СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Механика твёрдого тела. Динамика поступательного и вращательного движения твёрдого тела. Определение момента инерции тела с помощью маятника Обербека

Контрольные вопросы

Решение

2. Колебания и волны

2.1 Кинематика колебательного движения

Контрольные вопросы

Решение

2.2Динамика колебательного движения

Контрольные вопросы

Решение

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Целью расчётно-графической работы является углубление и закрепление знания основных понятий и законов двух разделов: «Механика твёрдого тела» и «Гармонические колебания». Для того, чтобы укрепить знания по разделу «Механика твёрдого тела» необходимо с помощью маятника Обербека исследовать зависимость углового ускорения от момента внешней силы при условии, что I ₀ = const , и зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения, рассчитав при этом момент инерции согласно теореме Штейнера.

1. МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Контрольные вопросы

1. Момент инерции точки относительно данной оси – скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от этой точки до оси. (I_i = m_i r_i ² ). Момент инерции тела относительно оси вращения – физическая велиина равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. (I=ΣI_i =Σm_i r_i )

2. Роль момента инерции во вращательном движении. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении подобно тому, как масса есть мера инертности при поступательном движении. Момент инертности показывает распределение массы в пространстве относительно оси вращения.

3. Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рисунке

Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C , а другая через произвольную точку P , расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δm _i – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

Выражение для I_P можно переписать в виде:

Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно, I ₀ = I_c + ma ² =0,5 mR ² + m =1,5 mR ²

где m – полная масса тела.

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции I_c относительно оси, проходящей через центр масс плюс произведение массы тела на квадрат расстояния «а» между осями.

4. Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина М равная проекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки на данной оси Z. Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и OF, на вектор силы: Направление момента силы совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении.

Уравнение динамики вращательного движения тела : Элементарная работа всех внешних сил при таком повороте равна элементарному изменению кинетичекой энергии:

dA=dE_k => M=dε => M=Idω/dt => M=d(Iω)/dt

5. M = Iε – это основное уравнение динамики вращательного движения тела : угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на него сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси вращения. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела:F = ma

Ускорению поступательного движения тела а соответствует угловое ускорение вращательного движения ε . Аналогом силыF при поступательном движении, является момент силы М во вращательном движении, а аналогом массы тела m при поступательном движении, служит момент инерции тела I при вращательном движении.

Решение

Найдём момент инерции J ₀ системы, если известны масса груза m , радиус блока R , l =0, трением пренебречь.

J₀ =m(g-a)R/ε=m(g-a)R² /a

Вычислим и получим результат:J ₀ =0,0057кгм²

Строим график зависимости J = f ( l ) при l ₁ , l ₂ , l ₃ .

Момент инерции маятника Обербека согласно теореме Штейнера может быть записан в виде:

J = J ₀ +4 m ₀ l ²

где l – расстояние центров грузов m от оси вращения.

Рассчитаем момент инерции системы для различных l :

при l =0 J = J ₀ = 0,0057кгм²

при l ₁ =0,3 J ₁ =0,0201кгм²

при l ₂ =0,1 J ₂ = 0,0073кгм²

при l ₃ =0,5 J ₃ = 0,0457кгм²

Составим таблицу результатов расчётов и отразим это графиком:

2. Строим график зависимости ε= f ( M ) при m ₁ , m ₂ , m ₃ при J = const

Вращающий момент равен M = TR , где силу натяжения нити T находим из уравнения T = m ( g - a ), тогда M = m ( g - a ) R .

Из основного уравнения динамики для вращательного движения находим главное угловое ускорение:ε= m / J = m ( g - a ) R / J , где J =const(по условию)

Возьмём значение момента инерции из п.2: J = J ₀ = 0,0057 кгм²

Сделаем расчёт вращающего момена М при различных значениях m:

при m ₁ =0,2 M ₁ = 0,2(9,8-0,3)0,03=0,057Нм

при m ₂ =0,1 M ₂ = 0,1(9,8-0,3)0,03=0,0285Нм

при m ₃ =0,3 M ₃ = 0,3(9,8-0,3)0,03=0,0855Нм

Сделаем расчёт для углового ускорения ε :

при m ₁ =0,2 ε= M ₁ / J ₀ = 10с^-2

при m ₂ =0,1 ε= M ₂ / J ₀ = 5с^-2

при m ₃ =0,3 ε= M ₃ / J ₀ = 15с^-2

Составим таблицу результатов расчёта и отразим это графиком:

Мы получили линейную зависимость ε от М при J = const и различных массах m ₁ , m ₂ , m ₃ .

2. Колебания и волны

2.1 Кинематика колебательного движения

Контрольные вопросы

1. Колебания – это процессы обладающие некоторой повторяемостью во времени. Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону синуса и косинуса. Амплитуда – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени. Фаза – угловое отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени. Циклическая частота – число колебаний за 2π единиц времени. Период – время одного полного колебания.

2. Дано: А=5см; Т=4с; φ₀ =π/2 Уравнение: ω=2π/T=π/2 => х=5sin(π/2t+π/2)

при t₁ =0, Х=0; при t₂ =1,5, Х=-5.

3. Дано: А=5 см; Т=8, ω = π/4(по формуле п.2). Написать уравнение гармонического колебания:

a. φ₀ =0; x=5cos(π/4t+0)= 5cos(π/4t)

b. φ₀ =π/2; x=5cos(π/4t+ π/2)=-5cos(π/4t)

c. φ₀ =π; x=5cos(π/4t+π)=-5cos(π/4t)

d. φ₀ =3π/2; x=5cos(π/4t+3π/2)=5sin(π/4t)

e. φ₀ =2π; x=5cos(π/4t+2π)= 5cos(π/4t)

Решение:

Из уравнения гармонического колебательного движения точки определяем смещение точки и строим график X = f ( t ) в пределах одного периода:

X = Acos ( ωt + φ ₀ )= 5 cos ( πt + π

приt ₁ = 4 c; X ₁ = -5

приt ₂ = 4,5с; X ₂ = 0

приt ₃ = 5с;X ₃ = 5

приt ₄ = 5,5с;X ₄ = 0

Период равен:T =2π/ω=2 c

2. Определяем скорость колеблющейся точки и по результатам расчёта строим график в пределах одного периода:

При t ₁ =4 cV ₁ = 0

Приt ₂ =4,5 cV ₂ = 15,7 м/с

При t ₃ =5 cV ₃ = 0

При t ₄ =5,5 cV ₄ =-15,7 м/с

При t ₅ =6 cV ₅ = 0

3. Определяем ускорение колеблющейся точки и по результатам расчёта строим a = f ( t ) график.

A=dv/dt=-Aω² cos(ωt+φ₀ )=-5π² cos(πt+π/2)

Приt₁ =4 c, a₁ = 0

Приt ₂ =4,5c,a ₂ = 49,3 м/с²

При t ₃ =5 c,a ₃ = 0

При t ₄ =5,5 c,a ₄ = -49,3 м/с²

При t ₅ =6 c,a ₅ = 0

4. Для большей наглядности сведём все три графика X=f(t), V=f(t), a=f(t) на одни оси.

2.2 Динамика колебательного движения контрольные вопросы

· Сила действующая на колеблющуюся материальную. точку массой m:

· F= - mω₀ x

· Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания: E_k = mA ² ω² cos ² (ω t +φ)/2

· Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:E _п = E ₀ sin ² (ω t +φ)

· Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания: E = mA ² ω² /2

1. Дано: x=0,1sin(π/8•t+π/4), m=0,16 кг.

F_max =F₀ =mAω² =0,16*0,1*(π/8)² =0,003H

F=-F₀ sin(ωt+φ)=-0,52sin(π/8•t+π/4)

При t ₁ =0c, F ₁ =-0,37 H

Приt ₂ =1c, F ₂ = -0,48 H

При t ₃ =2 c, F ₃ = -0,52 H

При t ₄ =3 c, F ₄ = -0,48 H

При t ₅ =4с, F ₅ =-0,37H

При t ₆ =5c, F ₆ = -0,2 H

При t ₇ =6,F ₇ =0H

При t ₈ =7, F ₈ = 0,2H

При t ₉ =8,F ₉ = 0,37

2. Дано: m=0,16 кг, x=2sin(π/4·t+π/4)

E₀ =E пол = 0,16·4(π/4)² /2=0,2Дж

E_k =E₀ cos² (ωt+φ)=0,2cos² (π/4·t+π/4)

E_п =E₀ sin² (ωt+φ) =0,2sin² (π/4·t+π/4)

При t ₁ =0 c,E_{k 1} =0,1Дж E _п =0,1Дж

Приt ₂ =0,5 c,E_{k 2} =0,03ДжE _п =0,17Дж

При t ₃ =1 c,E_{k 3} =0E _п =0,2Дж

При t ₄ =1,5 c,E_{k 4} =0,03ДжE _п =0,17Дж

При t ₅ =2 c, E_{k 5} = 0,1ДжE _п =0,1Дж

Решение

1. Найдём силу для момента времени t и максимальную силу F_m :

F= - mA(π/4)² sin(π/4·t+π/2)=0,37H

F_max =F₀ =mAω² =0,52H

F=-F₀ sin(ωt+φ)= - 0,52 sin(π/4·t+π/2)

При t ₁ =1 c, F ₁ =- 0,37H

Приt ₂ =1,5c, F ₂ = - 0,2H

При t ₃ =2 c, F ₃ = 0

При t ₄ =2,5 c, F ₄ = 0,2H

При t ₅ =3c, F ₅ = 0,37H

При t ₆ =3,5,F ₆ =0,48H

При t ₇ =4, F ₇ = 0,52H

При t ₈ =4,5,F ₈ = 0,48H

При t ₉ =5, F ₉ = 0,37H

При t ₁₀ = 5,5c, F ₁₀ =0,2H

Приt ₁₁ =6c, F ₁₁ = 0

При t ₁₂ =6,5 c, F ₁₂ = - 0,2H

При t ₁₃ =7 c, F ₁₃ = - 0,37H

2. Найдём максимальную кинетическую энергию:

E₀ =E_kmax =mA² ω² /2=1,81 Дж

3. Найдём кинетическую и потенциальную энергию для момента времени t =3 c :

E_k = mV ² /2= mA ² ω ² cos ² (ω t +φ)/2=0,86Дж

E _{п( max )} = E ₀ =1,81Дж

E_k = E ₀ cos ² (ω t +φ)= E ₀ cos ² ( π /4· t + π /2)

При t ₁ =0 c,E_{k 1} =0 Дж

Приt ₂ =0,5c, E_{k 2} =0,27Дж

При t ₃ =1 c,E_{k 3} =0,9Дж

При t ₄ =1,5 c,E_{k 4} =1,53Дж

При t ₅ =2 c,E_{k 5} = 1,81Дж

При t ₆ =2,5E_{k 6} =1,53Дж

При t ₇ =3E_{k 7} =0,9Дж

При t ₈ =3,5E_{k 8} =0,27Дж

При t ₉ =4, E_{k 9} =0

При t ₁₀ =4,5E_{k 10} =0,27Дж

При t ₁₁ =5E_{k 11} =0,9Дж

При t ₁₂ =5,5E_{k 12} =1,53Дж

При t ₁₃ =6E_{k 13} = 1,81Дж

Приt ₁₄ =6,5E_{k 14} =1,53Дж

При t ₁₅ =7E_{k 15} =0,9Дж

Приt ₁₆ =7,5 E_{k 16} =0,27Дж

Приt ₁₇ =8, E_{k 17} =0

Т.к E₀ =1,81 Дж (из п.2)

Найдём значение потенциальной энергии для отдельных моментов времени в пределах одного периода:

E _п =Е_пол -Е_к = mA ² ω ² /2 – mA ² ω ² cos ² (ω t +φ)/2= E ₀ sin ² (π/4· t +π/2)

При t ₁ =0 c,E _п1 =1,81Дж

Приt ₂ =0,5 c,E _п2 =1,53Дж

При t ₃ =1 c,E _п3 =0,9Дж

При t ₄ =1,5 c,E _п4 =0,27Дж

При t ₅ =2 c,E _п5 = 0

При t ₆ =2,5E _п6 =0,27Дж

При t ₇ =3E _п7 =0,9Дж

При t ₈ =3,5E _п8 =1,53Дж

При t ₉ =4, E _п9 =1,81Дж

При t ₁₀ =4,5E _п10 =1,53Дж

При t ₁₁ =5E _п11 =0,9Дж

При t ₁₂ =5,5E _п12 =0,27Дж

При t ₁₃ =6E _п13 = 0

Приt ₁₄ =6,5E _п14 =0,27Дж

При t ₁₅ =7E _п15 =0,9Дж

Приt ₁₆ =7,5E _п16 =1,53Дж

Приt ₁₇ =8, E _п17 =1,81Дж

Заключение

В этой расчётно-графической работе мы исследовали зависимости при определении момента инерции тела с помощью маятника Обербека, а также на примере проследили действие законов из таких разделов физики, как «Механика твёрдого тела» и «Колебания и волны». Данная расчётно-графическая работа актуальна, так как она помогает овладеть аналитико-синтетическим методом, усилив внимание на качественной стороне физической сущности явлений; развивает практические навыки работы со справочной литературой; помогает овладеть элементами научно-исследовательской и самостоятельной творческой работы; позволяет использовать один из вариантов внедрения ПК в учебный процесс с помощью решения задач и построения графиков.

Список литературы

1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999 г.

2. Бачище А.В. Краткий курс общей физики. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. – Новороссийск: НГМА, 1999 г.