Реферат: Внутрішнє подання даних стандартних типів

Реферат на тему:

Внутрішнє подання даних стандартних типів

1. Біт, байт та інші

У комп'ютері числа зберiгаються та обробляються в двiйковiй системі числення . Двійкова цифра 0 або 1 відображається станом елемента пам'яті, який вважається неподільним і називається бiтом . Послідовність із 8 бітів називається байтом . Байт своїми станами відображає 2⁸ =256 комбінацій із 0 та 1, а саме:

00000000

00000001

^¼

11111110

11111111

Множині цих комбінацій можна взаємно однозначно поставити у відповідність деякі множини значень: цілі числа від -128 до 127, або числа від 0 до 255, або пари 16-кових цифр, або символи від chr(0) до chr(255) чи якісь інші множини з 256 елементів.

У двох сусідніх байтах подаються 2^{8 ×} 2⁸ =65536 комбінацій із 0 та 1. Їм взаємно однозначно ставляться у відповідність цілі числа від 0 до 65535, або числа від -32768 до 32767 чи інші множини з 65536 елементів.

Аналогічно чотири сусідні байти відображають (2⁸ )⁴ =4294967296 комбінацій із 0 та 1, яким зiставляються числа від 0 до 4294967295, або числа від -2147483648 до 2147483647 чи інші множини з 4294967296 елементів.

Два байти утворюють одиницю пам'яті, яка називається словом . Іноді таке слово називається напівсловом , а словом – послідовність із чотирьох байтів.

Послідовність із 1024 байтів утворює одиницю виміру розмірів пам'яті комп'ютера. Цю одиницю позначають Kбайт, проте це "K" – латинська літера, що читається "кей" і позначає не тисячу, а 1024.

Послідовність із 1K Kбайтів, тобто 1048576 байтів, називається Mбайтом. Ці дві одиниці у світі програмістів і користувачів часто не зовсім точно називають відповідно "кілобайт" і "мегабайт", хоча це зовсім не тисяча і не мільйон байтів. До речі, 1Гбайт, хоча й читається "гігабайт", позначає не мільярд, а 1073741824 байти.

2. Подання цілих чисел, символів та бульових значень

Бульовi значення false та true подаються, як правило, в одному байтi комбінаціями відповідно 00000000 та 00000001.

Символи від chr(0) до chr(255) зображаються в одному байтi комбінаціями з нулів та одиниць відповідно від 00000000 до 11111111. Наприклад, символ chr(32), або ' ' (пропуск), зображається як 00100000, символ chr(48), або '0', – як 00110000 тощо.

Цілі числа подаються в комп'ютері, головним чином, у двох формах – беззнаковій та знаковій . Далі ми будемо ототожнювати числа з їх поданням , усвідомлюючи, що з точки зору математики це не може бути правильним.

Беззнаковi числа займають певну кількість N байтiв, яка задає дiапазон (множину) цих чисел від 0 до 2^8N -1. Найчастiше N =1, 2 або 4, і діапазони чисел – від 0 до відповідно 255, 65535 та 4294967295. Байти записуються від молодших до старших справа наліво та нумеруються від 0 до N -1. Біти всередині байтiв так само записуються від молодших до старших справа наліво й нумеруються від 0 до 7 (рис. 11.1). Усього в N байтах є 8N бітів, які нумеруються справа наліво від 0 до 8N -1. Біти з номерами 8N -1, ¼ , 8N -8 утворюють старший байт (він ліворуч), а з номерами 7, ¼ , 0 – молодший (праворуч). Комбінація бітів x _{8N -1} , ¼ , x ₀ зображає в двійковій системі число

x _{8N -1 ×} 2^{8N -1} +¼x _{1 ×} 2+x ₀ .

Наприклад, комбінація 00¼ 00 задає число 0, комбінація 00¼ 01 – "один", 00¼ 10 – "два", 11¼ 11 – число 2^8N -1.

Знаковi числа займають ті самі N , тобто 1, 2 або 4 байти. Найстарший біт зображає знак числа: 0 – знак '+', 1 – знак '-'. Додатні числа подаються так само, як i беззнакові, лише за рахунок знакового біта дiапазон їх менший – від 0 до 2^{8N -1} -1. За N =1, 2 або 4 це відповідно 127, 32767 та 2147483647. Таке подання називається прямим кодом . Наприклад, прямим кодом максимального цілого є 011¼ 1.

Від'ємні числа подаються в коді, названому додатковим . Для від'ємного числа A він позначається D (A ) й утворюється так:

1) за прямим кодом числа |A| заміною всіх 0 на 1 та всіх 1 на 0 будується обернений код R(A);

2) за R(A) як беззнаковим цілим числом обчислюється D(A)=R(A)+1.

Очевидно, що D (A )=R (|A|-1). Наприклад, побудуємо двобайтовий додатковий код числа –144. Прямим двобайтовим кодом числа 144 буде

0000'0000'1001'0000

(апострофи записано для наочності), оберненим –

1111'1111'0110'1111.

До нього додається 1:

1111'1111'0110'1111

1

1111'1111'0111'0000,

і ми одержуємо додатковий код числа -144. Він є також оберненим кодом числа -143.

За додатковим кодом від'ємне число "відновлюється" у зворотному порядку:

1) D(A) вважається беззнаковим цілим; обчислюється R(A)=D(A)-1;

2) код, обернений до R(A), є прямим кодом числа | A |.

Той самий результат можна дістати, якщо

1) побудувати код R(D(A)), обернений до D(A);

2) до R(D(A)) як до беззнакового додати 1.

Відповідність знакових цілих чисел та їх кодів наведено в табл. 11.1. Як бачимо, від'ємних чисел на одне більше, ніж додатних.

Елемент X довільного типу-переліку подається як беззнакове цiле число ord(X ).

3. Принципи подання дійсних чисел

Дiйснi числа в більшості комп'ютерів подаються в N =4, 6, 8 або 10 байтах, поділених на поля (послідовності бітів):

<знак><порядок><мантиса>.

Поле <знак> має довжину 1, а довжини двох інших позначимо d і r відповідно. Зрозуміло, що 1+d +r =8N . Нехай s , e , m – значення цих полів як беззнакових цілих. Вони подають:

s = 0 – знак '+', s = 1 – знак '-';

e – його порядок t = e - (2^{d -1} -1);

m – мантису (дробову частину) m ₁ = m × 2^–r .

За значень e , відмінних від крайніх значень 0 та 2^d -1, поля <знак><порядок><мантиса> задають число, що є значенням виразу

(-1)^{s ×} (1+m ₁ )× 2^t (11.2)

Оскільки 1£ 1+m ₁ <2, то кажуть, що число подається в нормалiзованому виглядi . Показник t називається справжнім порядком числа, а e – "зсуненим " (він на 2^{d -1} -1 більше від справжнього). Отже, значення e від 1 до 2^d -2 задають справжні порядки t від 1-(2^{d -1} -1)=2-2^{d -1} до 2^d -2-(2^{d -1} -1)=2^{d -1} -1.

Наприклад, нехай d =5, r =10, що задає двобайтове подання. Зсув порядку 2^5-1 -1=2⁴ -1. Розглянемо зображення числа -12.375:

-12.375 = (-1100.011)₂ = (-1.100011)_{2 ×} 2³ ,

тобто t =3, m ₁ =0.100011.Звідси s =1, e =3+(2⁴ -1)=18=(10010)₂ , m =1000110000, і число подається послідовністю бітів 1'10010'1000110000. Тут для наочності поля відокремлено апострофами.

Послідовність бітів 0'00001'0000000000 подає мінімальне додатне число, зображуване за d =5, r =10:

(1 + 0)× 2^1-24+1 = 2^-14 .

Наступним числом, що подається як 0'00001'0000000001, буде

(1+2^-10 ) × 2^1-24+1 =2^-14 +2^-24 .

Послідовність бітів 0'11110'11111111111 подає максимальне число

(1+(2¹⁰ -1)× 2^-10 )× 2^25-2-24+1 = (2-2^-10 )× 2¹⁵ =2¹⁶ - 2⁵ = 65504.

Попереднє перед ним число має подання 0'11110'11111111110 і є

(1+(2¹⁰ -2)× 2^-10 )× 2^25-2-24+1 = (2-2^-9 )× 2¹⁵ =2¹⁶ - 2⁶ = 65472.

Як бачимо, різниця між двома сусідніми числами міняється від 2^-24 до 2⁵ =32.

За e =0 незалежно від s і m подається число 0. За e =2^d -1 подання числа використовуєтьсся спеціальним чином, про що ми говорити не будемо (докладніше про це див., наприклад, [Григ]).

Зазначимо, що розташування й довжини полів у поданні дійсних чисел залежать від конкретного типу комп’ютера і можуть відрізнятися від указаних тут. Можливі й інші особливості.