ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ
СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА
Контрольная работа
по курсу «Математика»
Выполнил студент В.В.Тюрин
Тула 2010
1. Задача 1
Для заданных двух множеств найти произведения  и  , изобразить их графически и найти пересечение
 ,
Решение
1.Определяем мощность декартового произведения:
2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:
3.Определяем пересечение множеств:
 {Ø}
4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются
совокупности точек, обозначенные разными символами.
Рис. 1. Прямое AxB и обратного BxA произведения двух точечных множеств
Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.
2. Задача 2
Вычислить предел функции с использованием основных теорем
Решение
 
3. Задача 3
Раскрытие неопределенности вида  и  с использованием правила Лопиталя
Решение
Неопределенность 
4. Задача 4
Найти производную простой функции 
Решение
Итак, 
5. Задача 5
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале
 
Решение
1. Находим первую производную заданной функции
2. Определяем критические точки первого рода:
 или  ,
Отсюда  , 
3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке  числовой оси:
Таблица 1
Итак,
 
В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.
6. Задача 6
Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки 
Решение
Выполним подстановку:
Продифференцируем обе части уравнения:
 =
7. Задача 7
Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби
Решение
1. Найдем производную знаменателя:
2. Выделим в числителе выражение  , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на  , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем  за знак интеграла.
3. Запишем число  , как  , получим:
4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:
5. Вычислим интеграл  , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:
6. Вычислим интеграл  , для этого выделим в знаменателе полный квадрат.
Интеграл принимает табличный вид:
7. Записываем решение:
8. Задача 8
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям
Решение
 
9. Задача 9
По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь
А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)
Решение
1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):
Рис. 2 Схема треугольника
2 Вычисляем длины сторон:
3. Определяем углы треугольника,
следовательно,  =23.3o
следовательно,  25,4о
Угол  по формуле  .
Следовательно,  , 
4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника
следовательно, все расчеты выполнены правильно.
5. Вычисляем площадь треугольника:
10. Задача 10
Найти для заданной матрицы  присоединенную  и обратную  матрицы
Решение
1.Вычисляем определитель матрицы
Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица  .
2. Вычисляем для всех элементов матрицы  алгебраические дополнения:
3. Записываем присоединенную матрицу:
4. Вычисляем обратную матрицу
5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу
 =
Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.
11. Задача 11
Найти произведения  и  квадратных матриц и 
 
Решение
Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:
1. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)
2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)
12. Задача 12
Найти произведение прямоугольных матриц
 
Решение
1. Сопоставляя размеры заданных матриц
 ,
устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:
2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)
13. Задача 13
Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме
Решение
1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:
  
то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.
2. Вычисляем определитель системы:
так как определитель системы  , следовательно, система имеет решение и при этом одно.
3. Вычисляем остальные определители:
 
4. Вычисляем значения неизвестных:
Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).
2. Решение в матричной форме.
В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:
 .
1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:
 ,  , 
2. Вычисляем определитель матрицы :
Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .
3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:
4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:
5. Вычисляем обратную матрицу  :
6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:
Следовательно, обратная матрица вычислена верно.
7. Решаем заданную систему уравнений:
 или (1, 2, 1).
3. Метод Гаусса
1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:
Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:
Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.
Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.
Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:
Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:
Итак, решение системы уравнений имеет вид:
 , , 
или в краткой форме: (1,2,1).
14. Задача 14
Определить число элементарных событий и простых соединений
Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?
Решение
Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные: 
15. Задача 15
Вычислить вероятность события по классической схеме
Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?
Решение
1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.
2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:
3. Вероятность искомого события:
16. Задача 16
Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.
Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.
Решение
Пусть
P(A) – вероятность попадания 3 раза,
P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,
P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,
P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.
Тогда
P(B)=0,8
P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7
P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6
P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336
17. Задача 17
Вычисление вероятности повторных независимых испытаний
Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.
Решение
Используем формулу Я. Бернулли:
1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:
n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5
2. Вычисление вероятности искомого события:
18. Задача 18
Найти законы распределения случайных величин  и  , если законы распределения случайных величин  и  имеют вид
 
 |
0 |
2 |
4 |
6 |
 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
 |
3 |
5 |
7 |
9 |
 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
Решение
Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.
1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2.
Таблица 2.
 |
 |
3 |
5 |
7 |
9 |
  |
0.3 |
0.2 |
0.2 |
0.3 |
| 0 |
0.1 |
-30.03 |
-5 0.02 |
-70.02 |
-9 0.03 |
| 2 |
0.2 |
-1 0.06 |
-3 0.04 |
-5 0.04 |
-7 0.06 |
| 4 |
0.3 |
1 0.09 |
-1 0.06 |
-3 0.06 |
-5 0.09 |
| 6 |
0.4 |
3 0.12 |
1 0.08 |
-1 0.08 |
-3 0.12 |
2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3.
Таблица 3
 |
-9 |
-7 |
-5 |
-3 |
-1 |
1 |
3 |
 |
0.03 |
0.08 |
0.15 |
0.25 |
0.2 |
0.17 |
0.12 |
2. Проверяем достоверность вычислений:
 0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0
4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины  (произведения тех же случайных величин), используя табл.4.
Таблица 4
 |
|
3 |
5 |
7 |
9 |
  |
0.3 |
0.2 |
0.2 |
0.3 |
| 0 |
0.1 |
0 0.03 |
00.02 |
00.02 |
00.03 |
| 2 |
0.2 |
60.06 |
10 0.04 |
14 0.04 |
18 0.06 |
| 4 |
0.3 |
12 0.09 |
20 0.06 |
28 0.06 |
36 0.09 |
| 6 |
0.4 |
18 0.12 |
90 0.08 |
42 0.08 |
54 0.12 |
5. Записываем закон распределения случайной величины  в табл. 5.
Таблица 5
 |
0 |
6 |
10 |
12 |
14 |
18 |
20 |
28 |
36 |
42 |
54 |
90 |
|
0.1 |
0.06 |
0.04 |
0.09 |
0.04 |
0.18 |
0.06 |
0.06 |
0.09 |
0.08 |
0.12 |
0.08 |
6. Проверяем достоверность вычислений:
0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0
19. Задача 19
Вычислить основные характеристики вариационного ряда
Таблица 6
 |
25 |
29 |
33 |
37 |
41 |
Итого |
 |
16 |
8 |
19 |
10 |
7 |
60 |
Решение
1. Вычисления производим в табличной форме (табл.7).
Таблица 7
| №№ |
|
 |
 |
 |
 |
| 1 |
25 |
16 |
625 |
400 |
10000 |
| 2 |
29 |
8 |
841 |
232 |
6728 |
| 3 |
33 |
19 |
1089 |
627 |
20691 |
| 4 |
37 |
10 |
1369 |
370 |
13690 |
| 5 |
41 |
7 |
1681 |
287 |
11767 |
| Итого |
60 |
6505 |
1916 |
62876 |
| Среднее |
- |
- |
93,42 |
31,93 |
1047,93 |
2. По итоговым данным табл.7, получаем:
- среднюю производительность труда 
3. Вычисляем характеристики вариации:
- дисперсию
- среднее квадратическое отклонение
- коэффициент вариации
4. Результаты вычислений иллюстрирует график рис.3.
Рис. 3. Результаты вычислений20. Задача 20
Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных
Таблица 8
 |
103 |
108 |
102 |
111 |
95 |
109 |
118 |
123 |
 |
106 |
103 |
108 |
102 |
111 |
91 |
109 |
118 |
Решение
1. Решение производим в форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:
 .
Таблица 9
| №№ |
|
 |
|
 |
 |
| 1 |
103 |
106 |
10609 |
11236 |
10918 |
| 2 |
108 |
103 |
11664 |
10609 |
11124 |
| 3 |
102 |
108 |
10404 |
11664 |
11016 |
| 4 |
111 |
102 |
12321 |
10404 |
11322 |
| 5 |
95 |
111 |
9025 |
12321 |
10545 |
| 6 |
109 |
91 |
11881 |
8281 |
9919 |
| 7 |
118 |
109 |
13924 |
11881 |
12862 |
| 8 |
123 |
118 |
15129 |
13924 |
14514 |
| Итого |
869 |
848 |
94957 |
90320 |
92220 |
| Среднее |
108,63 |
106 |
11870 |
11290 |
11528 |
2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:
 
Отсюда получаем:  ,
а из первого уравнения 
3. Записываем корреляционное уравнение
 
4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9
Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами и слабая.
5. Графически результаты вычислений показаны на рис.4 в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости  (сплошная черная линия).
 
Рис. 4. Результаты вычислений
|
)
)
)
