оптимальність у системах керування
1. Умови оптимальності у неавтономних системах керування
У загальному випадку неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежать явно від часу  , тобто закон руху має вигляд:
 , (1)
а цільовий функціонал дорівнює
 . (2)
Тут функції  і  – неперервні по сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних  ,  ,  .
Також вважатимемо, що момент часу  , який відповідає початковому стану  , відомий, а момент часу  проходження через кінцеву точку  не заданий і повинен бути знайдений, тобто сформульована задача – це задача з вільним часом.
Поставлена задача може бути зведена до автономної задачі введенням додаткової змінної  . До закону руху при цьому додається рівняння
 ,
а до початкових умов – співвідношення  .
Тепер систему (2) можна переписати у вигляді:
 (3)
а функціонал  дорівнюватиме
 , (4)
де  (відповідно до доданого у початкову систему рівняння).
Отже, неавтономну  -вимірну задачу було зведено до автономної задачі з розширеним фазовим простором. У новій задачі потрібно знайти оптимальну траєкторію, що поєднує точку  розширеного фазового простору з деякою точкою  на прямій, яка проходить через точку  паралельно осі  . Оскільки кінцеве значення змінної  невідоме, то нова задача – це задача з фіксованим лівим і рухомим правим кінцями.
Якщо в задачі оптимального керування (3) – (4) відомі і початковий момент часу й кінцевий момент часу , то задача називається задачею з фіксованим часом. Перетворення цієї задачі введенням додаткового змінного приводить до задачі з фіксованими кінцями в такому формулюванні. Потрібно знайти керування  , що переводить фазову точку системи (2) зі стану в момент часу у стан в момент часу , причому функціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважимо, що момент часу попадання в точку  можна не вважати фіксованим, оскільки в силу тотожності  попадання в точку може відбутися тільки в цей момент часу. Таким чином, до даної задачі можна застосувати теорему, відповідно до якої для одержання необхідних умов екстремуму функціонала необхідно максимізувати функцію Понтрягіна
 , (5)
де  – загальний вигляд функції Понтрягіна з теореми 1, у якій не врахована додаткова, ( )-ша змінна. Спряжена система для цієї задачі за умов  набуває вигляду:
 (6)
Має місце така теорема.
Припустимо,  ,  – оптимальний процес для задачі з фіксованим часом. Тоді існує ненульова вектор-функція  , що відповідає цьому процесу, така що:
1. Для будь-якого  функція  змінної  набуває максимального значення в точці  , тобто:
 :  .
2.  , .
Оскільки, як і раніше,  , то умову 2 цієї теореми достатньо перевірити в якій-небудь одній точці відрізка  .
Розглянемо випадок, коли при фіксованому правий кінець вільний. Ця задача полягає в тому, щоб із заданого стану за заданий час  пройти по траєкторії з довільним кінцевим станом за умови мінімізації цільового функціонала. Умови трансверсальності для цієї задачі набувають вигляду:
 ,  . (7)
Для цього випадку необхідна умова оптимальності полягає в тому, щоб функція  досягала максимального значення для кожного на оптимальному керуванні і мала місце умова (7).
2 Поняття особливого керування
На практиці часто зустрічаються задачі оптимального керування, у яких функція Понтрягіна лінійно залежить від всіх керувань або від частини з них (наприклад, в лінійних задачах оптимальної швидкодії). Однак у нелінійних задачах оптимального керування (якщо функція Понтрягіна є нелінійною по одній або декількох фазових змінних) можлива ситуація, коли на оптимальній траєкторії коефіцієнт при одній з компонент вектора керування  обертається на нуль всюди на деякому інтервалі часу, і тоді умова максимуму функції за не дозволяє однозначно визначити оптимальне керування. Ця ситуація називається особливим режимом керування. Дослідимо її детальніше.
Розглянемо автономну задачу оптимального керування
 ,
Де ; ,  ,  , ,
 – довільна множина з  ;
 – лінійний простір кусково-неперервних на  функцій.
Крайові умови задачі мають вигляд:
 ,  .
Потрібно знайти таке припустиме керування , що переводить систему зі стану  у стан  , причому відповідний припустимий процес  доставляє мінімальне значення функціоналу
 ,
де функції  ,  неперервні по сукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних .
Вважатимемо, що функція Понтрягіна для цієї задачі є лінійною за частиною компонент вектора . Виділимо із цих компонент групу з  керувань (з тих, за якими функція лінійна) і позначимо їх через  , а інші  керувань зберемо у вектор  (він також може включати компоненти, за якими функція лінійна). За таких умов закон руху набуває вигляду:
 ,
де  .
Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:
 .
Очевидно, що
 ,  . (8)
Припустимо, що процес  разом з розв’язком  спряженої системи
 ,  , (9)
задовольняє принципу максимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу  має місце рівність
 , (10)
або, враховуючи (10),
 , ,  . (11)
Ця ситуація означає, що коефіцієнти при  на деякому часовому відрізку дорівнюють 0, і оптимальне керування визначити неможливо. У цьому випадку вектор керувань  називається особливим керуванням на відрізку  , процес  – особливим режимом, траєкторія  – траєкторією особливого режиму, а відрізок часу – ділянкою особливого керування.
З формули (11) випливає, що на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна не залежить від . Дійсно, :
 .
Тому в даній ситуації умова максимуму по не дає жодної інформації про конкретні значення керувань .
Оскільки на ділянці особливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, що
 , 
і т.д. Останні співвідношення разом з умовою (10) дозволяють визначити всі особливі режими.
3. Лінійна задача оптимальної швидкодії
Розглянемо лінійну задачу оптимальної швидкодії:
 ,  , (12)
де  ,  ,
 ,  – числові матриці розмірності  та  відповідно.
Область керування задачі – замкнутий обмежений багатогранник в :
 ,  , (13)
Якщо для будь-якого вектора  , паралельного будь-якому ребру багатогранника , система векторів ,  , …,  (14)є лінійно незалежною, то багатогранник задовольняє умові спільності положення відносно системи (14).
Для перевірки лінійної незалежності векторів (13) достатньо перевірити, чи матриця, стовпцями якої є стовпці (12), є невиродженою, тобто
 .
Перепишемо формулу (10):
 ,  ,
де  ,  –  -і рядки матриць  і  .
Функція Понтрягіна лінійної задачі оптимальної швидкодії має вигляд:
 (15)
Оскільки перший доданок у формулі (15) не залежить від , то функція  досягає максимуму за змінною одночасно з функцією
 .
Спряжена система у цьому випадку може бути записана у вигляді:
 , ,
або у векторній формі
 . (16)
Позначимо через  . З теореми 2 випливає, що якщо  – оптимальне керування, то існує такий ненульовий розв’язок  системи (16), для якого в кожний момент часу функція  набуватиме максимального значення за змінною :
 . (17)
Оскільки система (17) з постійними коефіцієнтами не містить невідомих функцій і , то всі її розв’язки можна легко знайти, після чого, використовуючи їх для розв’язання задачі максимізації функції на множині , знаходимо оптимальні керування .
Для будь-якого нетривіального розв’язання  системи (11) співвідношення (14) однозначно визначає керування , причому це керування кусково стале, а значеннями керування в точках неперервності є вершини багатогранника .
Точки розриву оптимальної функції керування відповідають зміні значення керування і називаються точками перемикання. Якщо  – точка перемикання, то ліворуч від неї керування має одне значення, наприклад,  , а праворуч інше –  .
Позначимо через підмножину у виду
 . (18)
Якщо всі корені характеристичного рівняння матриці з (14) є дійсними, то для будь-якого розв’язання  рівняння (18) кожна з функцій  є кусково сталою і має не більше ніж  перемикань ( – порядок системи (16)).
Керування називається екстремальним керуванням, якщо воно задовольняє принципу максимуму.
Для лінійної задачі оптимальної швидкодії з областю керування – багатогранником керування є екстремальним, якщо існує таке нетривіальне розв’язання системи (17), для якого матиме місце співвідношення (18).
Зрозуміло, що будь-яке оптимальне керування є екстремальним. Тому, щоб знайти оптимальне керування, що переводить фазову точку зі стану у стан , треба відшукати всі екстремальні керування з цими крайовими умовами, а потім серед них вибрати те, що здійснює перехід за найменший час.
У загальному випадку можуть існувати кілька оптимальних керувань, що переводять фазову точку зі стану у стан , але якщо початок координат у просторі керувань є внутрішньою точкою багатогранника , то екстремальне керування єдине. Отже, у лінійних задачах оптимальної швидкодії принцип максимуму дозволяє не тільки визначити вид оптимальних керувань, але й одержати умови єдиності оптимального керування.
Припустимо, що початок координат є внутрішньою точкою багатогранника припустимих керувань. Якщо і  – два екстремальних керування, що переводять фазову точку зі стану у стан  за час  і  відповідно, то  і  ,  .
У теоремі має місце умова  .
Теорема. Якщо існує хоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану у стан , то існує й оптимальне по швидкодії керування, що також переводить систему з у .
4. Умови оптимальності у задачі з рухомими кінцями
У задачі з рухомими кінцями або початковий стан , або кінцевий стан , або обидва ці стани невідомі. Задані тільки множини  і  , що містять точки та .
Гіперповерхня – це множина всіх точок  , які задовольняють співвідношенню
 ,
де  – скалярна диференційована функція. Якщо – лінійна функція, то гіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням
 . (19)
Якщо  , то гіперплощина (19) є ()-вимірним лінійним підпростором в  .
Будь-який ( )-вимірний підпростір  може бути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з  рівнянь із невідомими, матриця якої має ранг :
  .
Такий лінійний підпростір називається  -вимірною площиною. Множина розв’язань системи нелінійних рівнянь
де функції  , …,  диференційовані і ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює , є -вимірним гладким різноманіттям.
Задача оптимального керування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустиме керування для системи із законом руху
 , , ,
яке переводить фазову точку з деякого, заздалегідь невідомого, стану на -вимірному різноманітті ( ) у деякий стан на  -вимірному різноманітті ( ) і надає найменшого значення функціоналу
 .
Задача оптимального керування з фіксованими кінцями є окремим випадком цієї задачі при  , тобто коли різноманіття і вироджуються в точку.
Відсутність рівнянь, що задають початковий і кінцевий стани, приводить до того, що система необхідних умов перестає бути повною. У цьому разі для одержання відсутніх рівнянь використовують умови, що називаються умовами трансверсальності.
Умови трансверсальності. Вектор спряжених змінних із принципу максимуму задовольняє умові трансверсальності на лівому кінці траєкторії , якщо вектор  ортогональний дотичній площини до різноманіття в точці  , тобто
 , (20)
де  – довільний вектор, що лежить у дотичній площини. Аналогічно формулюється умова на правому кінці.
Якщо  ,  – оптимальний процес у задачі з рухомими кінцями  ,  , то ненульова вектор-функція , що існує відповідно до теореми 3, задовольняє на кожному з кінців траєкторії умовам трансверсальності.
Розглянемо окремий випадок задачі з рухомими кінцями, коли, наприклад, правий кінець траєкторії вільний (тобто  ). Тоді умови трансверсальності зводяться до співвідношення  . Повний вектор спряжених змінних
визначається з точністю до довільної сталої, зокрема, вважають, що  (відповідно до принципу максимуму  , ) і тоді
 .
|
