БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра ЭТТ
РЕФЕРАТ
На тему:
«Структура и качество оптического изображения»
МИНСК, 2008
Основные характеристики структуры изображения
Изображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения.
Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций  и  . Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от пространственных координат.
Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу.
Свойство линейности
Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта:
 . (1)
То есть, если предмет – это сумма точек  , то изображение – сумма изображений этих точек  . Изображающие оптические системы полностью линейны.
Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)
При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину (рис.1):
 , (2)
где V – обобщенное увеличение.
Рисунок.1 - Условие изопланатизма.
В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях.
Изопланатическая зона
– это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны.
Функция рассеяния точки
В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния
(рис.2).
Рисунок 2 - Изображение точки в пределах изопланатической зоны.
Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки
.
Функция рассеяния точки
(ФРТ, point spread function, PSF)
 – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.
Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет , то каждая его точка изображается в виде функции  , то есть ФРТ смещается в точку с координатами  (рис.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этих изображений:
 . (3)
Если увеличение V
принять за единицу, то выражение (3) становится сверткой (конволюцией).
Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки:
 (4)
Гармонический периодический объект
Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки.
Периодическая решетка
– это структура с белыми и черными полосами.
Гармоническая периодическая решетка
– это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.3).
В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора.
Рисунок 3 - Гармоническая периодическая решетка
Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:
 , (5)
где a – вещественная амплитуда, b – сдвиг, T – период, q – угол ориентации.
Вместо периода можно использовать пространственную частоту
 , а вместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду:
 , (6)
Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:
 , (7)
Величину  можно выразить как  , тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат (
x
,
y
):
 (8)
где  – частота в направлении x,  – частота в направлении y.
Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию.
Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию  (8):
 . (9)
Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V=1, следовательно:
 .
После замены переменных  получим:
или, после переобозначения  :
 . (10)
Двойной интеграл в выражении (9.10) – это некоторая функция  , зависящая от пространственных частот.
Обозначим  , и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде:
 . (11)
Как показывают соотношения (8) и (11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы.
Оптическая передаточная функция (ОПФ)
Оптическая передаточная функция
(optical transfer function, OTF)
характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:
. (12)
ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье:
 (13)
или 
или  ,
где F – обозначение Фурье преобразования:
 . (14)
ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.
Оптическая передаточная функция – это комплексная функция:
 . (15)
Модуль ОПФ  называется модуляционной передаточной функцией
(МПФ) или частотно-контрастной характеристикой
(ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ  называется фазовой передаточной функцией
(ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК).
Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта:
 , (16)
где a – амплитуда на предмете, a¢ – амплитуда на изображении.
Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений (рис.9.4) определяется выражением:
 . (17)
Рисунок 4 - Контраст гармонического объекта.
 . Абсолютный контраст
 получается, когда  (рис.5.а). Контраст в изображении нулевой  , когда  – изображение практически отсутствует (рис.5.б).
Рисунок 5 - Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта
Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если:
 , (18)
где  – порог контраста, зависящий от приемника изображения (например, для глаза  ).
Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную a¢0
и a¢ переменную составляющие изображения гармонического объекта (рис.6):
 . (19)
Рисунок 6 - Постоянная и переменная составляющие изображения гармонического объекта
Если  , то ЧКХ, как следует из выражения (16) будет определяться следующим соотношением:
 , (20)
где k¢ – контраст изображения, k – контраст предмета.
Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси.
Рисунок 7 - Частотно-контрастная характеристика.
Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота n измеряется в [лин/мм]. Для дальнего типа пространственная частота измеряется в [лин/рад].
Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:
- графиков сечений  или  ,
- изометрического изображения “поверхности”  ,
- карты уровней .
Схема формирования оптического изображения
Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации. Эти факторы действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными
. Если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными
(формирование изображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики, без привлечения теории дифракции).
Рисунок 8 - Схема формирования оптического изображения.
Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.8). Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки A0
, и после идеальной оптической системы сходится в точке A¢0
. Наряду с пучками лучей можно также рассматривать сферические волновые фронты Sw
и S¢w
. Действие реальной оптической системы сводится к следующим факторам:
- преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) в сходящийся,
- ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта,
- ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля,
- нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля.
Рассмотрим поле  на выходной сфере (в области выходного зрачка). Волновой фронт близок к выходной сфере, но отличается от нее на величину волновой аберрации. Поле на волновом фронте  . Оптический путь из центра предмета до волнового фронта для всех лучей одинаковый, так как волновой фронт – поверхность равного эйконала. Поскольку для формирования изображения важна разность фаз между выходной сферой и волновым фронтом, а не сама фаза, то можно принять, что фаза волнового фронта равна нулю j=0. При отсутствии аберраций амплитуда поля единичная, следовательно поле на волновом фронте  . Набег фазы от выходной сферы до волнового фронта:
 , (21)
где  – расстояние между волновым фронтом и выходной сферы вдоль луча.
Поле на выходной сфере математически можно представить в виде:
 , (22)
где  – волновая аберрация,  – зрачковая функция.
В выражении (22) учитывается одновременно ограничение пучков и наличие аберраций.
Зрачковая функция
(pupil function, PF)
показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка и в общем случае в канонических координатах описывается выражением:
 , (23)
где  – канонические зрачковые координаты,  – функция пропускания по зрачку,  – область зрачка в канонических координатах.
Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю на изображении. Вблизи изображения геометрическая оптика не применима, поэтому для описания поля на изображении следует использовать теорию дифракции.
Рисунок 9 - Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения.
Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображения применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля. Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис. 9):
 . (23)
Используя зрачковую функцию, выражение (9.23) можно записать в виде:
 . (24) Поскольку  и,  то множитель  можно представить в виде  . Множитель  , следовательно его можно вынести за интеграл, и не учитывать, так как нас интересует только относительное распределение комплексной амплитуды. Тогда выражение (24) преобразуется так:
 (25)
 можно выразить через  и  (рис. 10).
Рисунок 10 - Связь
с радиусом выходной сферы
 и расстоянием
от выходной сферы до точки
Отрезок  , причем  – для крайнего луча, а для остальных лучей:  ,  . Теперь интеграл (25) можно записать так:
 . (26)
Введем канонические (приведенные) координаты
на предмете и изображении:
 . (27)
Тогда в канонических координатах получим:
 . (28)
Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрирование происходит внутри зрачка. Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах, как следует из выражения (28), связана со зрачковой функцией через обратное преобразование Фурье:
 . (29)
Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах.
Функция рассеяния точки – это распределение не амплитуды поля, а интенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды  . Тогда для ФРТ можно получить следующее выражение:
 . (30)
Оптическую передаточную функцию также можно выразить в канонических координатах:
 , (31)
где  – канонические пространственные частоты
:
 (32)
Канонические частоты безразмерные:  . В этих координатах получаем простую связь зрачковой функции с оптической передаточной функцией:
 . (33)
Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можно представить через автокорреляцию зрачковой функции:
 , (34)
где – площадь зрачка в канонических координатах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. и др. Теория оптических систем. – М.: Машиностроение, 2004
2. Дубовик А.С. Прикладная оптика. – М.: Недра, 2002
3. Нагибина И.М. и др. Прикладная физическая оптика. Учебное пособие.- М.: Высшая школа, 2002
|
