Реферат: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа 1

Численные методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением , а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, (1)

в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а - неизвестная функция y ( x ) и ее первые n производные.

Число называется порядком уравнения .

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

- уравнения без начальных условий

- уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями - это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором удовлетворяет следующим условиям:

,

т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.

Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x ₁ можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y "( x ₀ ) можно выразить через производную функции f ( x , y ) , однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y ₁ = y ₀ + h [ β f ( x ₀ , y ₀ ) + α f ( x ₀ + γh , y ₀ + δh )], (3)

где α , β , γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h :

y ₁ = y ₀ +( α + β ) h f ( x ₀ , y ₀ ) + αh ² [ γ f_x ( x ₀ , y ₀ ) + δ f_y ( x ₀ , y ₀ )],

и выберем параметры α , β , γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x ₀ , y ₀ ).

С помощью этих уравнений выразим β , γ и δ через параметры α , получим

y ₁ = y ₀ + h [(1 - α ) f ( x ₀ , y ₀ ) + α f ( x ₀ +, y ₀ + f ( x ₀ , y ₀ )], (4)

0 < α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x ₀ , y ₀ ) в (4) подставить (x ₁ , y ₁ ), получим формулу для вычисления y ₂ – приближенного значения искомой функции в точке x ₂ .

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [ x ₀ , X ] на n частей, т.е. с переменным шагом

x₀ , x₁ , …,x_n ; h_i = x_i+1 – x_i , x_n = X. (5)

Параметры α выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:

y_i+1 =y_i +h_i f(x_i + , y_i + f(x_i , y_i )), (6.1)

i = 0, 1,…, n -1.

и α =0,5:

y_i+1 =y_i + [f(x_i , y_i ) + f(x_i + h_i , y_i + h_i f(x_i , y_i ))], (6.2)

i = 0, 1,…, n -1.

Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:

y_i+1 =y_i + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄ ),

k₁ =f(x_i , y_i ), k₂ = f(x_i + , y_i + k₁ ), (7)

k₃ = f(x_i + , y_i + k₂ ), k₄ = f(x_i +h, y_i +hk₃ ).

Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y ( x ; h ) – приближенное значение решения в точке x , полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h , а p – порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R ( h ) значения y ( x ; h ) можно оценить, используя приближенное значение y ( x ; 2 h ) решения в точке x , полученное с шагом 2 h :

(8)

где p =2 для формул (6.1) и (6.2) и p =4 для (7).

Уточненное решение пишем в виде

. (9)

В алгоритмах с автоматическим выбором шага предварительно задают погрешность в виде положительного параметра ε, и на каждом этапе вычисления следующего значения y_{i +1} подбирают такой шаг h , при котором выполняется неравенство

, (10)

Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m дифференциальных уравнений первого порядка с m неизвестными функциями

x (x₀ , X), (11)

y₁ (x₀ )=y_1,0 , y₂ (x₀ )=y_2,0 ,…, y_m (x₀ )=y_m,0 . (12)

Приведем для задачи (11), (12) расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требуется найти систему m функций y ₁ ( x ), y ₂ ( x ),…, y_m ( x ), удовлетворяющих в интервале ( x ₀ , X ) дифференциальным уравнениям (11), а в точке x ₀ – начальным условиям (12). Предположим, что отрезок [ x ₀ , X ] разбит на N частей:

x_i = x ₀ + i h_i ,

Тогда каждую l -ю функцию y_l ( x ) можно приближенно вычислять в точках x_{i +1} по формулам Рунге-Кутта

K_l,1 =f_l (x_i , y_1,i , y_2,i ,…,y_m,i ), i=1, 2, …, m,

K_l,2 =f_l (x_i + , y_1,i + K_1,1 , y_2,i + K_2,1 ,…,y_m,i + K_m,1 ), i=1, 2, …, m,

K_l,3 =f_l (x_i + , y_1,i + K_1,2 , y_2,i + K_2,2 ,…,y_m,i + K_m,2 ), i=1, 2, …, m, (13)

K_l,4 =f_l (x_i + h, y_1,i + hK_1,3 , y_2,i + hK_2,3 ,…,y_m,i + hK_m,3 ), i=1, 2, …, m,

Y_l,i+1 = y_l,i +( K_l,1 + 2 K_l,2 + 2 K_l,3 + K_l,4 ), i=1, 2, …, m,

Здесь через y_{l , i} обозначается приближенное значение функции y_l ( x ) в точке x_i .

Обратите внимание на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты K_{l , i} в следующем порядке:

K_1,1 , K_{2 ,1} ,…, K_m,1 ,

K_1,2 , K_{2 ,2} ,…, K_m,2 ,

K _1,3 , K _{2 ,3} ,…, K_{m ,3} ,

K _1,4 , K _{2 ,4} ,…, K_{m ,4} ,

и лишь затем приближенные значения функций y _{1, i +1} , y _{2, i +1} ,…, y_{m , i +1} .

Задачи Коши для дифференциальных уравнений n -го порядка

y⁽ⁿ⁾ =f(x, y, y', …, y^(n-1) ), x (x₀ , X), (14)

y(x₀ )=y₀ , y'(x₀ )=y_1,0 , …, y^(n-1) (x₀ )=y_n-1,0 (15)

сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных

z ₀ = y , z ₁ = y ',… , z_n-1 = y^(n-1) . (16)

Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений

(17)

Начальные условия (15) для функций z_l переписываются в виде

z₀ (x₀ )= y₀ , z₁ (x₀ )= y_1,0 ,…, z_n-1 (x₀ )= y _{п -1,0} . (18)

Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:

z_l,i+1 = z_l,i + (K_l,1 + 2K_l,2 + 2K_l,3 + K_l,4 ), (19)

i =0, 1, …, N , l =0, 1, …, n -1.

Для вычисления коэффициентов K_{l ,1} , K_{l ,2} , K_{l ,3} и K_{l ,4} имеем следующие формулы:

K _0,1 = z _{1, i} ,

K_{1 ,1} = z_{2 , i,}

…………

K_n-1,1 = f(x_i , z_0,i , z_1,i ,…, z_n-1,i ,),

K _0,2 = z _{1, i} + K _1,1 ,

K_{1 ,2} = z_{2 , i} + K_{2 ,1} ,

…………………

K_n-1,2 = f(x_i + , z_0,i + K_0,1 , z_1,i + K_1,1 ,…, z_n-1,i + K_n-1,1 ),

K_0,3 = z _{1, i} + K _{1, 2} ,

K_1,3 = z_2,i + K_{2 ,2} ,

……………………

K_n-1,3 = f(x_i + , z_0,i + K_0,2 , z_1,i + K_1,2 ,…, z_n-1,i + K_n-1,2 ),

K_0,4 = z_1,i + hK_1,3 ,

K_1,4 = z_2,i + hK_2,3 ,

……………………

K_n-1,4 = f(x_i + h, z_0,i + hK_0,2 , z_1,i + hK_1,2 ,…, z_n-1,i + hK_n-1,2 ).

Задания лабораторной работы 1

1. Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.

2. Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)

3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.

Задача № 1 . Решить задачу Коши на отрезке [x₀ ,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.

Варианты заданий в табл.1.

Табл.1.

Задача № 2 . Решить задачу Коши для дифференциального уравнения сведением к задачи Коши для системы уравнений первого порядка.

Табл.2.

Задача № 3 .

Найти методом Рунге-Кутта с точностью ε = 10^-8 решение задачи Коши y '( x )=2 x (1+ y ² ), y (0)=0 в точке x =1 .

(Точным решением является функция y ( x )= tg ( x ² ) )

Задача № 4 .

Решить методом Эйлера на отрезке [1, 2] задачу Коши

y '( x )= , y (1)=0.

(Точным решением данной задачи является функция y ( x )= tg ( ln ).

Контрольные вопросы:

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?

2. Какие методы решения задач для дифференциальных уравнений вы знаете?

3. В каком случае решение дифференциального уравнения единственно?

4. Рассказать правило Рунге для оценки погрешности.