Действительные числа:
Теорема: R -
несчётное множество.
Док-во:
метод от противного. Несчётность (0;1)
X1
=0,n11
n12
n13
…n1k
… m1
Î{0,1,…,9}\{9,n11
}
X2
=0,n21
n22
n23
…n2k
… m2
Î{0,1,…,9}\{9,n22
}
……………………… ………………………
Xk
=0,nk1
nk2
nk3
…nkk
… mk
Î{0,1,…,9}\{9,nkk
}
a=0,m1
m2
…mk
… Þa¹x1
a¹x2
a¹x3
…… a¹xk
aÏ(0;1) Противоречие.
0<a<1 Þ R - несчётное множество.
Теорема:
Q -
Счётное множество.
Док-ть: Q+
- счётное, т.к. Q=Q-
U{0}UQ+
Док-во:
Q+
- счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных
множеств. Q-
- Тоже, что и Q+
только все элементы множества отрецательные
. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ - сч. мн.
Предел числовой последовательности:
Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e}
Последовательность {Xn
} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого
бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e- окрестность точки a.
Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.
$n0
=n0
(e)ÎN: n>n0
Þ|xn
-a|<e a=limxn
, при n®¥
Свойства:
1. Единственность
(Если предел есть, то только один)
Док-во:
Метод от противного. a=limxn
, b=limxn
, при n®¥, a>b, a-b=e>0
$n0
=n0
(e/3):|xn
-a|<e/3 и|xn
-b|<e/3
e=a-b=(a-xn
)-(b-xn
)
e=|(a-xn
)-(b-xn
)|£|(a-xn
)|+|(b-xn
)|£2e/3
e£2e/3 Противоречие.
2. Ограниченность
(Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)
Дано: $limxn
=a, при n®¥ - конечный предел
Док-ть:$M>0:|xn
|<M "n
Док-во:
limxn
=a, при n®¥:"e>0 $n0
=n0
(e):a-e<xn
<a+e, при n>n0
Пусть e=1, тогда при n>n0
(1) будет выполняться a-1<xn
<a+1 или |xn
-a|<1
Тогда |xn
|<|(xn
-a)+a|<|xn
-a|+|a|<|a|+1 "n>n0
(1)
P=max{|a1
|,|a2
|,…,|ano
|}
M=max{P,|a|+1}Þ|xn
|<M "n
3. Предел п
одпоследовательности
(Если последовательность имеет предел а, то любая
её подпоследовательность имеет тоже предел а)
Свойства предельного перехода связанные с неравенствами
:
Теорема 1.
Пусть $limxn
=x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)
$limyn
=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)
Если x<y, то для почти всех n xn
<yn
Док-во:
e=y-x>0
$n|
=n|
(e/3): |xn
-x|<e/3 "n>n|
$n||
=n||
(e/3): |yn
-y|<e/3 "n>n|
n0
=max{n|
,n||
}, n>n0
x-e/3<xn
<x+e/3 î
y-e/3<yn
<y+e/3 ìÞ xn
<x+e/3<y-e/3<yn
Þ"n>n0
xn
<yn
Что и т. док-ть.
Следствие:
Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то
эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n
сохраняет знак своего предела)
x=limxn
, x¹0
1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2
limxn
>x/2, при n®¥Из Т.1. следует, что $n0
:"n>n0
xn
>x/2>0
Теорема 2.
Предположим, что $limxn
=x и$limyn
=y, при n®¥
Если для почти всех n:xn
£yn
, то и x£y
Док-во:
Метод от противного. x>y по Т.1. Þxn
>yn
для почти всех n
Противоречие.
Теорема 3.
Теорема о двустороннем ограничении.
Пусь $limxn
=limyn
=a, при n®¥, и предположим, что xn
£zn
£yn
"n, тогда
1) Сущ. limzn
, при n®¥
2) limzn
=a, при n®¥
Док-во:
$n|
=n|
(e):a-e£xn
£a+e, "n>n|
$n||
=n||
(e):a-e£yn
£a+e, "n>n||
n0
=max{n|
,n||
}
n>n0
Þ a-e£xn
£zn
£yn
£a+eÞ a-e£zn
£a+eÞ$limzn
=a
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:
defû {xn
}-б.м. :=limxn
=0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0
=n0
(e) n>n0
Þ|xn
|<e
defû {xn
}-б.б. :=limxn
=¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0
=n0
(e) n>n0
Þ|xn
|>e
Свойство 1.
Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.
{xn
}-б.м. {yn
}-ограниченная {xn
yn
}-б.м.
Док-во:
$M>0:|yn
|£M "n - значит ограничена.
"e>0 $n0
=n0
(e/M):n>n0
Þ|xn
|<e/M Þ
Þ n>n0
|xn
yn
|=|xn
||yn
|£e/M*M=eÞ {xn
yn
}-б.м.
Свойство 2.
Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.
{xn
}-б.б. и {yn
}-отдел от нуля
Док-во:
{1/xn
*1/yn
}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ{xn
yn
}-б.б.
Свойство 3.
Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.
{xn
} и {yn
}-б.м. Þ{xn
+yn
}-б.м.
Док-во:
"e$n|
=n|
(e/2):n>n|
|xn
|<e/2
$n||
=n||
(e/2):n>n||
|yn
|<e/2
n0
=max{n|
,n||
}
n>n0
Þ|xn
+yn
|£|xn
|+|yn
|<e/2+e/2=e
Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей
нужно применить метод мат. индукции.
Свойство 4.
Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака
Док-во:
Очивиднл.
Неопределённые интегралы.
def
/ F(x) называется первообразной
для f(x) на[a;b] если F ¢(x)=f(x)
У непрерывной функции первообразная
всегда есть.
Теорема:
Различные первообразные
одной и той же функции отличаются
на одно и тоже постоянное слагаемое.
Док-во: F1
(x) и F2
(x) – первообразные для f(x)
F(x)= F1
(x)- F2
(x)
F ¢(x)= F1
¢(x)- F1
¢(x)=f(x)-f(x)=0
F(x)=const
Def
/ Совокупность всех первообразных одной
и той же функции называется её
неопределённым интегралом.
Св-ва линейности:
Замена переменных в неопределённом интеграле
или методом подстановки.
Теорема:
Пусть функция x=
x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1
(a;b), fÎC(a;b)
1) 
½x=x(t)
2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда
½t=t(x)
Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)
2) x(t) – строго монотонная Þ$обратная t=t(x)
½t=t(x)
Интегрирование по частям.
Рекуррентная формула.
y=a+bx2
y¢=2bx xy¢=2bx2
=2(y-a)
U=1/yn
dx=dV dU=(-ny¢/yn+1
)dx V=x
In
=x/yn
+2nIn
-2naIn+1
1)
In+1
=(1/2na)(x/yn
+(2n-1)In
), n¹0, a¹0
2)
In
=(1/(2n-1))(2naIn+1
-x/yn
), n¹1/2, a¹0
Поле комплексных чисел.
(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi
– алгебраическая запись комплексного числа
Чертёж :
|
