуда следует второе утверждение.

Важное замечание . Если - произвольное отображение и - биекция, то

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если и - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции на образуют группу, которую мы обозначаем (соотв. ). Отображение (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм на и на группу полулинейных биекций на .

Наконец, для любой точки в ограничение на группу изотропии точки в (соотв. ) является изоморфизмом этой группы на (соотв. ).

Последнее утверждение получим, выбирая в качестве начала в .

Следствие. Если подгруппа в (соотв. в ), то есть подгруппа в (соотв. в ); при этом если инвариантная подгруппа, то такова же и .

В частности, если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциями.

Если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциям и центральными симметриями.

Если инвариантная подгруппа группы , образованная векторными гомотетиями, то есть инвариантная подгруппа в , называемая группой дилатаций.

Пусть дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда векторная гомотетия вида где В этом случае имеет единственную неподвижную точку определяемую из условия где произвольная точка . Таким образом, выражается как Такое отображение называется гомотетией с центром и коэффициентом

Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии составляют инвариантную подгруппу группы , называемую группой дилатаций . Мы обозначаем ее .

Если основное тело коммутативно, то группа является инвариантной подгруппой группы .

Проектирования

Назовем проектированием любое аффинное отображение пространства в себя, удовлетворяющее условию

Рис. 2

Для такого отображения любая точка является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства . Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:

Предложение 5.8 . Отображение является проектированием, если существует ВПП пространства и ЛАМ в с направляющим подпространством дополнительным к , такие, что для любой точки ее образ есть точка пересечения с ЛАМ, проходящим через с направлением (рис. 2).

Аффинные симметрии

Теорема 5.9. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над телом характеристики .

Для того, чтобы аффинное отображение было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией

Такое отображение называется аффинной симметрией .

Доказательство . Если и , то образом середины отрезка будет середина отрезка таким образом, эта точка инвариантна при отображении и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.

Предложение 5.10. Отображение является аффинной симметрией, если существуют ВПП пространства и ЛАМ с направлением, дополнительным к такие, что для любой точки (см.рис.2)

1).

2). Середина принадлежит .

Если сводится к одной точке то и есть центральная симметрия с центром

Теорема Фалеса

Пусть по-прежнему есть ВПП в и - два аффинных пространства в , направляющие которых соответственно дополнительны к Обозначим через (соотв. ) ограничение проектирования на (соотв.) параллельно Тогда, как легко видеть, является аффинной биекцией на , обратная к которой есть . Образ точки определяется условиями и (см. рис. 3).

В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

Рис.3

указанным способом соответствие между и является аффинным.

В частности, если векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения .

Пусть снова - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Как мы уже видели, выбор начала в позволяет отождествить с теперь мы докажем, что канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства изоморфного

Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке отображения

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть левое векторное пространство над телом а произвольное множество. Тогда множество отображений в есть левое векторное пространство над по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:

и

В силу доказанного искомое векторное пространство будет ВПП в , порожденным отображениями Поэтому мы начнем с изучения этого пространства

Предложение 6.1 . Пусть - векторное подпространство в , порожденное функциями пуст, далее, элемент из . Тогда

А). Сумма зависит только от функции и притом линейно, т.е. является линейным отображением в которое мы обозначим

Б). Если то существует единственная точка , такая, что .

В). Если то постоянна.

Доказательство . Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек , такие, что но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары выполнено соотношение

, (1)

которое доказывает существование и линейность функции

Б). Если выберем в произвольную точку Соотношение (1) показывает, что в существует единственная точка такая, что она определяется условием Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой Таким образом, барицентр семейства зависит только от функции

В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).

Следствие . является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида

Предложение 6.2. Пусть отображение и пусть отображение в которое любому вектору ставит в соответствие постоянную функцию, равную на .

Тогда аффинно с линейной частью и потому инъективно; при этом есть аффинная гиперплоскость в с уравнением

Доказательство . Для любой пары разность есть постоянная функция ; положим . Таким образом, аффинно, и инъективно, как и

С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции суть элементы удовлетворяющие условию .

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству , ассоциированному с векторным -пространством , можно канонически присоединить:

· Векторное пространство изоморфное ,

· Ненулевую линейную форму на ,

· Аффинную инъекцию , такую, что - аффинная гиперплоскость в с уравнением

Доказательство . Остается только установить изоморфизм между и . Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка, отображение , линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки .

Заметим, что аффинная гиперплоскость имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость постоянных функций, которая отождествляется с .

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству , но это связано с утомительными выкладками.

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение единственным образом определяемое заданием.

Обозначения. Векторное пространство , построенное таким образом, называется векторным продолжением и обозначается .

Если имеет размерность то размерность равна . Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

Вернемся к обозначениям §6. Инъекция позволяет нам отождествить с аффинной гиперплоскостью в , в то время как ее линейная часть позволяет отождествить с векторной гиперплоскостью

Предложение 7.1. Пусть конченое семейство взвешенных точек , где точки отождествлены с элементами . Для того, чтобы элемент из принадлежал (соотв. ), необходимо и достаточно, чтобы (соотв. ).

Доказательство. Это вытекает из соотношения

Правило . Отождествление с подмножеством в позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации элементов . Но такая комбинация представляет элемент из только тогда, когда ( этот элемент будет барицентром системы ); если же то представляет элемент из равный для любой точки .

Приложения . 1). Для того, чтобы три точки из были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры такие, что

и (1)

Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению ; они интересны своей симметричной формой относительно и возможностью складывать подобные соотношения.

2). Если то барицентром системы является точка пересечения с векторной прямой с направляющей в .

3). Для того чтобы семейство точек из было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве

В частности, аффинный репер является базисом содержащимся в

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений

Предложение 7.2. Пусть , - два векторных пространства над одним и тем же телом и (соответственно ) – аффинная гиперплоскость в (соотв. ), не проходящая через начало; обозначим (соответственно ) векторную гиперплоскость, параллельную (соответственно ).

А) Если - линейное отображение, такое, что , то ограничение на есть аффинное отображение в , линейная часть которого есть ограничение на .

Б) обратно, если - аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение , ограничения которого на совпадает с .

Доказательство.

А) Если линейно и , то для любых точек из имеем и . Ограничения на аффинно с линейной частью , .

Б) Обратно, пусть- аффинное отображение. Фиксируем точку в и обозначим через (соответственно ) векторную прямую в (соответственно ), порожденную (соответственно ) (рис 4). Тогда , , и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:

1. ,

2. Ограничения на равно линейной части .

Но существует единственное линейное отображение из в , удовлетворяющее этим условиям ( определено своими ограничениями на дополнительные ВПП и пространства ); тогда ограничение на - есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и , и принимающее в то же значение, что и , а тем самым равное , откуда вытекает доказываемый результат.

Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями в и линейными отображениями в , удовлетворяющими условию .

С другой стороны, если , и , это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).

Рис.4

Наконец, если - автоморфизм и - аффинная гиперплоскость в , то включение влечет равенства . В самом деле, есть аффинная гиперплоскость в , и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в .

Т.о. мы можем сформулировать

Предложение 7.3. Пусть - векторное пространство, - аффинная гиперплоскость в , не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций на стабилизаторе в (подгруппу , состоящую из изоморфизмов , для которых ).

Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, , - векторные продолжения аффинных пространств , , а , - образы , при канонических погружениях , : всякое аффинное отображение в , отождествляется с линейным отображением пространства в пространство , удовлетворяющим требованию , и группа аффинных биекций отождествляется с подгруппой , сохраняющей аффинную гиперплосклость

Случай конечной размерности.

Если аффинное пространство имеет конечную размерность , то в можно выбрать базис так, что при и . Тогда есть декартов репер в с началом (рис 4).

В этом случае является множеством точек пространства , таких, что ; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением в базисе . Эндоморфизмы пространства , удовлетворяющие условию , - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе имеет вид

, (2)

где - квадратная матрица порядка . Эндоморфизму с матрицей (2) соответствует аффинное отображение , координатное выражение которого в декартовом репере имеет форму

, (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство . Таким образом, получается

Теорема 7.4. Группа аффинных биекций -мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы , образованной матрицами вида (2), где принадлежит .

В частности, группа аффинных биекций тела изоморфна подгруппе в , состоящей из матриц вида .

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

Ниже мы обозначаем через , два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами над произвольными телами . Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений в . Для ясности начнем со случая инъективных отображений.

Теорема 8.1. Допустим, что . Для того, чтобы инъективное отображение было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:

1. Образ любой аффинной прямой из был аффинной прямой в ;

2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство

достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что удовлетворяет условиям 1) и 2).

А). Образы при двух различных прямых , из суть также две различные прямые.

В самом деле, пусть , - прямые в , имеющие один и тот же образ , пусть - две различные точки их общего образа. Тогда прообразы точек и принадлежат и одновременно и различны (в силу иньективности ), откуда следует, что .

Б). Отображение , не зависит от выбора в .

В самом деле, пусть другая точка и , таковы, что . Если

- несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ тоже настоящий параллелограмм, откуда

,

Если точки принадлежат одной прямой , то предположение позволяет выбрать в точки так, что . Применяя предыдущий случай, имеем

откуда.

Отображение обозначаем отныне просто .

В). Отображение инъективно и удовлетворяет условию

. (1)

Инъективность сразу следует из инъективности . С другой стороны, для любых данных выберем в такие точки , , , и . Тогда .

Д). Существует отображение , такое, что

. (2)

Доказательство. Достаточно найти , удовлетворяющее условию (2) при . Для заданной пары выберем , , в так, что , . Так как точки , и коллинеарны, то коллинеарны и векторы ; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем , такого, что . Остается доказать, что не зависит от вектора (по предположению ненулевого).

1). Если два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и , ; в противном случае образы двух прямых , , проходящих через одну и ту же точку с направляющими , совпадали бы, что невозможно в силу А).

Для любого имеем

,

откуда в силу неколлинеарности ,

.

2). Если , - коллинеарные ненулевые векторы, то предположение позволяет выбрать так, что пары и свободны. Отсюда находим, что

.

Так для каждого отображение , есть константа, мы обозначим ее через .

Е). Отображение является изоморфизмом тел.

Выбрав , мы увидим прежде всего, что соотношения и влекут (с учетом )

и ,

т.е. показывают, что - гомоморфизм тел.

Наконец, для любой точки отображение есть биекция на прямую ; ограничение на есть биекция на прямую . Следовательно, композиция , биективна. Отсюда вытекает, что отображение биективно.

Итак, изоморфизм тел, полулинейное отображение, ассоциированное с , и полуаффинное отображение.

Случай плоскости.

Если и двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности . Мы можем, таким образом, сформулировать

Следствие. Если ,аффинные плоскости и - инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в есть прямая в , то полуаффинное отображение.

Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если инъективное отображение в себя, такое, что образ любой прямой есть прямая, параллельная ; тогда можно непосредственно доказать, что дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

Теорема 9.1. Пусть ,аффинные пространства над телами , , отличными от поля ; для того, чтобы отображение было полуаффинным, достаточно, чтобы

1). Образ любой прямой в был прямой в , либо сводился к одной точке.

2). Аффинное подпространство в , порожденное , имело размерность .

Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что удовлетворяет условиям 1) и 2).

Лемма 1. Если есть ЛАМ в , то - ЛАМ в .

Доказательство. Пусть и - две различные точки в . Тогда прямая есть по условию 1) образ прямой ; так как прямая содержится в , прямая содержится в . Результат теперь вытекает из теоремы 4.8.

Лемма 2 . Если - ЛАМ в и множество непусто, то оно является ЛАМ в .

Доказательство. Результат очевиден, если сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек , прямая содержится в согласно 1). Таким образом, прямая содержится в и теорема 4.8 показывает, что есть ЛАМ.

Лемма 3. Для любой непустой части пространства

. (1)

Доказательство. есть ЛАМ в , содержащее ; по лемме 1, есть ЛАМ в , содержащее . Отсюда следует включение

.

Аналогично, по лемме 2, есть ЛАМ в , содержащее , а потому и ; имеет место включение ; применение отображения дает .

Окончательно получаем равенство (1).

Лемма 4. Пусть - пара параллельных прямых в . Если сводится к точке, то же имеет место и для . Если - прямая, то и - прямая, параллельная .

Доказательство. Мы можем предположить, что . Тогда есть ЛАМ размерности 2 в , порожденное двумя точками , одной из прямых и точкой другой прямой; по леммам 2и 3, есть ЛАМ размерности .

А). Покажем сначала, что либо .

Допустим, что и действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки и , такие, что . Выбирая и полагая по-прежнему , получим с помощью леммы 3, что

и аналогично

,

откуда .

Поскольку сформулированное утверждение при очевидно, будем далее полагать , т.е. считать, что и не имеют общих точек.

Б). Предположим, что - прямая в и ; тогда имеет размерность 2.

Если бы на прямой существовали две точки , такие, что , то для любой точки мы имели бы и , и тогда не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что - прямая.

Значит, и - две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.

В). Если сводится к одной точке, то меняя ролями ии применяя результат Б), мы видим, что также сводится к точке.

Лемма 5. Если пара точек в , таких, что множества ,

непусты, то и - ЛАМ с общим направлением.

Доказательство. По лемме 2, и суть ЛАМ в . Предполагая, что , фиксируем точку в и точку в ; параллельный перенос на вектор обозначим через . Для любой точки прямая параллельна прямой, и поскольку образ прямой сводится к одной точке , то образ прямой сводится к одной точке . Таким образом, влечет и имеет место включение .

Меняя ролями и , получим включение , откуда . Итак, , имеют общее направление.

Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .

Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.

Доказательство. Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .

Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .

По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .

Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .

Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в фнекоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).

Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .

Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.

Доказательство. Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .

Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .

По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .

Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .

Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в некоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).