Реферат: Задачи по Математике 2

Часть 1.

Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры.

1.1.(х₀ , у₀ ) равно:

Ответ: 0

1.2.[z₀ , y₀ ] равно:

Ответ: - х₀

1.3.[z₀ , x₀ ] равно:

Ответ: y₀

1.4.(х₀ ,z₀ ) равно:

Ответ: 0

1.5.(y₀ ,z₀ ) равно:

Ответ: 0

1.6.[z₀ ,r₀ ] равно:

Ответ: Ф₀

1.7.[Ө₀ , r₀ ] равно:

Ответ: -Ф₀

1.8.(z₀ ,Ф₀ ) равно:

Ответ: 0

1.9.[ Ф₀ , Ө₀ ] равно:

Ответ: -r₀

1.10.(х₀ , [y₀ ,z₀ ]) равно:

Ответ:1, (z₀ , [x₀ ,y₀ ])

1.11. (x₀ , [z₀ ,y₀ ]) равно:

Ответ: (y₀ ,[x₀ ,z₀ ]), -1

1.12. (x₀ , [y₀ ,y₀ ]) равно:

Ответ: 0

1.13. [x₀ , [y₀ ,z₀ ]] равно:

Ответ: 0, y₀ (x₀ ,z₀ ) – z₀ (x₀ ,y₀ )

1.14. (r₀ ,[z₀ ,Ф₀ ]) равно:

Ответ:-1, (Ф₀ , [r₀ , z₀ ])

1.15. (r₀ , [Ө₀ , Ф₀ ]) равно:

Ответ: 1, (Ф₀ , [r₀ , Ө₀ ])

1.16. (x₀ , [y₀ ,z₀ ]) равно: Ответ:1

1.17. (x₀ ,[y₀ , x₀ ]) равно:

Ответ: 0

1.18. Коэффициенты Ламэ в прямоугольной системе координат равны:

Ответ: h₁ =1, h₂ =1, h₃ =1

1.19. Коэффициенты Ламэ в цилиндрической системе координат равны:

Ответ: h₁ =1, h₂ =r, h₃ =1

1.20. Коэффициент Ламэ в сферической системе координат равны:

Ответ: h₁ =1, h₂ =r, h₃ =rsinѲ

1.21. (a, b) скалярное произведение векторов a и b в декартовой системе координат равно:

Ответ: a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z

1.22. [a, b] – векторное произведение векторов aи b в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (x₀ y­₀ z₀ ….)

1.23. (a, [b, c]) – смешанное произведение векторов a, b,c в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (a_x b_x c_x …..)

1.24. Двойное векторное произведение векторов А, В и С равно:

Ответ: А х (В х С) = В(А,С) – С(А,В)

1.25. (А,[A,B])равно:

Ответ: 0

1.26. (A,[B,B]) равно:

Ответ: 0

1.27. (A,[B,C]) равно:

Ответ: (C,[A,B]), (B,[C,A])

1.28. A x (B x C) равно:

Ответ: B(A,C) – C(A,B)

1.29. Объем параллелепипеда построенного на векторах А,В и С равен:

Ответ: |(A,[B,C])|

1.30. Угол между векторами А и В равен:

Ответ: ф=arcsin |[A,B]|/|A| x |B|

Ф= arccos (A,B)/|A| x |B|

1.31. Проекция вектора А на направление вектора В равна:

Ответ: (А, В) /|B|

1.32. Орт радиус-вектора r=x₀ x+ y₀ y + z₀ z равен:

Ответ:длинное выражение с корнями

1.33. Площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В равна:

Ответ: |ABsinф|, где |A|= A, |B| = B, ф - угол между векторами

|[A,B]|

1.34. Если [A,B]=C, то [B,A] равно:

Ответ: -С, -С₀ |C|∂

Часть 2.

Векторный анализ:

- Скалярное поле. Градиент

- Векторное поле. Дивергенция. Ротор. Оператор Гамильтона.

2.1. gradψ – градиент скалярной функции ψ в декартовой системе координат равен:

Ответ: x₀ ∂ψ/∂x+y₀ ∂ψ/∂y+z₀ ∂ψ/∂z

2.2.gradr – градиент скалярной функции r = |r|, где r = x₀ x+y₀ y+z₀ z, равен:

Ответ: x₀ ∂r/∂x+ y₀ ∂r/∂y+ z₀ ∂r/∂z, r₀

2.3. grad ln(r), где r =|r|, r₀ =r/r, r=x₀ x+y₀ y+z₀ z, равен:

Ответ: r₀ /r

2.4. grad sin r,где r=|r|=√x^2+y^2+z^2, r=x₀ x+y₀ y+z₀ z равен:

Ответ: d sin r/ dr grad r, (cos r) r₀

2.5. grad 1/r, где r=|r|,r=x₀ x+y₀ y+z₀ z равен:

Ответ: -r₀ /r^2

2.6. [gradr, r] равно:

Ответ: 0

2.7.Производная скалярной функции U=r(r=|r|), по направлению оси OZ, где r=x₀ x+y₀ y+z₀ zравна:

Ответ: ∂U/∂z=(gradr, z₀ ), ∂U/∂z=z/r

2.8. Производная скалярной функции U=1/r(r=|r|), по направлению радиус вектора r=x₀ x+y₀ y+z₀ z равна:

Ответ: ∂U/∂r=(grad(1/r),r₀ ), ∂U/∂r=-1/r^2

2.9. Производная скалярной функции U=r, где r=|r|= √x^2+y^2+z^2 , по направлению оси OX равна:

Ответ: ∂U/∂x=(gradr, x₀ ), ∂U/∂x=x/r

2.10. Производная скалярной функции U=lnr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x₀ x+y₀ y+z₀ zравна:

Ответ: ∂U/∂r=1/r, ∂U/∂r=(grad(lnr), r₀ )

2.11. Производная скалярной функции U=cosr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x₀ x+y₀ y+z₀ zравна:

Ответ: ∂U/∂r= (grad(cosr), r₀ ), ∂U/∂r=-sinr

2.12. divF –дивергнеция вектора F=x₀ F_x +y₀ F_y +z₀ F_z равна:

Ответ: ∂F_x /∂x+∂F_y /∂y+∂F_z /∂z

2.13. В поле вектора а отсутствуют источники и стоки, если:

Ответ:diva = 0 , (перевернутый треуг, а)=0, где переверн. треуг. – оператор Гамильтона

2.14. div (r), где r=x₀ x+ y₀ y+z₀ z, равна:

Ответ:3, dr_x /dx+dr_y /dy+dr_z /dz

2.15. div (sin(r)r), где r=|r|, r=x₀ x+y₀ y+z₀ z равна:

Ответ: 3sin(r)+r cos(r), sin(r)div(r)+(r,grad(sin(r)))

2.16. div ((ln r)r), где r=|r|, r=x₀ x+y₀ y+z₀ z равна:

Ответ:(lnr)div r+(grad lnr,r), 3 ln r+1/r(r/r,r)

2.17. Поток вектора F через поверхность S – это:

Ответ: Ф=∫(F,n₀ )ds, где n₀ -единичный вектор нормали n к поверхности S

2.18. Дивергенция орта радиус-вектора r₀ =r/r, где r=|r|, r=x₀ x+y₀ y+z₀ z равна:

Ответ: div r₀ =1/r div r + (grad1/r,r), div r₀ =2/r

2.19. теорема Остроградского-Гаусса это:

Ответ: ∮Fds=∫divFdv,где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V

2.20 rot F – ротор вектора F=x₀ F_x +y₀ F_y +z₀ F_z равен:

Ответ: матрица

2.21.Поле вектора а потенциально, если

Ответ:rota=0, a=gradψ, где ψ- скалярная функция

2.22. Ротор орта радиус- вектора r₀ =r/r, где r=|r|, r=x₀ x+y₀ y+z₀ zравен:

Ответ:rot r₀ =1/rrotr+[grad 1/r, r], rot r₀ =0

2.23.Теорема Стокса- это:

Ответ: ∮Fdl=∫rotFds, где L- одновитковый замкнутый контур, S – поверхность опирающаяся на L

2.24. Если циркуляция вектора Fпо замкнутому контуру L равна нулю,( ∮Fdl=0) то:

Ответ:Поле вектора F – потенциально, rotF=0

2.25. Поле радиус – вектора r=x₀ x+y₀ y+z₀ z:

Ответ: Содержит источники и стоки, потенциально

2.26. rotr, где r=x₀ x+y₀ y+z₀ zравен:

Ответ: 0

2.27. rot(f(r) r), где r=|r|, r=x₀ x+y₀ y+z₀ ­ z, равен:

Ответ: 0, f(r) rotr +[gradf(r),r]

2.28. Выражение перевернутый треугольник х F=[ перевернутый треугольник х F], где F=x₀ F_x +y₀ F_y +z₀ F_z , а перевернутый треугольник- оператор Гамильтона равно:

Ответ: rotF

2.29. Выражение первернутый треугольник в квалрате = треугольник в декартовой системе координат равно:

Ответ: ∂­^2/∂­x^2+∂­^2/∂­y^2+∂­^2/∂­z^2

2.30. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что gradψ равен:

Ответ:[перев треуг, перев треуг]ψ, 0

2.31. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divgradψравна:

Ответ: переверн треуг в квадрате ψ, (перев треуг, перевер треуг)ψ

2.32. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что rotrotF равен:

Ответ:graddivF – перев треуг в квадрате F

2.33. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что grad(ψφ), где ψ и φ скалярные функции, равен:

Ответ:φ gradψ+ψgradφ

2.34. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div(ψF), где ψ-скалярная функция, рвна:

Ответ:ψdivF+(gradψ,F)

2.35. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divrotFравна:

Ответ:0, (переверн треуг, [перев треуг,F])

2.36. Выражение переверн треуг ψ, где ψ-скалярная функция, а перев треуг – оператор Гамильтона равно:

Ответ:gradψ, x₀ ∂ψ/∂x+y₀ ∂ψ/∂y+z₀ ∂ψ/∂z

2.37. Выражение перев треуг х F=(переверн треуг,F), где F=x₀ F_x +y₀ F_y +z₀ F_z , а перев треуг – оператор Гамильтона рано:

Ответ: div F, матрица