Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Исследование систем линейных уравнений неполного ранга

Название: Исследование систем линейных уравнений неполного ранга
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 08:02:26 20 мая 2011 Похожие работы
Просмотров: 27 Комментариев: 21 Оценило: 4 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники


Факультет компьютерных сетей и систем
Кафедра Информатики

Курсовой проект

По курсу: Линейная алгебра и аналитическая геометрия


Тема: “ Исследование систем линейных уравнений неполного ранга и

минимальным по Евклидовой норме решением”


Выполнил: Студент гр. 952 001

Лабкович О. А.


Проверил

Борзенков А. В.


Минск 2000

Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными общего вида (СЛАУ) в матричной форме:


A*X = B

где



A – основная матрица системы (или матрица коэффициентов при неизвестных)

X – вектор-столбец решений системы (вектор неизвестных)

B – вектор свободных коэффициентов


Решением системы такого вида называется всякий n – компонентный вектор-столбец X, обращающий матричное уравнение в тождество (равенство).

Найдём решение с помощью метода последовательных исключений Жордана-Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Дополнительно выделим из множества решений вектор-решения минимальный по Евклидовой норме.


В MatLab стандартная функция rref(A), …/matlab/toolbox/matlab/matfun/rref.m, приводит матрицу A к треугольному виду на основе классического метода исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. В данной функции реализуется следующий код: который, не меняя местами столбцы матрицы системы, приводит матрицу к диагональному виду, работая только со строками(таким образом, использование этой функции не приведетк ошибкам).


% Loop over the entire matrix.

% Перебор каждого элемента матрицы

i = 1;

j = 1;

jb = [];

while (i <= m) & (j <= n)

% Find value and index of largest element in the remainder of column j.

% Найти значение и индекс самого большого элемента в остатке от колонки j.

[p,k] = max(abs(A(i:m,j))); k = k+i-1;

if (p <= tol)

% The column is negligible, zero it out.

% Если остаток колонки незначителен, то обнуление остатка и переход на следующую иттерацию.

A(i:m,j) = zeros(m-i+1,1);

j = j + 1;

else

% Remember column index

% Запоминание индекса колонки

jb = [jb j];

% Swap i-th and k-th rows.

% Поменияем месками i-ую и j-ую строки.

A([i k],j:n) = A([k i],j:n);

% Divide the pivot row by the pivot element.

% Деление элементов текущей строки на текущий элемент

A(i,j:n) = A(i,j:n)/A(i,j);

% Subtract multiples of the pivot row from all the other rows.

% Вычесть элементы текущей строки из всех других строк, начиная с j-го элемента.

for k = [1:i-1 i+1:m]

A(k,j:n) = A(k,j:n) - A(k,j)*A(i,j:n);

end

i = i + 1;

j = j + 1;

end

end


Для этого, с помощью элементарных преобразований над строками и перестановки столбцов расширенную матрицу системы A|B (матрица, образованная добавлением столбца свободных коэффициентов B к основной матрице системы A) приведём к виду:



Необходимо отметить, что коэффициенты и полученной матрицы, отличаются от исходных коэффициентов расширенной матрицы. То есть получены новые – основная матрица системы и вектор-столбец свободных коэффициентов . Перемножив каждую строку матрицы на вектор X получим:



Тогда вектор-решения состоит из следующих компонент


, где k = 1..m

Заменим на коэффициенты , j = 1 .. n-m. Общее решение СЛАУ имеет вид


Подставляя различные числовые значения вместо можно получить бесконечное множество частных решений.


Теперь из множества полученных решений необходимо выделить минимальное по Евклидовой норме, то есть найти соответствующие значения .

Евклидова норма: . Составим функцию . Нахождение решения минимального по норме эквивалентно нахождению значений компонентов вектора-решений в точке минимума функции F. По необходимому признаку экстремума функции нескольких переменных и в силу выпуклости функции вниз минимум функции соответствует условиям:



Т.к. функция является положительно определенной квадратичной функцией, то частные производные по всем переменным являются линейными функциями от этих переменных:



Таким образом условием минимума функции является решение системы линейных уравнений:

i = 1..n-m



Построим матричную форму этой системы:






Решая эту систему получим искомое значение коэффициентов при которых вектор-решений X минимален по Евклидовой норме.


В MatLab: C = E \ D;


Откуда вектор минимального по норме решения равен

, где k = 1..m.


Пример1 (Ex1.m)














Вектор решения


Норма вектора решений


Невязка



Пример 10.



Расширенная матрица системы:



Получили диагональную матрицу. Откуда



При =общее решение системы имеет вид:


Для нахождения минимальных решений составим функцию и найдём её производную:



Приравнивая производную к нулю получим линейное уравнение, откуда найдём точку в которых F минимальна:



Тогда



Пример 2.



Расширенная матрица системы:


Получили диагональную матрицу. Откуда общее решение



При =, и =, Частное решение системы имеет вид:


Для нахождения минимальных решений составим функцию и найдём её частные производные:



Приравнивая производные к нулю получим систему уравнений, откуда найдём точки в которых F минимальна:



Тогда



»

A =


1 -3 6 -5 0

4 2 1 10 2

2 0 -9 1 6


B =


3

5

7


- - = = 1 = = - -

Стандартное решение посредствам системы MatLab X = A\B

X =

0

0

0.5427

0.0513

1.9722


Невязка Eps =

1.0e-015 *


0.8882

0

0


Евклидова норма N =

2.0462


- - = = 2 = = - -

Решение MatLab c первоначальной диагонализацией по методу Гауса


X =


0

0

0.5427

0.0513

1.9722


Невязка Eps =

1.0e-015 *


0

-0.2220

0.0555


Евклидова норма N =

2.0462


- - = = 3 = = - -

Решение системы функцией SLAE

Вектор решения минимизированный по евклидовой норме

0.8957

-0.4673

0.1265

0.0113

1.0560


Евклидова норма вектора решений

1.4669


Невязка Eps =

1.0e-015 *


0.4441

0

0


% SLAE % The decision of System of the linear algebraic equations % Решение системы линейных уравнений с минимизацией % вектора решения по евклидовой норме. % % Входные параметры: % A - матрица коэффициентов системы % B - вектор столбец решения системы % Выходные параметры: % X - вектор решений (A * X = B), минимизированный по норме % N - Евклидова норма % Eps - невязка B - A*X


function [X, N] = SLAE(A, B)


if (nargin < 2) error('Необходимо ввести матрицу системы и вектор свободных коэффициентов'); end;


%Если матрица коэффициентов системы нулевая, %то вывод сообщения об ошибки и выход if (A == 0) error('Неправильное задание параметров'); end


% m - число строк, n - число столбцов [m, n] = size(A);


%Проверка на совместность системы if rank(A) ~= rank([A, B]) disp('Система не совместна'); for i = 1 : n

X(i) = NaN; end X = X'; N = 0; return end


% Если высота матрицы а и столбца b не совпадают % то выдача диагностирующего сообщения if m ~= length(B) error('Высота матрицы A и столбца B не совпадают'); end


% Приведение расширенной матрицы A|B к диагональному виду A = rref([A, B]); B = A(:, n + 1); A = A(:, 1 : n); %m - число базисных строк m = rank(A); %Расчет коэффициентов С(1)..С(n-m), при которых вектор решения Х %будет минимальным по евклидовой норме. Приравнивая частные производные %нулю, составляем матрицу коэффициентов D и матрицу свободных коэффициентов E. %Соответствующие формулы смотрите в описании к программе. % i - номер строки, j - номер элемента в строке (номер столбца) for i=1:(n-m) for j=1:(n-m)

D(i,j) = 0;

for k=1:m

D(i,j)=D(i,j)+A(k,i+m)*A(k,j+m);

end

if i==j

D(i,j)=D(i,j)+1;

end end E(i)=0; for k=1:m

E(i)=E(i)+B(k)*A(k,i+m); end end


%Транспонирование вектора-строки E в вектор-столбец и %вычисление коэффициентов С(1)..С(n-m) E = E'; C = D \ E;


%Вычисление вектора решений в соответствии с найденными коэффициентами for k = m+1 : n X(k) = C(k-m); end for k = 1 : m X(k) = B(k); for j = 1 : (n - m)

X(k) = X(k) - A(k, j+m)*X(j+m); end end


%Транспонирование вектора-строки X в вектор-столбец X = X';


%Вывод РЕЗУЛЬТАТОВ disp('Вектор решения минимизированный по евклидовой норме'); disp(X); N = norm(X, 'fro'); disp('Евклидова норма вектора решений'); disp(N); %disp('Невязка Eps ='); %Eps = B - A*X


return


%Тестирование функции решения систем линейных алгебраических уравнений SLAE


%Пример 1


% Матрица коэффициентов при неизвестных

A = [ 1 -3 6 -5 0; 4 2 1 10 2; 2 0 -9 1 6 ]

% Матрица свободных членов

B = [ 3; 5; 7 ]


% --== 1 ==--

disp('- - = = 1 = = - -');

disp('Стандартное решение посредствам системы MatLab X = A\B');

X = A\B;

disp('X =');

disp(X);

disp('Невязка Eps =')

disp(B - A*X);

disp('Евклидова норма N =')

disp(norm(X, 'fro'));


% --== 2==--

disp('- - = = 2 = = - -');

disp('Решение MatLab c первоначальной диагонализацией по методу Гауса');

% Приведение расширенной матрицы A|B к диагональному виду

[m, n] = size(A);

A = rref([A, B]);

B = A(:, n + 1);

A = A(:, 1 : n);


X = A\B

disp('Невязка Eps =');

disp(B - A*X);

disp('Евклидова норма N =');

disp(norm(X, 'fro'));


% --== 3 ==--

disp('- - = = 3 = = - -');

disp('Решение системы функцией SLAE');

% Повторный ввод параметров

A = [ 1 -3 6 -5 0; 4 2 1 10 2; 2 0 -9 1 6 ];

B = [ 3; 5; 7 ];


[X, N3] = SLAE(A, B);

disp('Невязка Eps =');

disp(B - A*X);

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Хватит париться. На сайте FAST-REFERAT.RU вам сделают любой реферат, курсовую или дипломную. Сам пользуюсь, и вам советую!
Никита16:45:22 04 ноября 2021
.
.16:45:13 04 ноября 2021
.
.16:45:11 04 ноября 2021
.
.16:45:08 04 ноября 2021
.
.16:45:07 04 ноября 2021

Смотреть все комментарии (21)
Работы, похожие на Реферат: Исследование систем линейных уравнений неполного ранга

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(288262)
Комментарии (4159)
Copyright © 2005-2021 HEKIMA.RU [email protected] реклама на сайте